高考數(shù)學(xué)中的“方案設(shè)計問題”

羅雅玲

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，強調(diào)從數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，讓學(xué)生將親身經(jīng)歷過的買賣問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行數(shù)學(xué)理解與應(yīng)用；學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學(xué)的知識和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識；形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神.

為與此相適應(yīng)，應(yīng)用問題在中考試題中的比重日漸增大.近年來全國各地中考試題或模擬卷的應(yīng)用題中，“方案設(shè)計問題”不拘泥于傳統(tǒng)的思想和方法，而是從現(xiàn)實角度出發(fā)、挖掘其中蘊含的大量的數(shù)學(xué)信息，進而有效考查學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)的知識和方法解決問題的能力，探索數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，因而備受關(guān)注.

1.方案的設(shè)計

商場經(jīng)銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件進價15元，售價20元；乙種商品每件進價35元，售價45元.

（1）若該商場同時購進甲、乙兩種商品共100件恰好用去2700元，求能購進甲、乙兩種商品各多少件？

（2）該商場為使甲、乙兩種商品共100件的總利潤（利潤=售價-進價）不少于750元，且不超過760元，請你幫助該商場設(shè)計相應(yīng)的進貨方案.

答案：解：（1）設(shè)該商場能購進甲種商品x件，根據(jù)題意，得15x+35（100-x）=2700

解得：x=40

乙種商品：100-40=60（件）

答：該商品能購進甲種商品40件，乙種商品60件.

（2）設(shè)該商場購進甲種商品a件，則購進乙種商品（100-a）件.根據(jù)題意，得20-15a+45-35（100-a）≥75020-15a+45-35（100-a）≤760.

因此，不等式組的解集為48≤a≤50a.

根據(jù)題意，a的值應(yīng)是整數(shù)，∴a=48或a=49或a=50

∴該商場共有三種進貨方案：

方案一：購進甲種商品48件，乙種商品52件；

方案二：購進甲種商品49件，乙種商品51件；

方案三：購進甲種商品50件，乙種商品50件.

點評：應(yīng)用函數(shù)化的方案設(shè)計是近年來中考的特點，商場購物這一日常生活問題，若利用一元一次方程或一元一次不等式組對數(shù)據(jù)處理，則不僅體現(xiàn)初、高中數(shù)學(xué)知識銜接，而且引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會，有益于方案的設(shè)計.

認(rèn)知心理學(xué)研究表明，學(xué)生的知識形成過程是外來信息與學(xué)生原有知識和思維結(jié)構(gòu)相互作用的過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是通過活動作為中介形成的，在活動中思考，在活動中創(chuàng)新，在活動中得到發(fā)展.

布魯納主張以主動探索活動發(fā)現(xiàn)客觀知識體系中的邏輯結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)對知識掌握的深入，發(fā)展學(xué)生的能力.

高中數(shù)學(xué)課程倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.

2.方案的運用

某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃用這兩種原料全部生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品與所需原料情況如下表所示：

（1）該工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品有哪幾種方案？

（2）若生成一件A產(chǎn)品可獲利80元，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品可獲利120元，怎樣安排生產(chǎn)可獲得最大利潤？

解：（1）設(shè)工廠可安排生產(chǎn)x件A產(chǎn)品，則生產(chǎn)（50-x）件B產(chǎn)品由題意得：

9x+4（50-x）≤3603x+10（50-x）≤290

解得30≤x≤32.

∴有三種生產(chǎn)方案：①A：30件，B：20件②A：31件，B：19件③A：32件，18件.

（2）方案①A，30件，B，20件時，20×120+30×80=4800（元）.

方案②A，31件，B，19件時，19×120+31×80=4760（元）.

方案③A，32件，B，18件時，18×120+32×80=4720（元）.

故方案①A30件，B20件時，利潤最大.

點評：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，本題是市場方案設(shè)計分類，使學(xué)生靈活、綜合地應(yīng)用數(shù)學(xué)認(rèn)知進行問題解決，對問題作出較好的思維決策.生活中數(shù)學(xué)無處不在.中考試題應(yīng)用題中的“方案設(shè)計問題”讓學(xué)生在用數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)了科學(xué)精神和進行科學(xué)研究的能力，提高了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的敏銳性和創(chuàng)造性，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，也提高了學(xué)習(xí)能力，值得關(guān)注.

新課程倡導(dǎo)的課堂教學(xué)不再是教師傳授給學(xué)生解決問題的思路、途徑、方法，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不再是接受、記憶、模仿和練習(xí)，而是學(xué)生在教師的組織、引導(dǎo)下，通過動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等途徑自主探究問題解決的思路、途徑、方法.新課程強調(diào)，學(xué)習(xí)是教與學(xué)的交往、互動，師生雙方相互交流、相互啟發(fā)、相互補充，在這個過程中教師與學(xué)生分享情感、體驗與觀念，豐富教學(xué)內(nèi)容，求得新的發(fā)現(xiàn)，從而達成共識，達到共享、共進，實現(xiàn)教學(xué)相長和共同發(fā)展.對學(xué)生而言，這意味著主體性的凸顯、個性的表現(xiàn)、創(chuàng)造性的解放.在學(xué)習(xí)方式上，新課程倡導(dǎo)的是積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.

指導(dǎo)教師：周明墩