可壓縮歐拉方程在不變子空間中的精確解?

朱春蓉,朱丹霞

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，蕪湖 241000)

1 引言

考慮n-維可壓縮歐拉方程[1]

其中ρ=ρ(t,x)表示氣體的密度，u=u(t,x)表示氣體的速度，x∈Rn為空間變量，P=ργ/γ(γ≥1)表示壓強，記號?表示張量積．

由于可壓縮歐拉方程在物理學(xué)中的重要性和數(shù)學(xué)中帶給人們的挑戰(zhàn)性，使得人們對它越來越感興趣(參考文獻[2]及其參引文獻)．在歐拉方程解的研究中，因為它的非線性性，人們很難給出它一般解的表達式．但通過擬設(shè)法，人們可以構(gòu)造它的一些形式解并用于研究它的一些特殊性質(zhì)．Liu在文獻[3]中將速度的形式擬設(shè)為c(t)x，并代入帶有阻尼項歐拉方程中研究其奇異性．隨后在文獻[4]中，作者研究了用于描述多方氣體的n-維歐拉方程類似形式徑向?qū)ΨQ解的奇異性．在文獻[5]中，Yuen將速度形式進行了擾動，即考慮速度形式為c(t)x+b(t)的解，并研究了一維歐拉方程的爆破性．Huang和Wang[6]應(yīng)用李雅普諾夫方法和擾動方法，分析關(guān)于Chaplygin氣體這種形式解的爆破性．上述文獻都表明了一些特殊形式的解在研究這類方程性質(zhì)中的重要性．在本文中，我們將應(yīng)用不變子空間方法構(gòu)造方程組(1)的精確解．不變子空間方法是一種純數(shù)學(xué)的方法，并且較擬設(shè)方法更具數(shù)學(xué)依據(jù)．本文證明了，通過擬設(shè)法在文獻[4,5]中得到的形式解都屬于和歐拉方程相關(guān)的向量微分算子允許的函數(shù)空間．在變量變換意義下，通過不變子空間方法，方程組(1)被約化為一階有限維動力系統(tǒng)．不同于上述參考文獻中的研究，這種動力系統(tǒng)便于直接求解．由此，我們給出方程組(1)一些解的具體表達式．

本文將做如下安排：在第2節(jié)中，對應(yīng)用于構(gòu)造非線性演化方程組精確解的不變子空間方法進行簡單介紹；在第3節(jié)中，給出與方程組(1)相關(guān)的向量微分算子允許的不變子空間，并將方程組(1)約化為有限維動力系統(tǒng)；在第4節(jié)中，通過例子的形式給出方程組(1)一些解的具體表達式．

2 不變子空間方法

不變子空間方法是一種與對稱群方法相關(guān)的方法．通過這種方法，非線性演化方程可以被約化為有限維動力系統(tǒng)．早在文獻[7]中，Galaktionov就用這種方法考慮了二次非線性微分算子的不變子空間，并用于構(gòu)造大量的演化方程的精確解．后來，Galaktionov和Svirshchevskii將他們關(guān)于不變子空間方法的研究整理在文獻[8]中．事實上，在變量變換的意義下，熱方程的基本解就屬于和其相關(guān)微分算子允許的函數(shù)空間．他們還利用不變子空間方法得到了滲流方程的精確解，這些精確解可以用于構(gòu)造一些這種形式方程的弱解和爆破解，并利用比較原理研究它們一般解的性質(zhì)[9,10]．近期，這種方法得到了一些新的進展和應(yīng)用，可參考文獻[11—16]．為了獲得非線性演化方程組的解，Galaktionov和Svirshchevskii引進了向量集作為線性子空間的推廣，在這些向量集中，每個向量的分量都屬于同一個函數(shù)空間．在文獻[11]中，Qu和Zhu將這種向量集進行了推廣，給出了向量微分算子允許的不變子空間的定義，在這種不變子空間中每個向量的分量可以屬于不同的函數(shù)空間，并在文獻[12]中給出了這種不變子空間的維數(shù)估計．在本文中，我們將使用Qu和Zhu的方法構(gòu)造方程組(1)的精確解．本節(jié)余下內(nèi)容是關(guān)于這種方法的簡介．

假設(shè)

是一個向量微分算子，其中

Fq(·)(q=1,2,···,m)是給定的光滑函數(shù)．我們將使用下面的記號

設(shè)W表示一個線性空間，其中

且(nq≥2)是相互線性無關(guān)的．如果向量微分算子F滿足條件

即

則稱向量微分算子F允許子空間W，這表明存在函數(shù)，使得

如果子空間W是被向量微分算子F[U]允許的，則相應(yīng)的演化方程組Ut=F[U](或Utt=F[U])有解形如

其中滿足常微分方程組

假設(shè)是由下面的nq階線性常微分方程

解空間定義的，則子空間W在算子F下不變的條件是

其中[Hq]表示方程Lq[uq]=0及其關(guān)于x的微分結(jié)果．

通過上述關(guān)于不變子空間方法的介紹，下面我們將使用它構(gòu)造方程組(1)的精確解．

3 方程組(1)的不變子空間和約化

在本節(jié)，我們將給出和方程組(1)相關(guān)的向量微分算子允許的不變子空間，并將方程組(1)約化為有限維動力系統(tǒng)．

首先，我們考慮一維情形的歐拉方程組

其中P=ργ/γ(γ≥1)．當(dāng)γ=1時，通過變量變換v=lnρ，方程組(4)可以轉(zhuǎn)化為

當(dāng)γ＞1時，通過變量變換v=ργ?1/(γ?1)，方程(4)可以轉(zhuǎn)化為

記

由參考文獻[12]中的維數(shù)估計定理，我們考慮向量微分算子K和ˉK允許的由(2)式定義的不變子空間時，要考慮下列情形

由不變條件(3)，我們得到下面的結(jié)果．

定理1向量微分算子K[u,v]和都只允許不變子空間=，其中

證明 假設(shè)K允許不變子空間，其中是由下列常微分方程的解空間定義的

在這種情形下，不變條件(3)為

G1和G2均是ui,vj(i=0,1,j=0,1,2)的多項式，其中

考慮G1中各項的系數(shù)，我們得到

在這種情形下G2=0也是成立的．因此，向量微分算子K允許不變子空間×，其中=L{1,x}是由常微分方程y′′=0定義的，=L{1,x,x2}是由常微分方程z′′′=0定義的．通過類似的計算，我們還可以證明向量微分算子K允許子空間~W，并且還可以證明它不允許其它形式的由方程組(2)定義的不變子空間．上述結(jié)果對于向量微分算子也成立．

顯然，．在不變子空間中，方程組(5)和(6)可分別被約化為如下的有限維動力系統(tǒng)

和

其次，我們考慮n-維歐拉方程(1)的球?qū)ΨQ解．在歐拉方程(1)中，令ρ=ρ(x,t),u，則它們滿足

其中x=|x|．類似地，當(dāng)γ=1時，令v=lnρ，則方程組(9)被轉(zhuǎn)化為

對于γ＞1，令v=ργ?1/γ，則方程組(9)被轉(zhuǎn)化為

類似于定理1證明中的計算，我們可以證明沒有由方程組(2)定義的線性子空間在向量微分算子M≡(M1[u,v],M2[u,v])和作用下不變．事實上，我們注意到

其中=L{1/x,1,x,x2}．在這種情形下，我們稱線性子空間在向量微分算子M和M作用下部分不變．因此，我們可以構(gòu)造方程組(10)和(11)如下形式的解

對于方程組(10)，ci(t)和dj(t)滿足如下的約束條件

對于方程組(11)，ci(t)和dj(t)滿足

4 歐拉方程的精確解

在第3節(jié)中，歐拉方程在變量變換的意義下，被約化為有限維動力系統(tǒng)．由于這些動力系統(tǒng)均是非線性的，很難給出它們的通解，但是我們可以通過計算給出它們一些具體的特解．在下文中，我們將用例子的形式給出這些特解．

例1在方程組(7)和(8)中，取d3(t)=0．此時，可以給出1-維歐拉方程(4)如下的解：

當(dāng)γ=1時

當(dāng)γ=2時

當(dāng)γ＞1,γ/=2時

例2在方程組(8)中，取c1(t)=d2(t)=0，可以得到1-維歐拉方程(4)在γ＞1時的解

約束條件(12)和(13)顯示c1(t)=d2(t)=0．因此，方程組(9)具有如下形式的解：當(dāng)γ=1時

當(dāng)γ＞1時

由此，可以給出n-維歐拉方程(1)如下例中的精確解．

例3取

求解約束條件(13)，我們得到當(dāng)γ＞1時n-維歐拉方程(1)的精確解

5 結(jié)論

總之，由不變子空間方法可以將歐拉方程(1)約化為一階常微分方程組．基于此，我們可以得到這個方程組的一些精確解．在這里密度為式子d3(t)x2+d2(t)x+d1(t)的函數(shù)．當(dāng)d3(t)＜0時，形如d3(t)x2+d2(t)x+d1(t)的解稱為鐘形解；當(dāng)d3(t)＞0時，這種形式的解稱為倒鐘形解，它們在滲流方程的研究中具有非常重要的作用[9,10]．值得注意的是，滲流方程是由歐拉方程通過Darcy定律給出的．我們希望本文中給出的精確解在歐拉方程的研究中也能發(fā)揮一定的作用．另外，由于歐拉方程的非線性性，很難給出其一般解．但是，這里通過不變子空間方法可以得到歐拉方程的一些精確解．我們也希望不變子空間方法能用于更多的非線性偏微分方程(組)的研究中．

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