化靜為動，動中求定
——幾何畫板在中考動態(tài)問題教學中的運用

江西省南昌市青山湖區(qū)教研室　(330039)　范云波

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化靜為動，動中求定
——幾何畫板在中考動態(tài)問題教學中的運用

江西省南昌市青山湖區(qū)教研室(330039)范云波

幾何畫板在輔助數(shù)學教學方面的獨特優(yōu)勢開創(chuàng)了教與學的新方式，有助于教師成為學生學習的引導者，有助于學生成為主動獲取知識的探索者.本文結合教學案例，從數(shù)形結合、實驗探究、輔助變式、原創(chuàng)欣賞四個方面來探討幾何畫板在初中數(shù)學教學中的實踐運用，旨在為廣大數(shù)學教師后期中考復習及今后的數(shù)學教學提供一些借鑒或啟示.

1.揭示數(shù)形關系，優(yōu)化思維品質

華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微”，也就是說數(shù)與形之間相輔相成：以形助數(shù)，可以化抽象為直觀；以數(shù)輔形，可以化直觀為精確.在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，因受教學條件的限制，數(shù)與形很難真正地完美結合，特別是有些蘊藏在數(shù)量關系背后的幾何意義很難直觀地展現(xiàn)出來.而幾何畫板憑借其強大的功能優(yōu)勢彌補了這一不足，能化隱為顯，化靜為動，直觀地反映數(shù)、形的同步變化，為學生提供一個探索和構建數(shù)學模型的平臺，從而幫助學生優(yōu)化思維品質，簡化解題過程，提高學習效率.

例1 (江西2015中考卷T6)已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)過(-2，0),(2，3)兩點，那么拋物線的對稱軸().

A.只能是x=-1B.可能是y軸

C.在y軸右側且在直線x=2的左側

D.在y軸左側且在直線x=-2的右側

圖1 圖2

評析：通過幾何畫板演示不難發(fā)現(xiàn)例1是一個錯題(見上圖1，圖2)，數(shù)形結合思想使抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，讓抽象思維與形象思維結合起來，用這種思想指導，一些幾何問題可以用代數(shù)方法來處理，一些代數(shù)問題又可以用幾何圖形幫助解決，最明顯地表現(xiàn)是利用直角坐標系將幾何問題與代數(shù)問題結合聯(lián)系起來,這種思想是近年來中考的熱點之一.

圖3

例2(江西2015中考卷T14)如圖3，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為．

幾何畫板將數(shù)、形之間的關系動態(tài)地展示出來，活躍了學生的思維活動，使抽象的數(shù)學知識變得生動形象，容易接受.

2.探究數(shù)學實驗，把握問題本質

數(shù)學實驗作為一種新穎的數(shù)學研究方法，已成為中學數(shù)學學習的一種新形式.進行數(shù)學教學時，既要關注數(shù)學內容抽象化、形式化的一面，還要關注數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程中經(jīng)驗化、具體化的一面，為此可以利用幾何畫板進行數(shù)學實驗，輔助學生把握數(shù)學問題的結構特點，認清數(shù)學本質.

圖4

例3如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點P從起點B出發(fā)，沿BC、CD逆時針方向向終點D勻速運動．設點P所走過的路程為x，且線段AP、AD與矩形圍成的圖形面積為y，則下列圖像能大致反映y與x的函數(shù)關系的是().

評析：利用《幾何畫板》工具把靜態(tài)的知識動態(tài)化，抽象的知識具體化，改變了教師一貫的解決例題的教學方法，讓學生親身體驗，自主探索，在學中做，在做中學，激發(fā)學生的創(chuàng)新思維，同時培養(yǎng)學生主動探索研究、動手操作實踐的能力，培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力， 提升了思維活動的層次，培養(yǎng)了數(shù)學學習的基本素質.觸類旁通，學習方法的遷移也將有助于其它內容的學習，從而整體地提高學生的學習能力．

例4在正方形ABCD中，點P是CD邊上一動點，連接PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F，如圖5．

(1)請?zhí)骄緽E、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數(shù)量關系？若點P在DC的延長線上，如圖6，那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關系？若點P在CD的延長線上呢，如圖7，請分別直接寫出結論；

(2)就(1)中的三個結論選擇一個加以證明．

圖5 圖6 圖7

評析：規(guī)律開放探索問題是指根據(jù)已知條件或所提供的若干特例,通過觀察、類比、歸納，揭示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊含的本質規(guī)律與特征，得到一般性結論的一類探索性問題.考查的問題一般包括數(shù)學命題、式子、圖形等，探究的結果一般要求能運用代數(shù)式、方程、函數(shù)等進行描述. 此類題有助于培養(yǎng)學生觀察類比歸納總結的能力,提升學生從特殊到一般思想的應用意識.在例4教學時，可以先用“幾何畫板”課件進行演示，通過點擊不同的按鈕來改變線段的長度，看BE、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數(shù)量關系，然后引導學生歸納出隱藏在現(xiàn)象背后的規(guī)律.這些實驗操作讓學生體驗了由特殊到一般、由一般到特殊的數(shù)學研究過程.幾何畫板所呈現(xiàn)的豐富的動態(tài)圖形，極大地開闊了學生的視野，給學生提供了更多“發(fā)現(xiàn)”的機會.

3.輔助變式教學，提升課堂效率

變式教學是促進數(shù)學學習的一種有效的教學方式，長期以來被數(shù)學教師廣泛地用于教學之中.在數(shù)學變式教學中，利用幾何畫板從不同層次、不同角度、不同途徑、不同背景這四方面變更數(shù)學對象的內容或形式，引導學生從變化的現(xiàn)象中抓住不變的本質，從不變的本質中探索變化的規(guī)律，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展及形成的過程，強化對知識結構的認識，增加思維活動的經(jīng)驗，提高分析問題和解決問題的技能.

例5(江西2015中考卷T6改編)已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸有兩個交點x1、x2且-2≤x1≤0, 2≤x2≤3點，拋物線的對稱軸與x軸交點的坐標為(x，0)，則().

A. -2≤x≤0 B. 2≤x≤3

C. 0≤x≤1.5D. 0≤x≤2

評析：通過給學生一些變式訓練有助于培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力,提高邏輯思維能力和發(fā)展創(chuàng)造性思維能力,訓練學生揭示各方面知識內在聯(lián)系和規(guī)律,加深知識的理解和應用并使知識融會貫通.

評析：這題是一個結論開放探索問題.這類題有助于培養(yǎng)學生綜合分析問題和解決問題的能力,提高邏輯思維能力和發(fā)展創(chuàng)造性思維能力,充分提升學生類比思想與轉化化歸的思想.

例7(原創(chuàng))如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠B=30°,AC=1,CD⊥AB，垂足為D,現(xiàn)將△ACD繞D點順時針旋轉角α(0°≤α≤360°)，得到△A′C′D, 旋轉時間為t秒,△ACD繞D點旋轉的角速度ω=10度/秒.

(1)旋轉時間t=秒時，A′C′∥AB;

(2)△ACD繞D點順時針旋轉一周(360°)，斜邊AC掃過的面積為.

(3)如圖9，連接A′C、 C′B.

②當t>9時，上述結論還成立嗎？如成立直接寫出比值，不成立請說明理由.

圖8 圖9

評析：在初中階段存在一些典型的幾何變換問題，由于傳統(tǒng)的變式教學無法直觀、形象地演示圖形的變化過程，使得學生的認知不能深入到問題的內部本質，此時可借助幾何畫板的幾何變換、動畫等功能，將幾何圖形因條件改變而變化的過程從不同角度呈現(xiàn)出來.盡管圖形的部分條件發(fā)生變化，但解題思路依然沒變，其中一個直角三角形是由另一個直角三角形經(jīng)過旋轉而得到.利用幾何畫板的復制和動態(tài)模擬功能，可以從復雜圖形中分離出基本模型，并使其與原圖形保持同步變化，這樣有助于學生認識圖形，學會從基本模型入手尋找解題的突破口，從而收到觸類旁通、舉一反三的效果.

總之，在數(shù)學教學中，強調人人做數(shù)學，這既是新《數(shù)學課程標準》的基本要求，也是素質教育面向全體學生的具體落實.實踐證明，應用《幾何畫板》工具進行初中幾何教學是激發(fā)學生學習興趣，促進學生主動探求知識，培養(yǎng)學生能力，不斷增長智慧的有效途徑. 但如何在教學中恰到好處地運用幾何畫板，更好地優(yōu)化數(shù)學課堂教學，仍需要我們一線老師不斷地去探索去努力.