曲線運(yùn)動(dòng)在各領(lǐng)域中的應(yīng)用

張統(tǒng)勛

曲線運(yùn)動(dòng)在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用較多，本文舉例列出社會(huì)、生活、科技等領(lǐng)域的一些應(yīng)用，以期能夠幫助同學(xué)們更好地理解曲線運(yùn)動(dòng)的內(nèi)容，并能夠靈活地應(yīng)用.

令一、平拋運(yùn)動(dòng)

（一）體育運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用

例1 一帶有乒乓球發(fā)射機(jī)的乒乓球臺(tái)如圖l所示.水平臺(tái)面的長(zhǎng)和寬分別為L(zhǎng)1和L2，中間球網(wǎng)高度為h，發(fā)射機(jī)安裝于臺(tái)面左側(cè)邊緣的中點(diǎn)，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點(diǎn)距臺(tái)面高度為3h.不計(jì)空氣阻力的作用，重力加速度大小為g，若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上，則v的最大取值范圍是（）

解析 當(dāng)發(fā)射機(jī)正對(duì)右側(cè)臺(tái)面發(fā)射，乒乓球恰好過網(wǎng)時(shí)，發(fā)射速度最小.由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，聯(lián)立解得：

（二）公路交通的應(yīng)用

例2 在發(fā)生的交通事故中，碰撞占了相當(dāng)大的比例，事故發(fā)生時(shí)，車體上的部分物體（例如油漆碎片、車燈、玻璃等）會(huì)因碰撞而脫離車體，位于車輛上不同高度的兩個(gè)物體散落在地面上的位置是不同的，如圖2所示，據(jù)此可以測(cè)定碰撞瞬間汽車的速度，這對(duì)于事故責(zé)任的認(rèn)定具有重要作用，《中國(guó)汽車駕駛員》雜志第163期發(fā)表的第一篇文章中給出了一個(gè)計(jì)算碰撞瞬間車輛速度的公式，在式中△L是事故現(xiàn)場(chǎng)散落在路面上的兩物體沿公路方向上的水平距離，h1、h2是散落物在車上時(shí)的離地高度.只要用米尺測(cè)量出事故現(xiàn)場(chǎng)的△L、h1、h2三個(gè)量，根據(jù)上述公式就能計(jì)算出碰撞瞬間車輛的速度.（g取9.8m/s?）你認(rèn)為上述公式正確嗎？若正確，請(qǐng)說明正確的理由；若不正確，請(qǐng)說明不正確的原因.

（三）軍事演習(xí)的應(yīng)用

例3 如圖3所示，裝甲車在水平地面上以速度vo=20m/s沿直線前進(jìn)，車上機(jī)槍的槍管水平，距地面高為h=1.8m.在車正前方豎直一塊高為2m的長(zhǎng)方形靶，其底邊與地面接觸.槍口與靶距離為L(zhǎng)時(shí)，機(jī)槍手正對(duì)靶射出第一發(fā)子彈，子彈相對(duì)于槍口的初速度為v=800m/s.在子彈射出的同時(shí)，裝甲車開始勻減速運(yùn)動(dòng)，行進(jìn)s=90m后停下.裝甲車停下后，機(jī)槍手以相同方式射出第二發(fā)子彈.（不計(jì)空氣阻力，子彈看成質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g=10m/s?）

（1）求裝甲車勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大?。?/p>

（2）當(dāng)L=410m時(shí)，求第一發(fā)子彈的彈孔離地的高度，并計(jì)算靶上兩個(gè)彈孔之間的距離：

（3）若靶上只有一個(gè)彈孔，求L的范圍.

例4《憤怒的小鳥》是一款時(shí)下非常流行的游戲，游戲中的故事也相當(dāng)有趣，如圖4甲所示，為了報(bào)復(fù)偷走鳥蛋的肥豬們，鳥兒以自己的身體為武器，如炮彈般彈射出去攻擊肥豬們的堡壘.某班的同學(xué)們根據(jù)自己所學(xué)的物理知識(shí)進(jìn)行假設(shè)：小鳥被彈弓沿水平方向彈出，如圖4乙所示，若h1=0.8m，ι1=2m，h2=2.4m，ι2=1m，小鳥飛出后能否直接打中肥豬的堡壘？請(qǐng)用計(jì)算結(jié)果進(jìn)行說明.（取重力加速度g=10m/s?）可見小鳥不能直接擊中堡壘，

二、圓周運(yùn)動(dòng)

（一）體育比賽的應(yīng)用

例1 如圖5所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)水平“U”形彎道，轉(zhuǎn)彎處為圓心在O點(diǎn)的半圓，內(nèi)外半徑分別為r和2r一輛質(zhì)量為m的賽車通過AB線經(jīng)彎道到達(dá)A‘B線，有如圖5所示的①②③三條路線，其中路線③是以O(shè)'為圓心的半圓，OO'=r.賽車沿圓弧路線行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力為Fmax.選擇路線，賽車以不打滑的最大速率通過彎道（所選路線內(nèi)賽車速率不變，發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大），則

A.選擇路線①，賽車經(jīng)過的路程最短

B.選擇路線②，賽車的速率最小

C.選擇路線③，賽車所用時(shí)間最短

D.①②③三條路線的圓弧上，賽車的向心加速度大小相等

解析 路線①的路程為s1=2r+1/2×2πr=2r+πr，路線②的路程為s2=2r+1/2×2π×2r=2r+2πr，路線③的路程為s，=2πr，故選擇路線①，賽車經(jīng)過的路程最短，選項(xiàng)A正確；因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)過程中賽車以不打滑的最大速率通過彎道，即最大徑向靜摩擦力充當(dāng)向心力，所以有Fmax=ma，所以運(yùn)動(dòng)的

（二）鐵路交通的應(yīng)用

例6 鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的，彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)外軌道高度差h的設(shè)計(jì)不僅與r有關(guān)，還取決于火車在彎道上的行駛速率，下表中是鐵路設(shè)計(jì)人員技術(shù)手冊(cè)中彎道半徑r及與之對(duì)應(yīng)的軌道的高度差h：（g=10m/s?）

（1）據(jù)表中數(shù)據(jù)，導(dǎo)出h和r關(guān)系的表達(dá)式，并求出r=44m時(shí)h的值？

（2）鐵路建成后，火車通過彎道時(shí)，為保證絕對(duì)安全，要求內(nèi)、外軌道均不向車輪施加側(cè)向壓力，又已知我國(guó)鐵路內(nèi)、外軌的間距設(shè)計(jì)值1=1435mm，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，算出我國(guó)火車的轉(zhuǎn)彎速度v.（以km/h為單位，結(jié)果取整數(shù)）（設(shè)軌傾角很小時(shí)，正弦值按正切值處理）.

（3）近幾年，人們對(duì)交通運(yùn)輸?shù)目旖萏岢隽烁叩囊?，為了提高運(yùn)輸力，國(guó)家對(duì)鐵路不斷進(jìn)行提速，這就要求鐵路轉(zhuǎn)彎速率也需要提高.請(qǐng)根據(jù)上述計(jì)算原理和上述表格分析提速時(shí)應(yīng)采取怎樣的有效措施？

解析 （1）由表中數(shù)據(jù)可知，每組的h與r之積為常數(shù)hr=660×50×10^-3㎡=33㎡.當(dāng)r=44m時(shí)代人h=75mm.

（2）如圖6所示，內(nèi)、外軌對(duì)輪沒有側(cè)向壓力時(shí)，火車的受力如圖所示.速度可采用：①適當(dāng)增加內(nèi)外軌的高度差h，②適當(dāng)增加軌道半徑r.

（三）娛樂設(shè)施的應(yīng)用

例7“飛車走壁”雜技表演比較受青少年的喜愛，這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)由雜技演員駕駛摩托車沿表演臺(tái)的側(cè)壁做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)化后的模型如圖7所示.若表演時(shí)雜技演員和摩托車的總質(zhì)量不變，摩托車與側(cè)壁間沿側(cè)壁傾斜方向的摩擦力恰好為零，軌道平面離地面的高度為H，側(cè)壁傾斜角度a不變，則下列說法中正確的是（）

A.摩托車做圓周運(yùn)動(dòng)的H越高，向心力越大

B.摩托車做圓周運(yùn)動(dòng)的H越高，線速度越大

C.摩托車對(duì)側(cè)壁的壓力隨高度H增大而增大

D.摩托車對(duì)側(cè)壁的壓力隨高度H增大而減小

解析 經(jīng)分析可知，摩托車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力及側(cè)壁對(duì)摩托車彈力的合力提供，由力的合成知其大小不隨H的變化而變化，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因摩托車和雜技演員整體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所受合外力等于向心力，即，隨H的增大，r增大，線速度增大，選項(xiàng)B正確；向心力與速度一直垂直，不做功，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由力的合成與分解知識(shí)知摩托車對(duì)側(cè)壁的壓力恒定不變，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

（四）科學(xué)研究中的離心試驗(yàn)

例8 如圖8所示是離心試驗(yàn)器的原理圖.可以用離心試驗(yàn)器來研究過荷對(duì)人體的影響，測(cè)試人的抗荷能力.離心試驗(yàn)器轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，被測(cè)試者做勻速圓周運(yùn)動(dòng).現(xiàn)觀察到圖中直線AB（即垂直于座位的直線）與水平桿成30°角，被測(cè)試者對(duì)座位的壓力是他重力的多少倍？

解析 被實(shí)驗(yàn)者做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由它所受的重力和座位對(duì)他的支持力的合力提供，如圖9所示.

x：FNcos30°=mrω?

y：FNsin30°=mg

解得：FN=2mg

被實(shí)驗(yàn)者對(duì)座位的壓力和座位對(duì)他的支持力是一對(duì)作用力與反作用力，所以他對(duì)座位的壓力大小是他所受重力的2倍.

（五）醫(yī)療方面的應(yīng)用

例9 如圖10所示，醫(yī)學(xué)上常用離心分離機(jī)加速血液的沉淀，其“下沉”的加速式子中Po、p分別為液體密度和液體中固體顆粒的密度，r表示試管中心到轉(zhuǎn)軸的距離，ω為轉(zhuǎn)軸角速度，由以上信息回答：

（1）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，“離心沉淀”比“重力沉淀”快？

（2）若距離r=0.2m，離心機(jī)轉(zhuǎn)速度n=3000r/min，求a/a'的值.

解析 （1）比較兩個(gè)加速度a和a'可見離心沉淀比重力沉淀快得多.

（六）在飛行表演中的應(yīng)用

例10 如圖11所示，一飛機(jī)在豎直平面內(nèi)做勻速率特技飛行.已知飛行員的質(zhì)量為m，飛行速度試分析飛行員在A、B、C、D四個(gè)位置受力情況.

解析在A點(diǎn)受力情況如圖12（A）所示，其中F。表示座椅對(duì)飛行員的支持力.依牛頓運(yùn)動(dòng)定律

在B點(diǎn)（此時(shí)飛行員頭向下，椅子在其上方），由于，，即只靠重力不足以提供所需向心力，飛行員有離心趨勢(shì)，故由椅子提供向下的壓力P，如圖12（B）所示：P+mg

在C點(diǎn)（此時(shí)飛行員頭向下，椅子在其上方），受力情況如圖12（C）所示，其中T表示安全帶對(duì)飛行員向上拉力.并有T-mg=

在D點(diǎn)，情況與B點(diǎn)相近，飛行員重力不足以提供所需向心力，有離心趨勢(shì).故將由安全帶提供向下的壓力Q，如圖12（D）所示，