電力系統(tǒng)源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型及矩量半定規(guī)劃法

孫東磊，韓學(xué)山，張 波

（山東大學(xué) 電網(wǎng)智能化調(diào)度與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250061）

0 引言

電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度的概念可追溯至20世紀(jì)20年代，電力系統(tǒng)中負(fù)荷的時(shí)空分布變化是經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題產(chǎn)生的根本原因。實(shí)際上，調(diào)度主要是為應(yīng)對(duì)負(fù)荷的變化，預(yù)先對(duì)機(jī)組出力進(jìn)行優(yōu)化決策，促使發(fā)電與負(fù)荷按預(yù)知軌跡平衡，其實(shí)質(zhì)為固定電網(wǎng)結(jié)構(gòu)下發(fā)電跟蹤負(fù)荷的經(jīng)濟(jì)決策。經(jīng)過(guò)近百年的發(fā)展，電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度研究在理論和實(shí)踐上已相對(duì)成 熟［1-7］。

然而，隨著電力市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制的不斷推進(jìn)，電力負(fù)荷呈現(xiàn)電動(dòng)汽車、儲(chǔ)能等形式多元化發(fā)展，以及風(fēng)光等可再生能源發(fā)電以分布或集中形式大規(guī)模地且有迅猛發(fā)展趨勢(shì)地并入電網(wǎng)，電力系統(tǒng)中輸配交融、電能雙向流動(dòng)，源（發(fā)電與負(fù)荷）網(wǎng)間呈現(xiàn)日趨交織糾結(jié)的矛盾，電網(wǎng)構(gòu)架出現(xiàn)與其不相適應(yīng)的非同調(diào)現(xiàn)象，即輸電阻塞問(wèn)題，該問(wèn)題僅靠改變發(fā)電方式已難以抑制。為有效緩解這一矛盾，出現(xiàn)了改變電網(wǎng)元件狀態(tài)（電網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)）來(lái)解決這一問(wèn)題的研究，提出考慮電網(wǎng)拓?fù)淇刂频陌踩Ｕ鼵S（Corrective Switching）方法［8-9］，以及融入電網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化的經(jīng)濟(jì)調(diào)度 OTS（Optimal Transmission Switching）方法［10-13］。

為保證電網(wǎng)可靠運(yùn)行同時(shí)兼顧電力供求增長(zhǎng)等因素，實(shí)際規(guī)劃的電網(wǎng)拓?fù)浼軜?gòu)及其傳輸容量均處于冗余狀態(tài)，但實(shí)際電網(wǎng)運(yùn)行中并不是冗余度越高，系統(tǒng)越可靠，這就是電力系統(tǒng)可靠性問(wèn)題的非同調(diào)現(xiàn)象［14］，即一個(gè)元件從系統(tǒng)中缺省反而產(chǎn)生一個(gè)更可靠的系統(tǒng)狀態(tài)。新形勢(shì)下電力系統(tǒng)中被動(dòng)的源（負(fù)荷以及可再生能源發(fā)電等）呈現(xiàn)復(fù)雜多變的情形，固定電網(wǎng)結(jié)構(gòu)將使經(jīng)濟(jì)調(diào)度中源網(wǎng)間關(guān)系更多地處于沖突狀態(tài)［15］。實(shí)際上，經(jīng)濟(jì)調(diào)度中源網(wǎng)間的矛盾主要是由于電網(wǎng)絡(luò)的基爾霍夫電壓定律約束制約了環(huán)網(wǎng)中部分輸電元件傳輸容量的發(fā)揮，使得經(jīng)濟(jì)發(fā)電機(jī)組發(fā)電外送能力受到限制，嚴(yán)重時(shí)威脅源平衡的實(shí)現(xiàn)，即對(duì)應(yīng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度無(wú)可行解的情況。因此，調(diào)度決策中有選擇地對(duì)電網(wǎng)拓?fù)溥M(jìn)行調(diào)整不僅有助于源平衡的實(shí)現(xiàn)，而且對(duì)提高系統(tǒng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性具有重要作用。本文中電網(wǎng)拓?fù)湔{(diào)整主要考慮電力傳輸線路的投切。不同于節(jié)點(diǎn)上設(shè)備的投運(yùn)決策，電網(wǎng)支路投切決策需考慮電網(wǎng)物理規(guī)律，即基爾霍夫定律（KCL和KVL）。電網(wǎng)支路運(yùn)行范圍約束實(shí)則為條件約束，即若運(yùn)行則需遵循電網(wǎng)約束，若停運(yùn)則不需遵循電網(wǎng)約束。針對(duì)此條件約束，本文以互補(bǔ)形式予以表達(dá)，由此得到的源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型為混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，其表現(xiàn)為非線性、不可微及非凸特性，求取其全局最優(yōu)解非常困難。對(duì)此，本文從新的視角出發(fā)，由半定規(guī)劃SDP（Semi-Definite Programming）凸松弛方法將其轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問(wèn)題求解。

SDP［16］是指線性函數(shù)在對(duì)稱矩陣的仿射組合半正定約束下的極值問(wèn)題，是特殊的錐優(yōu)化問(wèn)題，屬于凸規(guī)劃范疇。經(jīng)過(guò)近20 a的快速發(fā)展，半定規(guī)劃理論研究逐漸成熟，且已被應(yīng)用于｛0，1｝經(jīng)濟(jì)調(diào)度［17］、最優(yōu)潮流［18-19］、機(jī)組組合［20］以及狀態(tài)估計(jì)［21］等電力系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題求解。然而，上述問(wèn)題本身為非凸非線性規(guī)劃問(wèn)題，而將其松弛為SDP凸規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，實(shí)則為忽略了變量矩陣的秩為1約束［22］，但優(yōu)化得到的結(jié)果通常無(wú)法滿足秩為1的要求，因此其往往不能得到有效的最優(yōu)解。盡管一些學(xué)者針對(duì)該問(wèn)題對(duì)SDP在求解電力系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題中的適用范圍和應(yīng)用條件進(jìn)行了研究［22-24］，電力系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題的SDP松弛的秩為1約束的局限性至今仍沒有得到有效解決。為此，文獻(xiàn)［25］針對(duì)電力系統(tǒng)全局優(yōu)化問(wèn)題的求解困境，引入矩量理論，提出了一種矩量半定規(guī)劃MSDP（Moment-based SDP）方法，并成功應(yīng)用于求?。?，1｝經(jīng)濟(jì)調(diào)度和最優(yōu)潮流問(wèn)題的全局最優(yōu)解，取得了令人滿意的效果。MSDP的思想由法國(guó)數(shù)學(xué)家Lasserre于2001年首次提出，其是將多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩量空間的SDP問(wèn)題，通過(guò)不斷提高松弛階次，即增大矩量矩陣的階次，最終可逼近到問(wèn)題的全局最優(yōu)解［26-28］。

本文將MSDP方法引入電力系統(tǒng)源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型求解中，根據(jù)MSDP凸松弛方法構(gòu)造源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題的MSDP模型，基于MATLAB平臺(tái)由SDP優(yōu)化器SDPA［29］予以求解。最后，通過(guò)算例分析對(duì)本文方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 電力系統(tǒng)源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型

電力系統(tǒng)源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型是在直流潮流的條件下以追求經(jīng)濟(jì)性最優(yōu)為目標(biāo)，同時(shí)滿足系統(tǒng)運(yùn)行的物理和技術(shù)約束條件，以對(duì)發(fā)電機(jī)組有功功率、電網(wǎng)元件狀態(tài)進(jìn)行預(yù)先安排。為便于表述，本文中統(tǒng)一以上、下劃線分別表示相應(yīng)變量的上、下限。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

其中，NG為發(fā)電機(jī)組集合；Pg為機(jī)組g有功功率；cg為機(jī)組g線性發(fā)電成本系數(shù)。

1.2 約束條件

a.發(fā)電機(jī)組有功功率范圍約束：

其中，g和g分別為發(fā)電機(jī)組g有功功率的上、下限。

b.電網(wǎng)支路運(yùn)行范圍約束：

其中，zl和bl分別為支路l的運(yùn)行狀態(tài)和電納，zl=0表示支路停運(yùn)，zl=1表示支路在線運(yùn)行；Pl，ij為支路l有功功率，其首、末端節(jié)點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn) i、j，θi和 θj分別為其電壓相角；l為輸電支路l傳輸容量上限；NLc和NLuc分別為可控、不可控電網(wǎng)支路集合。c.節(jié)點(diǎn)功率平衡約束（KCL）：

其中，Pd為負(fù)荷 d 有功功率；NB為節(jié)點(diǎn)集合；NG（i）和ND（i）分別為節(jié)點(diǎn) i上的發(fā)電機(jī)和負(fù)荷集合；NSc（i）、NEc（i）、NSuc（i）和 NEuc（i）分別為以節(jié)點(diǎn) i為首、末端節(jié)點(diǎn)的可控、不可控支路集合。

需說(shuō)明的是，式（3）所示混合整數(shù)非線性互補(bǔ)約束由于違反了在可行點(diǎn)上的Mangasarian-Fromovitz約束條件［30］，采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法求解是極其困難的。

2 模型求解方法

2.1 SDP

SDP是在滿足約束為對(duì)稱矩陣的仿射組合半正定的條件下使線性函數(shù)極大（極?。┗膯?wèn)題，其為線性規(guī)劃在矩陣空間中的推廣，其中變量的非負(fù)性以變量矩陣的半正定性取代，約束以線性矩陣不等式（LMI）形式表達(dá)。SDP的原問(wèn)題可表示為：

其中，vi（i=1，2，…，n）為求解的變量，n 為未知變量的個(gè)數(shù)；ci為目標(biāo)函數(shù)價(jià)值系數(shù)；S為m×m階對(duì)稱矩陣，m為約束矩陣的維數(shù)；符號(hào)為矩陣的半正定運(yùn)算；Fi（i=1，2，…，n）為 m×m 階系數(shù)矩陣；F0為m×m階常數(shù)項(xiàng)矩陣。式（6）的對(duì)偶問(wèn)題為：

其中，符號(hào)“·”為矩陣跡運(yùn)算。

SDP的求解與線性規(guī)劃相似，可由理論上較成熟的多項(xiàng)式時(shí)間的原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法求解。求解SDP問(wèn)題式（6）的對(duì)數(shù)障礙函數(shù)問(wèn)題，即：

其中，μ為對(duì)數(shù)壁壘參數(shù)；det（·）表示矩陣行列式函數(shù)。式（8）的一階 KKT（Karush-Kuhn-Tucker）最優(yōu)性條件為：

其中，I為m×m階單位矩陣。

由牛頓法求解式（9）所示KKT方程，迭代求解直到對(duì)偶間隙Gap=（Y·V）/m滿足收斂條件。

2.2 MSDP凸松弛

MSDP凸松弛是通過(guò)變量擴(kuò)展的形式將非凸多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題映射為矩量空間的SDP凸問(wèn)題進(jìn)行求解［27］。MSDP凸松弛的核心在于多項(xiàng)式函數(shù)的線性矩量表達(dá)，其是將矩量的定義引入函數(shù)的線性表達(dá)中，從而將問(wèn)題映射到矩量空間。任一多項(xiàng)式函數(shù) q（X）的矩量為其關(guān)于概率測(cè)度μ（X）的積分，即：

針對(duì)以下多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題：

其中，nf、nhi為相應(yīng)多項(xiàng)式函數(shù)的單項(xiàng)式個(gè)數(shù)；fk、hik為相應(yīng)單項(xiàng)式系數(shù)；X 為 n 維變量，X=（x1，…，xn）T；單項(xiàng)式（N 為非負(fù)整數(shù)集合），αk用以標(biāo)記第k個(gè)單項(xiàng)式，記為xα的階數(shù)，則式（11）的 r階松弛模型為：

其中，s（2r）為變量拓展后對(duì)應(yīng)的矩量變量總數(shù)，，y 為矩量變量，Mr（y）為矩量矩陣，Md（hiy）為不等式約束局部矩陣，其可分別展開為：

其中，ur（X）為原問(wèn)題變量的 r階擴(kuò)展向量；Ly（X）表示對(duì)矩陣X中的每個(gè)元素取矩量運(yùn)算。矩量矩陣半正定約束是變量擴(kuò)展后的固有約束，反映原問(wèn)題變量之間的關(guān)系，而局部矩陣半正定約束則反映了與不等式約束相關(guān)的部分變量之間的關(guān)系。

2.3 模型求解

本文模型為二階多項(xiàng)式優(yōu)化模型，模型中變量向量X和原問(wèn)題變量個(gè)數(shù)num分別為：

其中，PG1、…、PGng為各發(fā)電機(jī)組有功功率；PL1、…、PLnl為各輸電支路有功功率；zL1、…、zLnl為各輸電支路運(yùn)行狀態(tài)；θ1、…、θnb-1為各輸電支路有功功率；ng、nl和nb分別為發(fā)電機(jī)數(shù)、可控支路數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)。

文獻(xiàn)［25］試驗(yàn)表明，對(duì)于電力系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題，一般二階松弛就能獲得問(wèn)題的最優(yōu)解。本文主要分析二階松弛情況，為體現(xiàn)本文算法的有效性，分析中以SDP松弛方法作比較。實(shí)際上，SDP松弛可視為MSDP的一階松弛情況。SDP松弛和MSDP二階松弛后的變量數(shù)分別為 s（2）和 s（4）。

模型求解具體流程如下：

a.將本文源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型表示為式（11）所示的多項(xiàng)式函數(shù)優(yōu)化形式；

b.MSDP二階松弛得到式（12）所示的SDP問(wèn)題；

c.求解式（12）所示SDP問(wèn)題，得到矩量最優(yōu)解，然后將其還原至原問(wèn)題的解空間，由此求得各發(fā)電機(jī)組有功功率、電網(wǎng)元件狀態(tài)。

3 算例分析

算例仿真在主頻為3.1 GHz、內(nèi)存為16 GB的計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，基于MATLAB平臺(tái)由SDP優(yōu)化器SDPA進(jìn)行求解。計(jì)算中功率基準(zhǔn)值為100 MV·A。

3.1 算例1

圖1 3節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)接線圖Fig.1 Diagram of 3-bus power system

表1 3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)元件參數(shù)Table 1 Line parameters of 3-bus power system

表2 3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)發(fā)電機(jī)組參數(shù)Table 2 Generator parameters of 3-bus power system

表3 3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)負(fù)荷數(shù)據(jù)Table 3 Load data of 3-bus power system

以圖1所示的3節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)為例，電網(wǎng)元件參數(shù)、發(fā)電機(jī)組參數(shù)以及某系統(tǒng)負(fù)荷模式數(shù)據(jù)等見表1—3，表1中電抗為標(biāo)幺值，后同。不考慮電網(wǎng)傳輸容量制約的單母線模型前提下的經(jīng)濟(jì)調(diào)度結(jié)果稱為最經(jīng)濟(jì)源平衡方式，然而，最經(jīng)濟(jì)源平衡方式有可能因電網(wǎng)制約而無(wú)法實(shí)現(xiàn)。3節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)的最經(jīng)濟(jì)源平衡方式如表4所示，發(fā)電總成本為2647.5$/h，經(jīng)直流潮流計(jì)算，可知輸電元件1-2潮流為156 MW，過(guò)載30 MW，易見實(shí)際中因電網(wǎng)元件傳輸容量制約導(dǎo)致最經(jīng)濟(jì)源平衡方式無(wú)法實(shí)現(xiàn)。由此在給定電網(wǎng)構(gòu)架下，實(shí)施安全經(jīng)濟(jì)調(diào)度的結(jié)果如圖2所示，圖中箭頭旁數(shù)字表示以100 MV·A為功率基準(zhǔn)值的功率標(biāo)么值。圖2所示方式對(duì)應(yīng)成本為2835$/h，比最經(jīng)濟(jì)源平衡方式增加了187.5$/h，究其原因是輸電元件1-2的輸電容量約束限制了經(jīng)濟(jì)機(jī)組G1的出力，即較經(jīng)濟(jì)發(fā)電機(jī)組G1的發(fā)電外送能力受到限制，從而造成邊際成本更高的機(jī)組G3出力增加。對(duì)此，以本文源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型，并以SDP松弛方法和MSDP二階松弛法分別求解予以分析，半定松弛矩陣 M1（y）和二階矩量矩陣 M2（y）分別如表 5 和表6所示。

表4 3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)最經(jīng)濟(jì)源平衡方式Table 4 Most economic pattern of sourcebalancing for 3-bus power system

圖2 3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)調(diào)度模式運(yùn)行圖Fig.2 Operational chart of security-constrained economic dispatch pattern for 3-bus power system

表5 中，P1、P2和 P3分別為發(fā)電機(jī)組 G1、G2和 G3有功功率，P1-2、P1-3和 P2-3分別為支路 1-2、1-3和 2-3 有功功率，z1-2、z1-3和 z2-3分別為支路 1-2、1-3 和2-3運(yùn)行狀態(tài)。由表5可看出，半定松弛矩陣M1（y）中多行是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，顯然其秩遠(yuǎn)大于1，經(jīng)計(jì)算秩為12，無(wú)法得到原問(wèn)題的最優(yōu)解。由表6可以看出，二階矩量矩陣M2（y）中任意2行之間存在倍數(shù)關(guān)系，因此其秩為1，由此可得考慮電網(wǎng)制約的系統(tǒng)最優(yōu)運(yùn)行方式如圖3所示。

由圖3可以看出，最優(yōu)狀態(tài)下，開斷支路2-3，釋放了發(fā)電機(jī)組G1的發(fā)電外送能力，直到支路1-3達(dá)到傳輸容量上限，負(fù)荷3的功率缺額由機(jī)組G3滿足。

3.2 算例2

算例2分析基于圖4所示的某實(shí)際電力系統(tǒng)。表7—9分別給出了該系統(tǒng)電網(wǎng)元件參數(shù)、發(fā)電機(jī)組參數(shù)、某負(fù)荷模式數(shù)據(jù)。該模式下風(fēng)電場(chǎng)輸出功率為30 MW。最經(jīng)濟(jì)源平衡方式如圖5所示，發(fā)電總成本為16 574$/h，可見輸電元件4-5潮流過(guò)載，易見實(shí)際中因電網(wǎng)元件傳輸容量制約最經(jīng)濟(jì)源平衡方式無(wú)法實(shí)現(xiàn)。由此若在給定電網(wǎng)構(gòu)架下，實(shí)施安全經(jīng)濟(jì)調(diào)度，經(jīng)計(jì)算無(wú)可行解，究其原因?yàn)榫€路4-5傳輸容量限制導(dǎo)致同一回路中的輸電線路1-7、1-2的輸電能力不能充分發(fā)揮，造成功率傳輸瓶頸，由于該模式下風(fēng)電場(chǎng)輸出功率較小，切負(fù)荷情況必不可免。對(duì)此，以本文源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型，并以MSDP二階松弛法求解予以分析，二階矩量矩陣 M2（y）如表 10 所示。

表5 算例1半定松弛矩陣M1（y）Table 5 Semi-definite relaxation matrix M1（y） of Case 1

表6 算例1二階矩量矩陣M2（y）Table 6 Second-order moment matrix M2（y） of Case 1

圖3 3節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模式運(yùn)行圖Fig.3 Operational chart of economic dispatch pattern with source-network synergy for 3-bus power system

圖4 實(shí)際電網(wǎng)接線圖Fig.4 Diagram of an actual power system

表7 實(shí)際系統(tǒng)電網(wǎng)元件參數(shù)Table 7 Line parameters of an actual power system

表8 實(shí)際系統(tǒng)機(jī)組參數(shù)Table 8 Generator parameters of an actual power system

表9 實(shí)際系統(tǒng)負(fù)荷數(shù)據(jù)Table 9 Load data of an actual power system

圖5 實(shí)際系統(tǒng)最經(jīng)濟(jì)源平衡方式圖Fig.5 Most economic pattern of source-balancing for an actual power system

表10 算例2二階矩量矩陣M2（y）Table 10 Second-order moment matrix M2（y） of Case 2

由表10可看出，二階矩量矩陣M2（y）中任意2行之間存在倍數(shù)關(guān)系，因此其秩為1，由此可得考慮電網(wǎng)制約的系統(tǒng)最優(yōu)運(yùn)行方式如圖6所示。由圖6可看出，最優(yōu)狀態(tài)下，開斷支路5-6，釋放了發(fā)電機(jī)組G3的發(fā)電外送能力，最經(jīng)濟(jì)源平衡方式得以實(shí)現(xiàn)。

圖6 實(shí)際系統(tǒng)源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模式運(yùn)行圖Fig.6 Operational chart of economic dispatch pattern with source-network synergy for an actual power system

3.3 計(jì)算性能分析和討論

MSDP的優(yōu)點(diǎn)在于其全局尋優(yōu)能力，但其是以擴(kuò)展變量的形式實(shí)現(xiàn)的，勢(shì)必會(huì)降低計(jì)算效率，表11和表12分別給出了本文兩算例的計(jì)算性能以及算例2計(jì)算性能隨可控支路個(gè)數(shù)變化情況。

表11 算例計(jì)算性能Table 11 Computational performance of cases

表12 算例2計(jì)算性能隨可控支路個(gè)數(shù)變化情況Table 12 Computational performance of Case 2 for different controllable line quantities

由表11和表12可以看出，由于MSDP松弛對(duì)變量進(jìn)行了擴(kuò)展，隨著原問(wèn)題變量個(gè)數(shù)的增大，MSDP求解時(shí)占用的內(nèi)存以及計(jì)算時(shí)間非線性增加，計(jì)算復(fù)雜度非線性增加。對(duì)于算例2而言，其計(jì)算復(fù)雜性已非常高，因此，MSDP求解難以滿足更大規(guī)模系統(tǒng)的應(yīng)用需求。由此本文模型及其求解性能需要進(jìn)一步提高以滿足實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用需求。

關(guān)于如何提高求解源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題的MSDP法的計(jì)算性能，筆者打算從以下幾個(gè)方面著手予以解決：首先，就問(wèn)題本身特點(diǎn)出發(fā)給定一定規(guī)則進(jìn)行約束縮減，如保證電網(wǎng)連通性［31］，則可縮小電網(wǎng)可控范圍，以減小問(wèn)題求解規(guī)模；其次，從SDP數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域［32］出發(fā)，利用成熟的稀疏處理技術(shù)以提高算法的計(jì)算效率，并將其應(yīng)用于源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題的求解；此外，電力系統(tǒng)計(jì)算本身也有可以挖掘的稀疏處理的空間［33］，如對(duì)原問(wèn)題變量的排列順序進(jìn)行優(yōu)化，可一定程度上提高計(jì)算效率。受篇幅所限，以上思路的具體實(shí)現(xiàn)筆者將另文詳細(xì)探討。

4 結(jié)論

新形勢(shì)下源網(wǎng)間呈現(xiàn)日趨交織糾結(jié)的矛盾，對(duì)此，本文提出一種電力系統(tǒng)源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型，模型中將電網(wǎng)設(shè)備狀態(tài)納入調(diào)度決策，能夠擴(kuò)大調(diào)度決策解的空間，提高電力系統(tǒng)源平衡能力以及電網(wǎng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性；針對(duì)源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)模型求解困難、難以求得全局最優(yōu)解的情況，本文首次將MSDP法引入考慮電網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化的源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度研究中，算例分析表明該方法具有全局尋優(yōu)能力，對(duì)最大化系統(tǒng)源平衡能力和電網(wǎng)運(yùn)行經(jīng)濟(jì)性具有重要意義。

本研究是電力系統(tǒng)協(xié)同調(diào)度的重要組成部分。進(jìn)一步會(huì)將這一方法拓展到考慮機(jī)組啟停決策的源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度優(yōu)化之中，以在長(zhǎng)時(shí)間尺度內(nèi)揭示源網(wǎng)間協(xié)同的經(jīng)濟(jì)調(diào)度的價(jià)值，預(yù)期會(huì)促進(jìn)新形勢(shì)下電網(wǎng)調(diào)度理論的進(jìn)展。此外，如何保證系統(tǒng)滿足一定的可靠性指標(biāo)以及提高所提方法的求解效率以使其能夠滿足實(shí)際大規(guī)模系統(tǒng)應(yīng)用需求仍需要進(jìn)一步的深入研究。

［1］WOOD A J，WOLLENBERG B F．Power generation，operation，and control［M］．影印版.北京：清華大學(xué)出版社，2003：29-123，209-230.

［2］CARPENTIER J.Contribution a l’etude du dispatching economique［J］.Bulletin de la Societe Francaise des Electriciens，1962，3（8）：431-447．

［3］XU G，GALIANA F D，LOW S.Decoupled economic dispatch using the participation factors load flow［J］.IEEE Trans on Power Apparatus and Systems，1985，PAS-104（6）：1377-1384.

［4］韓學(xué)山．動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度的積留量法［D］．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，1994．HAN Xueshan.Accumulation variable method in dynamic optimal dispatch［D］.Harbin：Harbin Institute of Technology，1994.

［5］張伯明，吳文傳，鄭太一．消納大規(guī)模風(fēng)電的多時(shí)間尺度協(xié)調(diào)的有功調(diào)度系統(tǒng)設(shè)計(jì)［J］．電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2011，35（1）：1-6.ZHANG Boming，WU Wenchuan，ZHENG Taiyi.Design of a multitime scale coordinated active powerdispatching system for accommodating large scale wind power penetration［J］.Automation of Electric Power Systems，2011，35（1）：1-6.

［6］鐘世民，韓學(xué)山，劉道偉．計(jì)及校正控制的安全約束最優(yōu)潮流的奔德斯分解算法［J］. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2011，31（1）：65-71．ZHONG Shimin，HAN Xueshan，LIU Daowei.Benders decomposition algorithm for corrective security-constrained optimal power flow［J］.Proceedings of the CSEE，2011，31（1）：65-71.

［7］謝俊，陳凱旋，岳東，等.基于多智能體系統(tǒng)一致性算法的電力系統(tǒng)分布式經(jīng)濟(jì)調(diào)度策略［J］.電力自動(dòng)化設(shè)備，2016，36（2）：112-117.XIE Jun，CHEN Kaixuan，YUE Dong，et al.Distributed economic dispatch based on consensus algorithm of multi agent system for power system［J］.Electric Power Automation Equipment，2016，36（2）：112-117.

［8］LI M，LUH P B，MICHEL L D.Corrective line switching with securityconstraintsforthe base and contingency cases ［J］.IEEE Trans on Power Systems，2012，27（1）：125-133.

［9］GOU B，ZHANG H.Fast real-time corrective control strategy for overload relief in bulk power systems［J］.IET Generation，Transmission&Distribution，2013，7（12）：1508-1515.

［10］O’NEILL R P，BALDICK R，HELMAN U.Dispatchable transmission in RTO markets［J］.IEEE Trans on Power Systems，2005，20（1）：171-179.

［11］FISHER E B，O’NEILL R P，F(xiàn)ERRIS M C.Optimal transmission switching［J］.IEEE Trans on Power Systems，2008，23（3）：1346-1355.

［12］HEDMAN K W，O’NEILL R P，F(xiàn)ISHER E B，et al.Optimal transmission switching with contingency analysis［J］.IEEE Trans on Power Systems，2009，24（3）：1577-1586.

［13］HEDMAN K W，F(xiàn)ERRIS M C，O’NEILL R P，et al.Co-optimization of generation unit commitment and transmission switching with N-1 reliability［J］.IEEE Trans on Power Systems，2010，25（2）：1052-1063.

［14］李文沅，周家啟，謝開貴.在輸電線和變電站組合聯(lián)結(jié)網(wǎng)絡(luò)中的非同調(diào)現(xiàn)象［J］. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2006，26（14）：7-11.LI Wenyuan，ZHOU Jiaqi，XIE Kaigui.Non-coherence phenomenon in combinative transmission line and substation configurations［J］.Proceedings of the CSEE，2006，26（14）：7-11.

［15］劉國(guó)靜，韓學(xué)山，楊明.經(jīng)濟(jì)調(diào)度中源網(wǎng)間的三種狀態(tài)分析及驗(yàn)證［J］. 電網(wǎng)技術(shù)，2013，37（2）：431-437.LIU Guojing，HAN Xueshan，YANG Ming.Analysis and verification on three states between source and network in economic dispatch［J］.Power System Technology，2013，37（2）：431-437.

［16］WOLKOWICZ H，SAIGAL R，VANDENBERGHE L.Handbook of semidefinite programming：theory，algorithms，and applications［M］.New York，USA：Springer，2000：29-65.

［17］MADRIGAL M，QUINTANA V H.Semi-definite programming relaxations for ｛0，l｝ power dispatch problems［C］∥IEEE Power Engineering Society Summer Meeting，IEEE Conference Proceedings.Edmonton，Canada：［s.n.］，1999：697-702.

［18］白曉清，韋化.求解最優(yōu)潮流問(wèn)題的內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28（19）：56-64.BAI Xiaoqing，WEI Hua.Solution of optimal power flow problems by semi-definite programming［J］.Proceedings of the CSEE，2008，28（19）：56-64.

［19］LAVAEI J，LOW S H.Zero duality gap in optimal power flow problem［J］.IEEE Trans on Power Systems，2012，27（1）：92-107.

［20］張寧宇，高山，趙欣.一種求解機(jī)組組合問(wèn)題的內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃GPU 并行算法［J］. 電力自動(dòng)化設(shè)備，2013，33（7）：126-131.ZHANG Ningyu，GAO Shan，ZHAO Xin.GPU parallel algorithm of interior point SDP for unit commitment［J］.Electric Power Automation Equipment，2013，33（7）：126-131.

［21］王雅婷，何光宇，劉鎧誠(chéng).求解狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題的內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法［J］. 電網(wǎng)技術(shù)，2012，36（10）：209-215.WANG Yating，HE Guangyu，LIU Kaicheng.An semi-definite programming method for state estimation problem［J］.Power System Technology，2012，36（10）：209-215.

［22］ZHANG B，TSE D.Geometry of injection regions of power networks［J］.IEEE Trans on Power Systems，2013，28（2）：788-797.

［23］LESIEUTRE B C，MOLZAHN D K，BORDEN A R.Examining the limits of the application of semi-definite programming to power flow problems［C］∥49th Annual Allerton Conference on Communication，Control，and Computing，IEEE ConferenceProceedings.Monticello，IL，USA：［s.n.］，2011：1492-1499.

［24］MOLZAHN D K，LESIEUTRE B C，DEMARCO C L.A sufficient condition for global optimality of solutions to the optimal power flow problem［J］.IEEE Trans on Power Systems，2014，29（2）：978-979.

［25］田君楊.基于矩量理論的電力系統(tǒng)全局優(yōu)化算法研究［D］.南寧：廣西大學(xué)，2014.TIAN Junyang.Study on global optimization for power system based on theory of moment［D］.Nanning：Guangxi University，2014.

［26］LASSERRE J B.Global optimization with polynomials and the problem of moments［J］.SIAM Journal on Optimization，2001，11（3）：796-817.

［27］LASSERRE J B.A semidefinite programming approach to the generalized problem of moments［J］.Mathematical Programming，2008，112（1）：65-92.

［28］LASSERRE J B.Moments，positive polynomials and their applications［M］.London，UK：Imperial College Press，2009：15-102.

［29］SDPA.Available online［EB/OL］. （2014-12-20）［2014-12-26］.http：∥sdpa.indsys.chuo-u.ac.jp/sdpa/2010.

［30］李濱，韋化，李佩杰.電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化的內(nèi)點(diǎn)非線性互補(bǔ)約束算法［J］. 電力自動(dòng)化設(shè)備，2010，30（2）：53-58.LI Bin，WEI Hua，LI Peijie.Interior-point nonlinear algorithm with complementarity constraints for reactive-power optimization［J］.Electric Power Automation Equipment，2010，30（2）：53-58.

［31］GüLER T，GROSS G.Detection of island formation and identification ofcausalfactorsundermultiplelineoutages ［J］.IEEE Trans on Power Systems，2007，22（2）：505-513.

［32］KIM S，KOJIMA M，MEVISSEN M，et al.Exploiting sparsity in linearand nonlinearmatrix inequalitiesvia positive semidefinite matrix completion［J］.Mathematical Programming，2011，129（1）：33-68.

［33］西安交通大學(xué).電力系統(tǒng)計(jì)算［M］.北京：水利電力出版社，1978：93-101.