基于自適應方法的橡膠剛度求解研究

廖小平 李達 韓雁青

【摘 要】針對工程分析中橡膠大變形無法計算的問題進行研究，采用自適應方法求解橡膠剛度曲線。建立與試驗原型機一致的有限元模型，包含橡膠、橡膠底座及試驗機沖頭的系統(tǒng)。當橡膠發(fā)生大變形無法計算時，采用自適應方法繼續(xù)求解。該方法通過提取變形后的網格并進行重劃分，再進行結果映射，最后經過多次結果映射并重啟動分析，得到完整的橡膠剛度曲線。應用實例表明：自適應求解方法能夠解決橡膠大變形無法計算的問題，為橡膠參數(shù)反求提供條件，為橡膠新結構的設計階段提供驗證方法，縮短開發(fā)橡膠新結構的試驗周期。

【關鍵詞】橡膠；大變形；自適應方法；剛度曲線

【中圖分類號】U463.33 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2016）08-0067-04

0 前言

在汽車工業(yè)中，橡膠材料的元件主要集中在發(fā)動機、變速器、傳動軸與車架或車身的連接處，以及懸架系統(tǒng)中。橡膠的主要作用是衰減發(fā)動機、傳動系及路面?zhèn)鬟f到車身的振動，可以在很大程度上改善車輛的NVH性能。

橡膠材料的變形是一個非常復雜的過程，其伴隨著大位移、大應變。近年來，橡膠本構模型一直是國內外學者研究的熱門課題。首先在橡膠有限元分析中，橡膠本構模型類型的選取，對分析精度尤為重要。劉萌[1]等人采用Marc非線性有限元分析程序，用工程實用的測試方法，對橡膠材料單軸拉伸力學行為進行測試，擬合處理得到Mooney Rivlin模型材料常數(shù)，并與實際測試結果進行對比。結果表明，有限元模型計算所得力與位移關系曲線與實測曲線吻合較好，相對誤差小于6%。殷聞[2]等人則對比分析了2種橡膠本構模型Mooney Rivlin和Yeoh的參數(shù)，并進行了數(shù)學計算。他們采用非線性有限元軟件對三維啞鈴試樣進行不同載荷水平下的單軸拉伸試驗仿真，得出Mooney Rivlin模型能更好地模擬橡膠的中小變形行為的結論。

對于復雜結構的橡膠，用常規(guī)的分析方法無法得到完整的橡膠剛度曲線，以致橡膠制品的可靠性及疲勞性能一直停留在試驗驗證的階段。如果采用自適應方法重劃網格達到完整的橡膠剛度曲線，那么有限元技術的應用將縮短橡膠的設計周期，降低開發(fā)成本。因此，當已知橡膠襯套的設計剛度曲線時，根據工程經驗由具體的結構形式確定橡膠本構模型參數(shù)，通過自適應方法對原始設計模型進行橡膠有限元仿真，得到完整的橡膠剛度曲線后，再對比與設計剛度曲線的差距，以此確定橡膠是否滿足剛度要求，最后階段才通過試驗驗證，減少試驗周期。

1 橡膠有限元網格自適應方法

對于橡膠大變形結構件，為提高分析精度得到完整的橡膠剛度曲線，可以采用有限元自適應分析方法。自適應分析有3種方法：第一種是ALE自適應網格；第二種是自適應網格重劃；第三種是網格間的求解變換[2-3]。基于3種自適應分析方法的各自優(yōu)缺點，雖然都可以解決分析過程中網格畸變問題，但只有網格間的求解變換這種方法最適用于橡膠剛度的求解。它是用一個新的網格替代因變形過大而嚴重扭曲的原有網格，把原來的分析結果自動映射到新網格上，然后繼續(xù)分析[3-4]。

自適應分析流程如圖1所示：在多次網格重劃中，直接選取最大位移為初始分析步的最大壓縮量，但由于橡膠壓縮到一定程度時，網格會嚴重扭曲而使分析失??；這時再根據最后迭代的分析步中計算出初始分析步的壓縮量，然后再重新計算；接著，通過有限元軟件把計算得到的結果文件轉化為有限元模型，并生成幾何進行重劃，再把上一步計算得到的結果通過網格間的變換映射到新的網格中，同時要啟動重啟動分析步。重復上述過程，直至完成所需的壓縮量為止。最后，把設計剛度曲線與仿真分析剛度曲線作對比，判定新的設計結構是否滿足設計要求。兩次重劃分剛度曲線的連接點如果出現(xiàn)剛度點偏移的現(xiàn)象，必須在剛度偏移點的上一步驟重新選取更小的壓縮量來加載，再重新分析。

2 橡膠本構模型

橡膠分子鏈由許多鏈節(jié)組成，其間多通過鏈節(jié)節(jié)點處化學交聯(lián)而形成交聯(lián)網絡結構。鏈節(jié)一端節(jié)點到另一端節(jié)點的距離向量稱為末端距向量。從分子或原子運動原理出發(fā)，采用統(tǒng)計法，通過對長鏈分子彈性性質的研究，可確定橡膠的宏觀本構關系。由于組成原子的微布朗運動，橡膠長鏈分子可能有許多不同的構象。當沒有外力作用，分子鏈的卷曲構象熵通常趨于最大值。當有外力作用時，分子鏈的構象改變，構象熵也發(fā)生變化。若分子鏈由3個長為t的鏈節(jié)組成，鏈節(jié)末端距向量為γ0，如果γ0=γ0≤nt，則可采用Gauss統(tǒng)計理論，建立材料本構模型。橡膠材料為超彈性材料，反映其應力、應變關系的模型稱為本構模型。描述橡膠的本構模型種類相當多，均基于連續(xù)介質力學理論。19世紀以來，橡膠本構關系的理論模型很多且基本趨于成熟，主要分為3類：第一種是基于分子統(tǒng)計學理論的本構模型，如Arruda-Boyce模型、Kuhn-Grun模型；第二種是以應變不變量表示的應變能密度函數(shù)，其中比較有代表性的有Mooney-Rivlin，Yeoh；第三種是以主伸長率表示的應變能函數(shù)。不同的本構模型適用于不同的橡膠材料，所反映的精度也有一些差異[5-8]，因此選擇合理的橡膠材料的本構模型尤為重要。

2.1 Mooney-Rivlin本構模型

對于各向同性材料，假如I1、I2和I3分別為右Cauchy Green變形張量C的第一、第二、第三基本不變量，對于初始無應力構形的超彈性材料，應變能函數(shù)W可表示如下：

W=W（I1，I2，I3）（1）

I=trC=C∶I=C（2）

I2=■[（trC）2-tr（C）2]=■（■-CijCji） i，j=1，2，3（3）

I3=detC（4）

C=F TF（5）

C=α？字÷？墜？錐（6）

J=deft（7）

式中，I為二階張量不變量，F(xiàn)為變形梯度，х和Х分別為同一點在變形前后的坐標，J為變形后與變形前的體積比。

Tschoegl N W[11]認為，含高階項的Mooney-Rivlin模型能更好地適應填充與非材料填充，Mooney-Rivlin[8]通過物質相變理論和大量試驗，探討了不可壓縮各向同性超彈性材料有限變形彈性理論，假設單位體積的儲能函數(shù)是右Cauchy Green變形張量的第一和第二基本不變量函數(shù)，建立的橡膠材料應變能函數(shù)如下：

W=C10（I1-3）+C01（I2-3）+■（U-1）2

式中，C10、C01、D1為待確定的描述橡膠力學特性的參數(shù)、U是應變能密度。

由于橡膠材料的幾何和材料的雙重非線性、超彈性及體積的不可壓縮性，使得對任何橡膠制品進行有限元分析時都會遇到同樣的難題：即大變形時計算的收斂性及接觸問題的收斂性。這是目前在橡膠制品的有限元分析中存在的一個共同的難題。如果按常規(guī)的方法，即使畫再小的網格，由于網格畸變，也不能完成所需的壓縮量。橡膠本構模型的材料參數(shù)對有限元的計算結果影響很大，即使對于同一個本構模型，選擇不同的材料參數(shù)也會得到不同的計算結果。參考文獻[6]的實驗結論：兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型能更好地模擬橡膠材料中等應變范圍的應變能。Mooney-Rivlin模型能很好地描述橡膠變形在150%內的特性，研究文獻廣泛采用，因為它是兩參數(shù)本構模型，系數(shù)擬合方面更方便。

3 應用實例

在某車的后懸緩沖塊設計初期，已知后懸緩沖塊的設計剛度曲線時，根據工程經驗由具體的結構形式確定橡膠材料本構模型Mooney-Rivlin的2個參數(shù)。但如果用試驗方法驗證橡膠剛度，周期較長。通過對原始設計模型進行有限元分析，對比仿真剛度曲線與設計剛度曲線的差距，以此確定橡膠是否滿足剛度要求，減少開發(fā)周期。

3.1 橡膠剛度試驗原型機

橡膠剛度試驗原型機主要由3個部分組成：橡膠底座、橡膠本體、試驗機沖頭（如圖2所示）。

3.2 橡膠剛度試驗物理模型的建立

建立橡膠材料的本構模型時，必須同時考慮橡膠材料的非線性和幾何非線性。在ABAQUS有限元分析軟件中，根據圖3中的模型結構，假設橡膠底座及試驗沖頭不發(fā)生變形，建立緩沖塊的三維有限元模型，網格大小為2～3 mm，橡膠底座及試驗沖頭建二維剛體單元，網格尺寸為5 mm（如圖3所示）。檢查橡膠和橡膠上下端面的固定和加載裝置的干涉情況，以便計算結果更好地收斂。

本模型包含節(jié)點21 379個，單元18 476個，其中包括2 222個剛體單元、16 254個六面體單元。剛體單元的單元類為R3D3/R3D4，六面體采用雜交單元C3D8H（如圖3所示）。根據實際情況約束底座全部自由度及沖頭除壓縮位置自由度，并在沖頭控制點加載，同時主要部位的橡膠自接觸模擬，與其他部位用綁定接觸模擬。

確定Mooney-Rivlin本構模型參數(shù)。首先是對已有車型的多個同類緩沖塊進行分析，對比仿真剛度與測設剛度的匹配情況，應用參數(shù)反求，通過設定目標值，反求出最佳材料參數(shù)，然后根據經驗確定Mooney-Rivlin本構模型的2個參數(shù)。

3.3 自適應分析過程與重啟動過程

初始階段設定一個最大的橡膠壓縮量A，提交abaqus計算分析，當網格發(fā)生畸變時，無法收斂而終止分析，這時通過計算最后迭代步與壓縮總量的乘積來確定初始分析步的初始壓縮量a1，再重新提交abaqus計算分析。查看初始分析步橡膠剛度曲線是否正常，變形網格如圖4所示。建立好以上模型后，必須要設置重啟動，為第二次分析做準備。

二次分析：提取初始分析最后分析步的變形后的結果網格（如圖4所示），生成幾何模型后重劃，再重新劃質量好的三維網格，并將模型的不同區(qū)域賦予與初始模型相同的材料及單元屬性，也要設置重啟動參數(shù)，為第三次重劃網格分析做準備。然后設定一個剩余壓縮量（A-a1），提交abaqus計算分析。當網格發(fā)生畸變時，無法收斂而終止分析，這時通過計算最后迭代步與壓縮總量的乘積來確定二次分析步的初始壓縮量a2，同時要讓step1分析結果映射到二次分析step2中，使用關鍵字*MAP SOLUTION，再重新提交abaqus重啟動分析。查看初始分析步橡膠剛度曲線和變形圖是否正常（如圖5所示），如果前后的剛度點基本重合，則說明二次分析完成，如剛度點出現(xiàn)大的偏移（如圖6所示），則說明初始分析時單元出現(xiàn)了過大的網格畸變，需要施加一個更小的壓縮量，接著重新進行計算，這是自適應方法的關鍵技術之一。如果橡膠變形過大，則需要3次甚至多次網格重劃來完成整個分析，以得到一個較真實的計算結果（如圖7、圖8所示）。

3.4 結果討論

本例通過3次網格自適應方法，即3次網格間的變化和重啟動求解得到一條完整的橡膠剛度曲線。分析剛度曲線是由初始分析步剛度曲線、二次分析剛度曲線、三次分析步剛度曲線及四次分析步剛度曲線，總共4個分析步首位相連得到完整的剛度曲線（如圖9所示）。由最終的分析剛度曲線與設計剛度曲線的對比結果看，本例的緩沖塊基本滿足設計剛度要求，可以采用此結構。

4 結論

（1）針對結構復雜的橡膠，在壓縮到一定程度后無法計算的問題，采用自適應方法重劃分網格繼續(xù)計算，分析得到完整的橡膠剛度曲線，為橡膠新結構的設計階段提供驗證方法。

（2）本文簡化橡膠臺架實驗模型，能有效地提高計算效率。

（3）該方法具有較強的工程實用性，可以進一步應用到橡膠的參數(shù)反求中，以縮短產品開發(fā)周期。

參 考 文 獻

[1]劉萌，王青春，王國權.橡膠Mooney—Rivlin模型中材料常數(shù)的確定[J].橡膠工業(yè)，2011，58（4）：241-245.

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[責任編輯：陳澤琦]