高階變系數(shù)函數(shù)方程解的振動準(zhǔn)則

吳英柱

(廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系,茂名 525000)

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高階變系數(shù)函數(shù)方程解的振動準(zhǔn)則

吳英柱*

(廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系,茂名 525000)

摘要：利用反復(fù)迭代的思想方法，討論了一類高階變系數(shù)函數(shù)方程

解的振動性，給出了這類函數(shù)方程一切解振動的幾個充分條件：如果存在整數(shù)n≥0，使得

則上述方程的一切解振動；如果存在一個整數(shù)n≥0，使得

則上述方程的一切解也振動. 并且給出了該方程在差分方程中的若干應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：高階; 函數(shù)方程; 非線性; 振動

高階函數(shù)方程的振動性研究受到研究者的關(guān)注[1-16]．周勇等[7-8]、戴麗娜等[15]研究了方程

和

x(g(t))=p(t)x(t)+

得到了一系列結(jié)果．

在此基礎(chǔ)上，本文沿用文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[15]的方法，研究了高階非線性變系數(shù)函數(shù)方程

x(g(t))=p(t)x(t)+

(1)

的振動性，其中函數(shù)p,Qi(i=1,2,…,m)：I→+=(0,∞)，I?(0,∞)，I是+上的一個無界子集；g：I→I且g(t)不恒等于∞.定義gi為g的i次迭代，即g0(t)=t,gi+1(t)=g(gi(t))，t≥t0,i=0,1,2,…,tI.kj≥1為正整數(shù)，aj為非負(fù)實數(shù)，j=1,2,…,s且.

1振動準(zhǔn)則

如果函數(shù)x:I→使得sup{|x(s)|:sIt0=[t0,∞)∩I}>0對任何t0(0,∞)成立，且對tI滿足方程(1)，則稱其為方程(1)的一個解．這樣的解稱作是振動的，如果存在一列點I，使得且x(tn)·x(tn+1)≤0，對n=1, 2, …成立，否則稱為非振動的．

定理1如果存在整數(shù)n≥0，使得

(2)

則方程(1)一切解振動．

x(g(t))≥p(t)x(t),

(3)

(4)

把式(4)代入方程(1)得

x(g(t))≥p(t)x(t)+

(6)

由式(6)可得

x(g(t))≥p1(t)x(t)，

(7)

(8)

同樣對x(g(t))≥p1(t)x(t)進(jìn)行迭代，可得

代入方程(1)，可得

x(g(t))≥p(t)x(t)+

反復(fù)迭代，可得

x(g(t))≥p(t)x(t)+

推論1假設(shè)

(9)

其中β是方程

(10)

的最大正實根，則方程(1)的一切解振動．

證明設(shè)x(t)>0是方程(1)的非振動解，由定理1，有p1(t)≥p(t)/(1-A)，則

因此，

(11)

當(dāng)K=1時，方程(10)為β2-β+A=0,可得：

推論2當(dāng)A<1/4，且

時，方程(1)的一切解振動．

所得結(jié)論實質(zhì)改進(jìn)了文獻(xiàn)[11]187的定理3.1．

(12)

則方程(1)的一切解振動．

(13)

同理，由方程(1)可得：

x(g2(t))=p(g(t))x(g(t))+

(14)

類似前面的證明，對x(g2(t))≥p(g(t))x(g(t))進(jìn)行kj+i次迭代，有

(15)

把式(13)和式(15)代入式(14)可得

x(g2(t))≥

這與條件(12)相矛盾，故不存在非振動解，則方程(1)的一切解振動．

注1不難看出定理2實質(zhì)上改進(jìn)了文獻(xiàn)[8]416中定理2的結(jié)果；由定理2可知，若

2應(yīng)用

由于方程(1)以離散變量的差分方程和具連續(xù)變量的差分方程作為其特殊情形.對于g(t)=t-，+,I=+的情形，方程(1)化為具連續(xù)變量的差分方程：

x(t-)=p(t)x(t)+).

(16)

由定理1和定理2，可得

定理3假設(shè)p(t)>0，Qi(t)≥0，且下列條件之一成立

其中n≥0為整數(shù)．

同理，考慮無窮時滯的差分方程

(17)

易得:

定理4假設(shè)p(t)>0，Qi(t)≥0，且下列條件之一成立

參考文獻(xiàn)：

[1]GOLDA W, WERBOWSKI J. Oscillation of linear functional equations of the second order[J]. Funkcialaj Ekvacioj, 1994,37(2):211-227.

[2]司建國, 張偉年. 一個函數(shù)方程的C2解[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報,1998, 41(5):1061-1064.

SI J G, ZHANG W N. OnC2solutions of a functional equations[J]. Acta Mathematica Sinica, 1998, 41(5):1061-1064.

[3]NOWAKOWSKA W, WERBOWSKI J. Oscillation of linear functional equations of higher order[J]. Arch Matharchiv Der Mathematik, 1995, 31:251-258.

[4]DOMSHLAK Y.Oscillation properties of linear difference equations with continuous time[J]. Differential Equations and Dynamical Systems,1993,4: 331-324.

[5]JAROS J,STAVROULAKIS I P. Oscillation tests for delay equations[J]. Rocky Mountain Journal of Mathematica, 1999,29:197-207.

[6]NOWAKOWSKA W,WERBOWSKI J.Oscillatory behavior of solutions of functional equations[J]. Nonlinear Anaysis,2001(44):756-775.

[7]周勇,俞元洪. 變系數(shù)函數(shù)方程解的振動性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),1999,19(3):348-352.

ZHOU Y,YU Y H. Oscillation of solutions of functional equations with variable coefficients[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,1999,19(3):348-352.

[8]周勇，劉正榮，俞元洪. 變系數(shù)函數(shù)方程解的振動準(zhǔn)則[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2000,23: 413-419.

ZHOU Y,LIU Z R,YU Y H. Oscillation criteria of functional equations with variable coefficients[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2000,23: 413-419.

[9]ZHANG B G, CHOI S K.Oscillation and non-oscillation of class of functional equations[J]. Mathematische Nachrichten,2001(227):159-169.

[10]SHEN J H, STAVROULAKIS I P. An oscillation criteria for second order functional equations[J]. Acta Mathematica Sinica, 2002, 22B(1):56-62.

[11]張孝理，羅治國. 高階線性泛函方程的振動性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 2003, 26(1):186-188.

[12]羅治國, 申建華. 線性泛函方程解的振動性的新結(jié)果[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2003, 23(4):508-516.

LUO Z G,SHEN J H. New results for oscillation of higher order linear functional equations[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 2003, 23(4):508-516.

[13]林全文，全煥，廖思泉，等. 高階變系數(shù)函數(shù)方程的振動性[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2009,39(12): 244-249.

LIN Q W,QUAN H,LIAO S Q,et al.Oscillation of higher-order functional equations with variable coefficients[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2009,39(12): 244-249.

[14]LIN Q W, CHEN R L, DAI L N. Oscillatory behavior of solutions to higher order linear functional equations[J]. Journal of Biomathematics,2011,26(1): 9-16.

[15]戴麗娜，吳英柱，林全文. 高階變系數(shù)泛函方程解的振動性[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2014,44(10): 271-275.

DAI L N,WU Y Z,LIN Q W.Oscillatory behavior of solutions to higher order variable coefficient functional equations[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2014,44(10): 271-275.

[16]申淑媛，翁佩萱. 具有脈沖的非線性時滯差分方程的振動性和漸進(jìn)性[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2005(2): 93-98.

SHEN S Y,WENG P X.Oscillation and asymptotic behavior of nonlinear delay differential equations with impulses[J].Journal of South China Normal University(Natural Science Edition),2005(2): 93-98.

【中文責(zé)編：莊曉瓊英文責(zé)編：肖菁】

Oscillation Criteria of Solutions to Higher Order Variable Coefficient Functional Equations

WU Yingzhu*

(Department of Mathematics, Guangdong University of Petrochemical Technology,Maoming 525000, China)

Abstract：By utilizing iterative method, oscillation of solutions to high-order variable coefficient functional differential equations of the formajsgn x(gkj+i(t)) is discussed. When n≥0, n is an integer, andaj>1(tI), all the solutions of the above equations are oscillation. When n≥0, n is an integer, and

all the solutions of the above equations are oscillation. Some sufficient conditions for these equations are established. Some applications in difference equations are given.

Key words：higher-order; functional equations; nonlinear; oscillation

中圖分類號：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-5463(2016)02-0107-04

*通訊作者:吳英柱，講師，Email：wuyingzhu1978@163.com.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(1127380);茂名市科技計劃項目(2014050);廣東石油化工學(xué)院自然科學(xué)研究基金項目(513021)

收稿日期：2015-07-01《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n