例談高中數(shù)學(xué)習(xí)題中探究性學(xué)習(xí)的開展與思考

吳治平

探究性學(xué)習(xí)亦稱發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，是學(xué)生在學(xué)習(xí)情境中通過觀察、閱讀，發(fā)現(xiàn)問題，搜集數(shù)據(jù)，形成解釋，獲得答案并進(jìn)行交流、檢驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式。

一、探究性問題的引出

數(shù)學(xué)探究性教學(xué)不是將結(jié)論直接告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生通過各式各樣的探究活動(dòng)，諸如觀察、實(shí)驗(yàn)、調(diào)查、收集資料、猜想、論證等，自己得出結(jié)論，使他們參與并體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得過程，建構(gòu)起對(duì)數(shù)學(xué)的新的認(rèn)識(shí)，并培養(yǎng)數(shù)學(xué)的探究意識(shí)。教師抓住其這一特點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的問題給學(xué)生進(jìn)行探究。

筆者在“雙曲線的圖像與性質(zhì)習(xí)題課”中設(shè)計(jì)了下面一道習(xí)題：

習(xí)題：過點(diǎn)的直線與曲線

x-4y=4只有一個(gè)交點(diǎn)，則這條直線的斜率是（）。

（A）或- （B）或-

（C） （D）

大多數(shù)學(xué)生采用了下面的方法進(jìn)行：畫出本題的簡(jiǎn)圖，容易觀察出這條直線的斜率是存在的，所以可設(shè)此直線方程為y=k（x-4）+1，它與雙曲線方程x-4y=4聯(lián)立，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，再令這個(gè)一元二次方程的根的判別式？駐=0，可得答案。顯然這種解題方法是可行的，但是設(shè)計(jì)本題的目的是讓學(xué)生利用雙曲線的漸近線性質(zhì)進(jìn)行迅速解答。

這個(gè)時(shí)候，不少教師看到學(xué)生采用這種“計(jì)算復(fù)雜”的方法，可能就會(huì)直接提示——可用雙曲線的漸近線性質(zhì)解答。如果這樣，那學(xué)生就失去了一次非常好的探究學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。

筆者的操作如下：第一步，利用“幾何畫板畫”畫好的圖形（如圖），讓直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，要求學(xué)生觀察直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況——重點(diǎn)觀察過A且與漸近線平行的直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況（通過借助圖像，讓學(xué)生討論為何這種情況只有一個(gè)），由于漸近線的斜率是±，所以很快就有答案B.第二步，通過改變點(diǎn)A的位置，引導(dǎo)學(xué)生從本題出發(fā)還能提出什么問題。

在此過程中，學(xué)生主動(dòng)提出了不少問題，主要集中在三個(gè)方面：

問題1：如何判斷點(diǎn)A在雙曲線的“內(nèi)部”還是“外部”呢？

問題2：如果此題不是選擇題，所求直線斜率除了±外還有其他嗎？

問題3：若點(diǎn)A在雙曲線上或外面時(shí)，過點(diǎn)A的直線的斜率與此直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有何關(guān)系呢？

這些問題都是由學(xué)生自己提出來的，教材上也沒有涉及這些內(nèi)容，不僅學(xué)生感興趣，而且具有一定的研究?jī)r(jià)值，這樣，教師所需要的探究問題也就自然得到了。

要找到探究的問題，教師必須擁有豐富的備課資料，對(duì)問題有全局的把握，并且要對(duì)習(xí)題進(jìn)行合理設(shè)計(jì)和對(duì)學(xué)生解題過程中可能出現(xiàn)的問題進(jìn)行大膽推測(cè)。

二、探究性問題的處理

要比較完整地解決探究性的問題，通常都得花費(fèi)較多的時(shí)間。因?yàn)檫@一特點(diǎn)，不少教師往往不敢開展這類問題的教學(xué)，生怕難于掌控課堂，生怕影響教學(xué)進(jìn)度，影響教學(xué)成績(jī)。這種想法恰恰與新課改的精神是矛盾的，應(yīng)該借助數(shù)學(xué)中的探究性學(xué)習(xí)讓學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)科學(xué)的探究精神。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生正確地處理“探究性問題”，筆者建議采用小組合作的形式。

針對(duì)上面提到的三個(gè)問題，筆者把全班學(xué)生分為了6大組（各組選定一學(xué)生為組長），由各組長組織成員利用課余時(shí)間對(duì)三個(gè)問題進(jìn)行研究，并填寫表格（每組派發(fā)三張，每個(gè)問題填寫一張）。

在研究的過程中，學(xué)生在各自組長的組織下，分工明確，在課余時(shí)間，到學(xué)校的多媒體教室，利用幾何畫板軟件對(duì)問題的探究過程、猜想、結(jié)果進(jìn)行了探討與驗(yàn)證。期間，筆者還兩次組織組長匯報(bào)對(duì)各自問題探究的進(jìn)展情況；有幾個(gè)組還邀請(qǐng)筆者當(dāng)“技術(shù)顧問”，比如教學(xué)生如何用“幾何畫板” 畫雙曲線，如何讓點(diǎn)移動(dòng)，直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)……到了第三天，筆者把表格全部收回，學(xué)生的研究結(jié)果令人感到滿意。筆者把這些結(jié)果進(jìn)行了完善和整理，并在收回的表格中評(píng)價(jià)學(xué)生，最后在課堂上與學(xué)生共同分享了這次探究的結(jié)果。

從探究的結(jié)果來看，問題的解決，既充分體現(xiàn)了解決解析幾何問題的思想方法——數(shù)形結(jié)合思想，也幾乎涵蓋了圓錐曲線中有關(guān)分類討論問題的解決思路，相信這種學(xué)習(xí)方式的影響是傳統(tǒng)的“接受式學(xué)習(xí)”所不能及的。

責(zé)任編輯羅峰