具反饋控制和Holling-II類功能性反應(yīng)的修正Leslie-Gower捕食系統(tǒng)的持久性

王 穎， 陳江彬

(1. 陽光學(xué)院基礎(chǔ)教研部, 福建 福州　350015； 2. 福州大學(xué)至誠學(xué)院, 福建 福州　350002)

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具反饋控制和Holling-II類功能性反應(yīng)的修正Leslie-Gower捕食系統(tǒng)的持久性

王 穎1， 陳江彬2

(1. 陽光學(xué)院基礎(chǔ)教研部, 福建 福州350015； 2. 福州大學(xué)至誠學(xué)院, 福建 福州350002)

摘要：研究具有反饋控制變量和Holling-II類功能性反應(yīng)的修正Leslie-Gower捕食系統(tǒng)的持久性問題， 運(yùn)用微分不等式得到一組新的保證該系統(tǒng)持久的充分性條件. 該結(jié)果表明反饋控制變量不會影響系統(tǒng)的持久性, 從而改進(jìn)了已有的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：反饋控制; Holling-II類功能性反應(yīng); 修正Leslie-Gower; 持久性

0引言

對定義在[0， +∞)上的任一有界連續(xù)函數(shù)f(t)， 本文恒設(shè):

2003年， Aziz-Alaoui和Daher Okiye[1]提出并研究了如下具有修正Leslie-Gower項和Holling II類功能性反應(yīng)的捕食食餌系統(tǒng)：

得到該系統(tǒng)的有界性和正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性. Yu[2]進(jìn)一步利用振動性引理和Lyapunov函數(shù)法給出兩個保證正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定的充分性條件， 修正了文[1]的結(jié)果； Song等[3-4]探討了在脈沖干擾效應(yīng)下的該類自治和非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性和持久性； Zhu和Wang[5]討論了該類非自治周期系統(tǒng)的周期解的存在性和全局穩(wěn)定性. 考慮到自然界會受到人類的開采等因素的影響以及非自治系統(tǒng)更能精確的描述實(shí)際情況， 文[6]提出并研究了如下具反饋控制非自治的修正Leslie-Gower和Holling II功能性反應(yīng)的捕食系統(tǒng)：

(1)

其中: ri(t)， ai(t)， ci(t)， ei(t)， di(t)， b1(t)(i=1， 2) 均為有正的上下界的連續(xù)函數(shù)； x(t)和y(t)分別表示種群x和y在t時刻的密度； u(t)， v(t)為反饋控制變量， 該系統(tǒng)其余各系數(shù)的生物學(xué)含義見文[1]. 在假設(shè)系統(tǒng)(1)滿足初值條件： x(0)>0， y(0)>0， u(0)>0， v(0)>0的情況下， 通過運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆治鍪址ǎ?文[6]得到了如下關(guān)于持久性的結(jié)論：

Zhu和Wang[5]研究了在無反饋控制變量即ci=ei=di=0且ki(t)=ki(i=1， 2)， ki為常數(shù)的情況下系統(tǒng)(1)所對應(yīng)的系統(tǒng)

(1’)

在假設(shè)各系數(shù)均為T-周期函數(shù)的情況下， 通過運(yùn)用重合度理論， 他們得到了如下結(jié)論：

作為Teng[13]的定理2的直接推論， 根據(jù)定理2， 可以得到：

1主要引理及證明

下面分三個引理給出定理2的證明.

引理4[6]設(shè)(x(t)， y(t)， u(t)， v(t))T為系統(tǒng)(1)的任一正解， 則有:

(2)

由引理4可知， 對上述ε， 存在T>0， 使得對任意的t≥T， 有

x(t)≤M1+εM1ε， y(t)≤M2+εM2ε， u(t)≤M3+εM3ε， v(t)≤M4+εM4ε

當(dāng)t≥T時， 由系統(tǒng)(1)的第一個方程可知

(3)

對(3)式兩端從τ(τ≤t)到t積分得

(4)

由系統(tǒng)(1)的第三個方程可知

(5)

由式(4)、 (5)及引理3得， 對任意的0≤s≤t， 有

(6)

(7)

對上述K， 存在T1≥T+K， 當(dāng)t≥T1時， 由(6)式可得

(8)

當(dāng)t≥T1時， 由式(2)、 (7)、 (8)及系統(tǒng)(1)的第一個方程可知:

注2: 引理6的證明與引理5的證明類似， 為了閱讀的方便， 也將該證明簡略給出.

證明由引理4可知， 對任意ε>0， 存在T>0， 使得對任意的t≥T， 有

x(t)≤M1+εM1ε， y(t)≤M2+εM2ε， u(t)≤M3+εM3ε， v(t)≤M4+εM4ε

當(dāng)t≥T時， 由系統(tǒng)(1)的第二個方程可知

(9)

對(9)式兩端從τ(τ≤t)到t積分得

(10)

由系統(tǒng)(1)的第四個方程可知

(11)

由式(10)、 (11)及引理3得， 對任意的0≤s≤t， 有:

(12)

(13)

對上述H， 存在T1≥T+H， 當(dāng)t≥T1時， 由(12)式可得

(14)

當(dāng)t≥T1時， 由式(13)、 (14)及(1)的第二個方程可知，

注3： 顯然定理2與定理1相比條件弱化了很多， 說明研究結(jié)果實(shí)質(zhì)性地改進(jìn)了文[6]的主要結(jié)果. 而且定理2的條件與反饋控制變量無關(guān)， 說明系統(tǒng)(1)的持久性與反饋控制變量無關(guān).

2應(yīng)用舉例

本節(jié)通過舉例驗(yàn)證結(jié)果的可行性.

例1考慮如下系統(tǒng):

(15)

對應(yīng)于系統(tǒng)(1)， 有：

由引理4可知，

即定理1的條件不滿足， 所以根據(jù)定理1是沒辦法得到持久性的結(jié)論， 故本文結(jié)果極大地改進(jìn)了文[6]的結(jié)果.

3結(jié)論

本文研究了具有反饋控制變量和Holling-II類功能性反應(yīng)的修正Leslie-Gower捕食系統(tǒng)的持久性問題， 通過運(yùn)用微分不等式得到了一組保證該系統(tǒng)持久的充分性條件. 所得結(jié)果顯示該系統(tǒng)的持久性確實(shí)與反饋控制變量無關(guān)， 從而改進(jìn)了文[6]的結(jié)果. 通過對比推論1和定理3， 可知本研究簡化了Zhu和Wang[5]的結(jié)論條件， 改進(jìn)了文[5]的結(jié)果.

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(責(zé)任編輯： 林曉)

Permanence of a modified Leslie-Gower Holling-type II predator-prey system with feedback controls

WANG Ying1， CHEN Jiangbin2

(1. Department of Basic Teaching and Research, Sunshine College, Fuzhou， Fujian 350015, China；2. Zhicheng College, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350002, China)

Abstract:A modified Leslie-Gower predator-prey system with Holling II response function and feedback controls is studied. By applying the differential inequality theory, sufficient conditions which guarantee the permanence of the system are obtained. The results indicate that feedback control variables have no influence on the persistent property of the system. Our result not only supplement but also improve some existing ones.

Keywords:feedback controls; Holling-II esponse function; modified Leslie-Gower; permanence

中圖分類號：O175.14

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

基金項目：福建省教育廳A類資助項目(JA11294)

通訊作者:王穎(1980-)， 講師， 主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計等方面研究， wangyingcd@163.com

收稿日期:2013-07-30

文章編號：1000-2243(2016)02-0150-06

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.02.0150