一種改進(jìn)閾值法陀螺信號(hào)消噪的研究

韓 東

（西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院招生就業(yè)處，西安 710089）

光纖陀螺（FOG）是一種全固態(tài)慣性器件，已經(jīng)在捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用，它具有壽命長(zhǎng)、耐沖擊、動(dòng)態(tài)范圍寬等優(yōu)點(diǎn)[1]。但同時(shí)也具有一些缺點(diǎn)，例如：在受到外界環(huán)境影響，溫度變化、以及沖擊和振動(dòng)等引起的噪聲混疊，就會(huì)嚴(yán)重影響陀螺輸出的精度。對(duì)這些噪聲的干擾要進(jìn)行補(bǔ)償設(shè)計(jì)，要在得到他們準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)特性基礎(chǔ)上，建立一個(gè)環(huán)境變量的多維模型，而通過(guò)辨識(shí)噪聲參數(shù)、在線實(shí)時(shí)擬合等方法來(lái)得到這個(gè)模型在實(shí)現(xiàn)上存在一定的困難。而對(duì)光纖陀螺輸出進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)不用其漂移模型，直接濾波，通過(guò)對(duì)信號(hào)的消噪到達(dá)抑制干擾噪聲是可行的[2]。

利用小波分析的時(shí)頻局部化特性、多分辨分析的優(yōu)點(diǎn)，可以根據(jù)信號(hào)和噪聲在小波域具有不同的特征將有效的信號(hào)和噪聲分離開來(lái)。因此，在光纖陀螺信號(hào)的消噪方面采用小波分析方法被認(rèn)為是一種非常有效的方法[3]。在小波分析的基礎(chǔ)上提出來(lái)了小波包理論，它能夠?yàn)樾盘?hào)提供一種更緊密細(xì)致的分析方法，從而獲得更細(xì)致的時(shí)頻局部化信息。

在光纖陀螺輸出信號(hào)中主要存在廣義高斯白噪聲和1/f γ分形噪聲[4]。本文結(jié)合陀螺噪聲的特點(diǎn)，分類估計(jì)噪聲強(qiáng)度，使用小波包消噪方法對(duì)陀螺輸出進(jìn)行處理時(shí)，根據(jù)分解尺度自適應(yīng)地確定閾值，并提出一種連續(xù)的閾值函數(shù)，規(guī)避了傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)存在的缺陷。與傳統(tǒng)閾值消噪相比，新算法能有效去除噪聲，更好地保留真實(shí)信號(hào)，在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)情況下均具有較好效果。

1 小波包分解與重構(gòu)原理

小波變換實(shí)質(zhì)上是把信號(hào)分解為不同尺度和頻率的小波子空間。小波變換只對(duì)信號(hào)的低頻部分做進(jìn)一步分解，而對(duì)高頻部分不予考慮，小波包針對(duì)信號(hào)頻帶進(jìn)行多層次的劃分，對(duì)高頻段進(jìn)一步進(jìn)行分解，能夠根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶[5-6]。

定義子空間是函數(shù)φn(t)的閉包空間，令φn(t)滿足下面的雙尺度方程。

式中，即兩系數(shù)具有正交關(guān)系。設(shè)可表示為：

式中是在中投影的系數(shù)。

小波包分解算法：

小波包分解的實(shí)質(zhì)是通過(guò)h、g這一對(duì)低、高通組合正交鏡像濾波器進(jìn)行組合采樣，把信號(hào)逐層分解到不同頻段上。小波包分解的頻段寬度Δf與分解層數(shù)j及采樣頻率fS滿足關(guān)系式：

由上式可得，選擇適當(dāng)?shù)姆纸鈱訑?shù)可得到頻段寬度及各頻段起止頻率，就可以分離陀螺信號(hào)中的特征信號(hào)和干擾噪聲。

小波包的重構(gòu)算法：

2 光纖陀螺噪聲的估計(jì)

光纖陀螺誤差按照噪聲項(xiàng)的來(lái)源可分為5種：偏置不穩(wěn)定性噪聲、角度隨機(jī)游走噪聲、速率斜坡噪聲速率、隨機(jī)游走噪聲和量化噪聲。它們是功率譜密度和頻率的γ成反比的1/f γ分形噪聲。光纖陀螺的輸出可表示為：

式中，μ(t)表示分形噪聲，ω(t)表示高斯白噪聲。假設(shè)μ(t)與ω(t)相互獨(dú)立不相關(guān)，s(t)表示陀螺輸出的有效信號(hào)。對(duì)光纖陀螺靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行去常值漂移和線性趨勢(shì)項(xiàng)的預(yù)處理，有效信號(hào)非常弱，已經(jīng)淹沒在噪聲中，近似有s(t)≈0。則式（6）可改寫為：

f(t)即為零漂信號(hào)。

2.1 高斯白噪聲方差估計(jì)

對(duì)于式（7）所示的陀螺信號(hào)計(jì)算其自相關(guān)函數(shù)。

式中為高斯白噪聲方差。

由式（8）知，陀螺信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)在τ=0處為白噪聲方差與分形噪聲自相關(guān)函數(shù)之和。因此，通過(guò)陀螺信號(hào)自相關(guān)函數(shù)在非零點(diǎn)的值擬合Rf(τ)-τ曲線，估計(jì)出零點(diǎn)值，則可由信號(hào)源自相關(guān)函數(shù)零點(diǎn)值與擬合估計(jì)的零點(diǎn)值相減得到的估計(jì)值。然而完全不相關(guān)的白噪聲是不存在的，實(shí)測(cè)的陀螺信號(hào)自相關(guān)函數(shù)與單純的1/f γ分形噪聲自相關(guān)函數(shù)在非零處上是不可能完全重合的，因此，引入總延遲時(shí)間T來(lái)提高擬合精度，更加準(zhǔn)確的白噪聲強(qiáng)度進(jìn)行估計(jì)。具體確定T的方法參見文獻(xiàn)[7]，文中不再?gòu)?fù)述。

2.2 分形噪聲方差估計(jì)

1/f γ分形噪聲在時(shí)域是非平穩(wěn)的，對(duì)其進(jìn)行小波變換后，用表示尺度為j時(shí)，k時(shí)刻的小波系數(shù)。若變換所用的小波基具有R階消失矩，對(duì)于0＜γ＜2R，分形噪聲在尺度j時(shí)的小波系數(shù)是零均值，方差為的弱相關(guān)平穩(wěn)隨機(jī)序列表示分形噪聲時(shí)域的方差。在相同尺度下，序列的相關(guān)性隨R的增加而呈指數(shù)下降，當(dāng)R較大時(shí)，序列幾乎不相關(guān)。采用具有高階消失矩的小波函數(shù)對(duì)式（7）所示信號(hào)進(jìn)行小波變換，可得各尺度下小波系數(shù)的方差關(guān)系式：

由于白噪聲的噪聲水平不隨小波分解尺度的變化而改變，因此式（9）中的即為2.1節(jié)中估計(jì)出的白噪聲方差值。對(duì)式（9）移項(xiàng)后兩邊取對(duì)數(shù)得：

式中可由直接計(jì)算各尺度小波系數(shù)方差得到。將分解尺度j作為自變量作為因變量，通過(guò)最小二乘擬合的方法得到分形噪聲方差和參數(shù)γ[8]。

3 小波包閾值消噪

在小波包標(biāo)架中，其信號(hào)消噪的算法思想與一般小波消噪基本一致，都是通過(guò)對(duì)小波域系數(shù)進(jìn)行閾值處理以達(dá)到去除噪聲的目的，最大限度保留有效信號(hào)小波系數(shù)，實(shí)現(xiàn)降噪。小波包分析是對(duì)上一層的低頻部分和高頻部分進(jìn)行細(xì)分，因此具有更為精確的局部分析能力。因此對(duì)信號(hào)進(jìn)行第J層小波包分解時(shí)有2J組分解系數(shù)，而引入小波包變換是為了讓能量集中，也就是在小波系數(shù)中尋找有序性[9]，因此，把所有部分都進(jìn)行分解對(duì)解決問(wèn)題是沒有幫助的。這就需要有一定的衡量標(biāo)準(zhǔn)，一般采用最小熵原則。熵是用來(lái)度量信息規(guī)律性的概念，熵越小信息的規(guī)律性就越強(qiáng)，據(jù)此準(zhǔn)則可以得到一個(gè)信號(hào)分解的樹狀結(jié)構(gòu)，稱為小波樹。那么尋求最優(yōu)小波樹就是力圖使分解有最大的規(guī)律性，把信號(hào)內(nèi)在規(guī)律挑出來(lái)。

3.1 閾值選取和改進(jìn)

閾值的確定以及函數(shù)的選取是小波閾值消噪算法的兩個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題，它們將直接影響到消噪的效果。要根據(jù)信號(hào)中所含噪聲特征選擇合適的閾值。若閾值太小，去噪后的信號(hào)仍然存有噪聲；閾值過(guò)大，則可能將信號(hào)的主要特征也一并濾除掉，引起偏差。目前，常用的閾值準(zhǔn)則為：

式中，N為給定細(xì)節(jié)子帶的小波系數(shù)長(zhǎng)度，σ為信號(hào)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，它可由第一層分解下由小波系數(shù)的絕對(duì)值中值M來(lái)估計(jì)。

上述閾值是系數(shù)間相互獨(dú)立的，且噪聲為白噪聲的假設(shè)推導(dǎo)出的，在不同的尺度上閾值變化規(guī)律相同。然而，光纖陀螺信號(hào)中除了含有白噪聲外還有分形噪聲，信號(hào)為非平穩(wěn)序列，由此通過(guò)M估計(jì)噪聲水平，不能很好地反映噪聲變化的規(guī)律，進(jìn)而計(jì)算閾值就會(huì)存在偏差。而且依該準(zhǔn)則計(jì)算的閾值受信號(hào)長(zhǎng)度影響，系數(shù)長(zhǎng)度N過(guò)大時(shí)，λ趨向于將所有小波系數(shù)置零，易產(chǎn)生“過(guò)扼殺”系數(shù)的情況，增大重構(gòu)誤差。

針對(duì)上述問(wèn)題，并考慮到閾值隨分解尺度增大而逐漸減小的特點(diǎn)，本文采用Normal Shrink準(zhǔn)則計(jì)算閾值。

對(duì)不同的子帶，所選取的閾值大小跟分解的尺度、子帶系數(shù)長(zhǎng)度密切相關(guān)。由于陀螺信號(hào)中主要包括白噪聲和分形噪聲，所以σ2按下式估計(jì)：

式中，白噪聲方差和分形噪聲方差分別由2.1節(jié)和2.2節(jié)的方法得到。

3.2 一種新的連續(xù)閾值函數(shù)

目前，軟閾值方法和硬閾值方法在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。

硬閾值函數(shù)為：

軟閾值函數(shù)為：

式中，sign表示取符號(hào)運(yùn)算。硬閾值法去噪效果較好，但該函數(shù)在±λ處不連續(xù)，易引起重構(gòu)信號(hào)的振蕩，在不連續(xù)點(diǎn)處消噪后會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象；軟閾值方法計(jì)算出來(lái)的雖然整體連續(xù)性好，降噪效果相對(duì)平滑，但在間總存在恒定的偏差，使得重構(gòu)信號(hào)對(duì)真實(shí)信號(hào)的逼近程度得到嚴(yán)重影響。并且它們的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，在實(shí)際應(yīng)用中需要對(duì)一階導(dǎo)數(shù)甚至高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行處理時(shí)，這兩種閾值函數(shù)存在一定局限性。為了這些缺點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外的科學(xué)家研究了很多閾值函數(shù)改進(jìn)方法，但其中大都表達(dá)式復(fù)雜，并且分段取值。本文提出一種連續(xù)的閾值函數(shù)，它具有連續(xù)的高階導(dǎo)數(shù)，在時(shí)可以較快逼近硬閾值函數(shù)。

新的閾值函數(shù)選擇以2為底的指數(shù)函數(shù)做收縮系數(shù)，便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。該閾值函數(shù)主要針對(duì)含有少量真實(shí)信息的小波系數(shù)處理上，將這些系數(shù)做收縮處理，最大程度的保留真實(shí)信號(hào)，消減絕對(duì)值接近或低于閾值的小波系數(shù)，使它們遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他系數(shù)。式（17）中α、β為正整數(shù)，隨著α的增大由趨于零收縮變?yōu)橼呌讦豭,k的轉(zhuǎn)折段越來(lái)越遠(yuǎn)離原點(diǎn)，當(dāng)α=4時(shí)該轉(zhuǎn)折段在閾值附近；β越大，新方法計(jì)算的越逼近于硬閾值，不過(guò)隨著β增大計(jì)算量也相應(yīng)增大。在閾值附近，新閾值函數(shù)具有軟閾值函數(shù)的作用，它可使得閾值消噪以較為平滑的方式實(shí)現(xiàn)，使在閾值附近的小波系數(shù)收縮后更加接近原信號(hào)的小波系數(shù)，從而能有效抑制由于直接截?cái)嗫赡芤鸬奶摷僬袷帯?/p>

4 仿真試驗(yàn)

首先，選用光纖陀螺靜態(tài)漂移數(shù)據(jù)對(duì)消噪方法進(jìn)行檢驗(yàn)，將某干涉型光纖陀螺固定在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，其輸入敏感軸指向正東方向，對(duì)準(zhǔn)誤差控制在角秒范圍，轉(zhuǎn)臺(tái)保持靜止，采樣頻率20Hz。分別采用通用閾值的小波包消噪法和改進(jìn)閾值函數(shù)的小波包消噪法處理陀螺輸出。用db4小波基分解至5層，以Shannon熵作為熵標(biāo)準(zhǔn)確定最優(yōu)小波樹，通用閾值消噪時(shí)采用硬閾值函數(shù)，改進(jìn)閾值消噪時(shí)參數(shù)α、β仍取4和5。

表1 光纖陀螺靜態(tài)輸出小波包消噪前后各噪聲系數(shù)

陀螺原始輸出數(shù)據(jù)如圖1（a）所示，其中含有大量非平穩(wěn)隨機(jī)噪聲。通過(guò)小波包通用閾值法消噪后,信號(hào)波形變?yōu)閳D1（b），噪聲得到較好抑制，信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差由消噪前的0.39979°/h降至0.10744°/h，但由于閾值函數(shù)截?cái)嘞牒笮盘?hào)存在振蕩，波形不夠平滑。圖1（c）是采用改進(jìn)閾值消噪后的信號(hào)波形，標(biāo)準(zhǔn)差為0.10046°/h，消噪效果優(yōu)于通用閾值法，而且有效避免了振蕩[10]。

圖1 光纖陀螺原始輸出信號(hào)及小波包消噪后信號(hào)Fig.1 Original output signal of fiber optic gyro and wavelet packet de-noising signal

對(duì)消噪前后的陀螺靜態(tài)漂移信號(hào)進(jìn)行Allan方差分析，以確定存在于信號(hào)中的各項(xiàng)噪聲水平。

從消噪前后擬合得到的各項(xiàng)隨機(jī)誤差系數(shù)可以看出，在經(jīng)過(guò)了小波包消噪后各項(xiàng)誤差都得到一定程度的減小，并且文中所提方法對(duì)噪聲的抑制效果要更好些。

為驗(yàn)證對(duì)光纖陀螺動(dòng)態(tài)輸出信號(hào)的濾波效果，利用Matlab中的bumps信號(hào)作為陀螺輸出的有效信號(hào)，通過(guò)數(shù)字信號(hào)處理的方法模擬各噪聲項(xiàng)：用廣義白噪聲模擬角度隨機(jī)游走噪聲；用高斯白噪聲的一次積分模擬速率隨機(jī)游走噪聲；用均值為零，方差為L(zhǎng)SB2/2的高斯白噪聲模擬量化噪聲，LSB表示角度量化的最低有效位；用隨機(jī)速率斜坡函數(shù)模擬速率斜坡噪聲；用正交小波變換的方法模擬偏置不穩(wěn)定性噪聲[11]；用一階Markov過(guò)程來(lái)模擬指數(shù)相關(guān)噪聲。按不同的信噪比將信號(hào)與噪聲疊加在一起，模擬含噪的光纖陀螺動(dòng)態(tài)輸出信號(hào)，進(jìn)行小波包消噪處理。

濾波前模擬含噪信號(hào)的信噪比（SNR）為25dB，信號(hào)波形如圖2（a）所示。圖2（b）是經(jīng)通用閾值法消噪后的信號(hào)，信噪比提高到34.95dB，而改進(jìn)閾值法消噪后結(jié)果為圖2（c），信噪比為35.63dB。

對(duì)于模擬的光纖陀螺動(dòng)態(tài)輸出設(shè)定不同的信噪比，經(jīng)過(guò)兩種閾值方法消噪后，信噪比改善情況（消噪前后信噪比之差）如圖3所示。從圖中可看出，在各種信噪比輸入下，本文提出的改進(jìn)閾值消噪法對(duì)信噪比的改善效果均要優(yōu)于通用閾值法。

圖2 模擬光纖陀螺動(dòng)態(tài)輸出信號(hào)的小波包消噪Fig.2 Wavelet packet de-noising for simulating the dynamic output signal of fiber optic gyro

圖3 信噪比改善曲線Fig.3 Signal to noise ratio improvement curve

5 結(jié)論

采用小波包消噪法處理光纖陀螺輸出信號(hào)，可以在各尺度上更加細(xì)致地對(duì)噪聲進(jìn)行抑制。文中對(duì)以往小波包閾值消噪法的閾值和閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，提出一種連續(xù)的閾值函數(shù)用于小波系數(shù)處理。通過(guò)對(duì)陀螺靜態(tài)輸出的消噪驗(yàn)證和動(dòng)態(tài)信號(hào)的仿真處理，證明改進(jìn)的閾值方法可以更好地保存原信號(hào)中的尖峰和突變特征，同時(shí)有效抑制噪聲。這是因?yàn)樵谛滤惴ㄖ?，各層小波系?shù)的閾值是根據(jù)所在層噪聲的幅度自適應(yīng)調(diào)節(jié)的，并且估計(jì)噪聲方差時(shí)針對(duì)光纖陀螺噪聲項(xiàng)特點(diǎn)進(jìn)行辨識(shí)計(jì)算，比單純選用第一層小波分解系數(shù)中值做估計(jì)要精確，且新的連續(xù)閾值函數(shù)使小波系數(shù)閾值處理以較為平滑的方式實(shí)現(xiàn)，在閾值附近具有相似于軟閾值函數(shù)的作用，在閾值之上時(shí)又具有硬閾值函數(shù)的作用，使濾波后小波系數(shù)取值更加接近原信號(hào)小波系數(shù)取值。改進(jìn)的閾值方法在計(jì)算量上比通用閾值法有所增加，適用于對(duì)消噪處理實(shí)時(shí)性要求不高，但消噪精度要求較高的場(chǎng)合。

[1]周泓.光纖陀螺的應(yīng)用與發(fā)展[J].國(guó)防技術(shù)基礎(chǔ),2010(3):41-42.

ZHOU Hong. Application and development of fiber optic gyro[J].Technology Foundation of National Defence, 2010(3):41-42.

[2]ZHU Yunzhao, WANG Shunting, MIAO Lingjuan. Open loop FOG signal testing and wavelet eliminating noise [J]. Transactions of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2005, 22(2):103-106.

[3]付強(qiáng)文,張英敏.光纖陀螺信號(hào)處理的實(shí)用方法 [J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào), 2005,18(1): 101-104.

FU Qiangwen, ZHANG Yingmin. A Practical method of fiber optic gyro signal processing[J]. Journal of Sensing Technology, 2005, 18(1):101-104.

[4]SKALOUD J, BRUTON A M, SCHWARZ K P. Detection and filtering of short-term(1/f γ) noise in inertial sensors [J]. Navigation, 1999,46(2):97-107.

[5]陳婧,宋凝芳,李敏.小波分析在光纖陀螺分形噪聲模擬中的應(yīng)用[J].電光與控制, 2010, 17(5):50-53.

CHEN Jing, SONG Ningfang, LI Ming. Application of wavelet analysis in simulation of fractal noise of fiber optic gyroscope[J]. Electronics Optics& Control, 2010, 17(5):50-53.

[6]錢華明,馬吉臣,李仲玉.基于小波包閾值處理的光纖陀螺信號(hào)降噪[J].中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào), 2007, 15(5):602-605.

QIAN Huaming, MA Jichen, LI Zhongyu. Fiber optic gyro signal denoising based on wavelet packet threshold processing [J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2007, 15(5):602-605.

[7]何凱,王樹勛,戴逸松.估計(jì) 類分形信號(hào)信噪比的新方法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 34(1):36-38.

HE Kai, WANG Shuxun, DAI Yisong. New SNR estimation method to1/f fractal signal [J]. Journal of Jilin University of Technology(Natural Science Edition), 2004, 34(1):36-38.

[8]武華伍,任章.光纖陀螺中分形噪聲的參數(shù)估計(jì)和去除.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 34(6):630-633.

WU Huawu, REN Zhang. Parameter estimation and elimination to fractal noise of fiber optic gyro[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2008, 34(6):630-633.

[9]徐東星.基于小波變換的數(shù)字信號(hào)去噪方法[D].武漢：湖北大學(xué), 2008.

XU Dongxing. Digital signal denoising method based on wavelet transform [D]. Wuhan:Hubei University, 2008.

[10]ALLAN D.W. Statistics of atomic frequency standards [J].Proceedings of the IEEE, 1996, 54(2):221-230.

[11]葛升民,邊志強(qiáng),韓良軍,等.光纖陀螺隨機(jī)誤差特性仿真與辨識(shí)[J].測(cè)試技術(shù)學(xué)報(bào), 2008, 22(4):328-332.

GE Shengmin, BIAN Zhiqiang, HAN Liangjun, et al. Research on simulation and identification of random error properties for FOG[J]. Journal of Test and Measurement Technology, 2008, 22(4):328-332.