例析正態(tài)分布

陳靜 柯淑芬

正態(tài)分布是隨機(jī)變量基礎(chǔ)而核心的部分，通過利用公式處理數(shù)據(jù)，對(duì)某事件做出預(yù)測(cè). 處理本節(jié)習(xí)題的重要思想是化歸思想，將未知的、不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的問題，是我們常用的手段與思考問題的出發(fā)點(diǎn). 下面我們通過幾道例題一起來了解如何處理正態(tài)分布的題型.

[參數(shù)對(duì)正態(tài)分布圖象的影響]

例1 已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)[φix=12πσie-x-μi22σ2i]

（[x∈R]，[i=1，2，3]）的圖象如圖所示，則（ ）

[O][x]

A. [μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2>σ3]

B. [μ1>μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3]

C. [μ1=μ2<μ3]，[σ1<σ2=σ3]

D. [μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3]

解析 平均數(shù)μ決定正態(tài)曲線的對(duì)稱軸（中心位置）；標(biāo)準(zhǔn)差σ決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度. σ越小，曲線越陡峭；σ越大，曲線越扁平. 從圖象中不難發(fā)現(xiàn)[y=φ1（x）]與[y=φ2（x）]的形狀相同且[y=φ3（x）]的圖象比他們要扁平，[y=φ2（x）]與[y=φ3（x）]圖象的對(duì)稱軸相同且在[y=φ1（x）]圖象的對(duì)稱軸的右邊.

答案 D

[正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性]

例2 如圖是正態(tài)分布N～（0，1）的正態(tài)分布曲線圖，下面4個(gè)式子中，能表示圖中陰影部分面積的個(gè)數(shù)為（ ）

[O][y][x][-a]

①[12-φ（-a）] ②[φ（-a）]

③[φ（a）-12] ④[12φ（a）-φ（-a）]

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 該題目需掌握以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：曲線與x軸圍成的區(qū)域面積表示概率，其值為1；圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此y軸兩側(cè)對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積均為[12]；[φ（a）]表示的是指[x≤a]時(shí)對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積. 在[-a≤x≤a]處的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，結(jié)合這幾點(diǎn)不難得出①③④正確.

答案 C

[標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率的求解]

例3 設(shè)隨機(jī)變量ε服從N（0，1），求下列各式的值：

（1）[P（ε≥2.55）]；

（2）[P（ε<-1.44）]；

（3）[P（ε<1.52）].

分析 一個(gè)隨機(jī)變量若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則可以借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，查出其值. 但在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中只給出了[x0≥0]，即[P（x解 （1）[P（ε≥2.55）=1-P（ε<2.55）]

=[1-φ（2.55）=1-0.9946=0.0054]；

（2）[P（ε<-1.44）=φ（-1.44）=1-φ（1.44）]

[=1-0.9251=0.0749]；

（3）[P（ε<-1.52）=P（-1.52<ε<1.52）]

[=φ（1.52）-φ（-1.52）=2φ（1.52）-1]

[=2×0.9357-1=0.8714].

[一般正態(tài)分布密度函數(shù)結(jié)構(gòu)分析及相關(guān)概率的求解]

例4 設(shè)[X～N（μ，σ2）]，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：[f（x）=12πe-x2-2x+14，x∈R].

（1）求μ，σ；

（2）求[P（x-1<2）]及[P（1-2