基于Levenberg-Marquardt算法的直流電感器電感參量估計

盛洪江，毛建東，李學生，李新中

（1.北方民族大學 電氣信息工程學院，寧夏 銀川 750021；2.寧夏銀利電器有限公司，寧夏 銀川 750021）

0 引言

傳統(tǒng)的電感測量方法主要針對交流電感，可分為伏安法［1-2］、LCR［3］表法和諧振法［4-5］。 傳統(tǒng)的電感測量方法不能同時滿足激勵頻率高、激勵電流大的條件，因此不適合功率或直流電感器測量［6］。工作在直流狀態(tài)下的直流電感器，由于直流磁化的作用，電感鐵芯中除存在交變磁場外，還存在著穩(wěn)態(tài)磁場，屬于單向磁化狀態(tài)。隨著直流電流的增大，其穩(wěn)態(tài)磁場的強度隨著基本磁化曲線增大，鐵芯的磁導率與磁場強度（激勵電流）曲線在中段出現(xiàn)一個極值后再減少（對應于最大激勵電流的飽和區(qū)）。在相同情況下，由于電流較大有時接近飽和區(qū)，同一電感器的電感在直流工作條件下的值比在交流條件下小，故不能直接用LCR電橋儀測試直流電感。

直流電感測量方法大致分為同一法［7-11］、差分法［12］、示波器法［6］3 類。 綜合現(xiàn)有研究成果來看，目前國內市場缺乏切實可行的直流大電感虛擬儀器系統(tǒng)。本文基于設計的智能直流電感測試儀，采用LCR電路零輸入電流響應以最大限度地仿真直流電感工作環(huán)境，并采用基于LCR放電時間電流函數(shù)的Levenberg-Marquardt算法（以下簡稱L-M算法）的非線性參數(shù)估計算法估算電感與直阻的思路，直接逐點計算電感與直阻。

1 基于L-M算法的直流電感測量原理

1.1 LCR二階電路零輸入響應的電流時間函數(shù)參數(shù)關系計算

本文采用LCR二階電路零輸入響應原理求解電感，且實驗中電解電容器容量較大，達到幾十甚至上百mF，因此必須考慮電容器的等效電路，如圖1（a）所示。電容器在實際試驗中存在損耗電阻，這個電阻可能大于電感線圈的電阻。損耗電阻分為金屬損耗和介質損耗。金屬損耗由電流導致的極板、觸點、端鈕發(fā)熱及極板的振動引起，它隨著頻率的升高而增大。引起介質損耗的原因是離子的移動（電導和層間極化）、偶極分子的旋轉或極板的位移、介質中所含空氣以及極板邊沿處空氣的電離作用，它隨著頻率的增高而降低。

圖1 電容器和電感器的等效電路及其化簡電路Fig.1 Equivalent circuit and simplified circuit of capacitor and inductor

圖1（a）中，C為電容器本身電容及其寄生電容的總和；Rp為極間等效漏電阻，包括極板間的漏電損耗及介質損耗、極板與外界間的漏電損耗和介質損耗；Ls為電容器的分布電感，RC為其引線金屬損耗電阻。在低頻103～104Hz范圍內，電容呈現(xiàn)容抗特性，損耗逐漸減少；而在大于105Hz的高頻段內，由于電容中的金屬損耗占主要部分，且隨著頻率增高電容呈現(xiàn)感抗特性，損耗開始逐漸增加，其間有1個最小頻率點即該電容的自身諧振頻率，對應的損耗即為金屬損耗電阻。本文中，電容器串聯(lián)電阻引入的金屬損耗比并聯(lián)電阻的介質損耗更為重要。因此可將電容器的等效電路簡化為總電容與金屬損耗電阻的串聯(lián)，如圖1（a）中所示。同樣，電感器在高頻時不僅要考慮本身的感性特性，還需要考慮繞制導線的電阻以及相鄰線圈之間的分布電容。電感器的等效電路如圖1（b）所示，寄生旁路電容Cp和本身電阻RL分別表示由分布電容和繞制導線帶來的綜合效應。電感器的諧振頻率約為109Hz，該諧振點以下電感器表現(xiàn)為感性，之上則表現(xiàn)為容性。本文只考慮感性情形，即隨著頻率的增加其感抗是遞增的，不考慮寄生電容的影響，從而可將電感器簡化為電感和直阻的串聯(lián)，如圖1（b）中所示。

圖2為LCR二階電路原理圖。該電路的微分方程式為：

其中，L、C、R分別為待測電感、充電電容電容量、等效總電阻；i為通路電流，由圖2中的電流傳感器測量，放電時刻電流為0；U0為放電時刻電容C兩端的初始電壓，亦即該時刻電感器兩端的電壓，由圖2中的電壓傳感器測量；RL為電感器直阻；RC為電容器金屬損耗電阻；Rm為保證該LCR二階電路處于過阻尼狀態(tài)而添加的匹配電阻。

圖2 LCR二階電路簡圖Fig.2 Simplified 2nd-order LCR circuit

令 a=LC、b=RC、c=U0/L，則微分方程變?yōu)椋?/p>

該微分方程的解分過阻尼、臨界、欠阻尼3種情況，由于開關采用單向的IGBT器件，為安全起見，測試過程只采用過阻尼的情況。

過阻尼情況對應 b2＞4a，即方程的解為：

則時間電流函數(shù)為：

式（2）和式（3）相加可以得到：

由 a /b=L /R，結合式（4）、（6）可得：

由式（6）、（7）可以看出，估算出 f、g、h，就能計算出待測電感器的電感L及等效總電阻R。由于R=RL+RC+Rm，在實際計算中，待測直流電感直阻RL應從該R中減去電容器金屬損耗電阻RC及匹配電阻Rm得到，RC數(shù)值可從設備標定中得到，但是為了方便后面的仿真，本文沒有考慮損耗及匹配電阻，只考慮綜合總電阻。上述方法稱為電流響應L-M算法，電壓響應L-M算法具體如下。

采用圖2所示電路也可求出電感兩端的電壓與時間的函數(shù)為：

估算公式為：

由式（8）、（9）可知，估算出 f、fu、gu、hu，便可計算出待測直流電感器的電感L及待測電感的直阻R。

為了便于比對，本文同時應用差分算法估算電感器電感。該算法基于電感計算公式，用差分近似表示微分，即：

其中，ΔT為采樣時間間隔；uk、ik分別為電壓與電流的第k個采樣值；ik+1為電流的第k+1個采樣值。但差分算法無法估算直阻。

需要特別指出的是，電壓響應L-M算法及差分算法都要用到電感器等效電路理想電感L兩端的電壓，該電壓可從電感器兩端電壓，即電壓傳感器測量的電壓 um（t）減去其直阻兩端電壓而得到，即 uL（t）=um（t）-i（t）RL，其中 i（t）為電流傳感器測得的電路電流信號。該方法無法估算直阻，在研究大型電機動態(tài)過程時，由于定、轉子電阻標幺值相對其漏抗很小，在計算直軸瞬態(tài)時間常數(shù)時通常忽略定子電阻［13］，然而受容量、尺寸等條件限制，小型電機定、轉子電阻值（標幺制）遠大于實際大型發(fā)電機，計算時則不可忽略［14］。

1.2 L-M算法

L-M算法［15-16］是使用最廣泛的非線性最小二乘算法。它利用梯度求最大（?。┲?，兼具梯度法和牛頓法的優(yōu)點。當λ很小時，L-M算法步長等于牛頓法步長；當λ很大時，L-M算法步長約等于梯度下降法的步長。

考慮函數(shù)關系 x=f（p），其中 p∈Rn×1是參數(shù)向量；x∈Rm×1是含有噪聲接近于真實值的觀測向量。欲使誤差x-盡可能小，應求解如下最小化問題：

給定一個初始解pk，考慮f（p）在pk點附近的一階近似 f（pk+δk）=f（pk）+Jkδk，其中 Jk為 Jacobi矩陣在pk點的值（切映射）。尋找下一個迭代點pk+1=pk+δk，使得：

該最小化問題本質上就是已知Jk和εk，求解超定線性方程 Jkδk=εk。

在Levenberg-Marquardt算法中，每次迭代通過尋找1個合適的阻尼因子λk，求出該最小化問題的解：

計算步驟如下。

步驟1：取初始點p0；設置終止控制常數(shù)ε，計算ε0=‖x-f（p0）‖；k=0、λ0=10-3、v=10（也可以是其他大于1的數(shù)）。

步驟 2：計算 Jacobi矩陣 Jk，計算構造增量正規(guī)方程

步驟3：求解增量正規(guī)方程得到δk。

a.如果‖x-f（pk+δk）‖＜εk，則令 pk+1=pk+δk，若‖δk‖＜ε，停止迭代，輸出結果；否則令 λk+1=λk/v，轉到步驟2。

b.如果‖x-f（pk+δk）‖≥εk，則令 λk+1=vλk，重新解正規(guī)方程得到δk，返回步驟1。

2 仿真結果

本文通過改變電感設定值（20～2000 μH）、等效總電阻阻值（0.1～0.7Ω），固定電容組容量（24×4700（μF）=112.8 （mF））及電容充電電壓（100 V），計算LCR零輸入的電感電流及電感電壓理想響應，再加上一定幅值的白噪聲以仿真真實的測量值。采用電流響應L-M算法、電壓響應L-M算法及差分算法分別仿真計算了直流電感器的電感及直阻（差分算法不能計算直阻），每種算法設定了15個數(shù)據(jù)點。依據(jù)白噪聲幅值，仿真中設定加響應最大值的1/10的白噪聲及加響應最大值的1/20的白噪聲2種情形。

情形1：電感設定值為200 μH，等效總電阻阻值為0.2 Ω，電容組容量為112.8 mF，電容充電電壓為100 V；仿真時間約2.1 ms。

圖3為情形1下的仿真波形、B樣條平滑數(shù)據(jù)及差分算法直流電感計算結果。圖中，曲線1為零輸入電壓響應加5 V白噪聲的仿真波形；曲線2為零輸入電流響應加約21 A白噪聲的仿真波形；曲線3為平移平均平滑加B樣條平滑濾波后的電壓響應；曲線4為平移平均平滑加B樣條平滑濾波后的電流響應波形；曲線5為應用差分算法后得出的電感波形。由圖3可見，在白噪聲幅值不是很大（約為響應最大值的1/20）時，平移平均平滑及B樣條平滑濾波后的數(shù)據(jù)與理論響應曲線（圖中未畫出）是很接近的。

圖3 情形1下響應仿真數(shù)據(jù)、B樣條平滑數(shù)據(jù)及差分算法計算的直流電感Fig.3 Simulative data，B-spline smoothing data and DC inductance calculated by difference algorithm in Case 1

情形2：某一直流電感器電感值為280 μH，等效總電阻阻值約為0.33 Ω，直阻為17 mΩ，電容組容量為47 mF，電容充電電壓為100 V；仿真時間為0.25 ms；所用電壓、電流傳感器的精度均為1%，量程分別為 1500 V、2600 A。

圖4為情形2下的響應采樣數(shù)據(jù)、B樣條平滑數(shù)據(jù)及差分算法直流電感器電感計算結果。圖中，曲線1為零輸入電壓響應采樣波形；曲線2為零輸入電流響應采樣波形；曲線3為B樣條平滑濾波后的電壓響應波形；曲線4為B樣條平滑濾波后的電流響應波形；曲線5為不剔除直阻時應用差分算法得出的非理想電感曲線；曲線6為剔除直阻時應用差分算法得出的理想電感曲線。

圖4 情形2下響應仿真數(shù)據(jù)、B樣條平滑數(shù)據(jù)及差分算法計算的直流電感Fig.4 Simulative data，B-spline smoothing data and DC inductance calculated by difference algorithm in Case 2

由圖4可見，除起始時刻后約5 μs的過渡過程外，電壓響應采樣波形數(shù)據(jù)較為平穩(wěn)，與平滑數(shù)據(jù)的最大誤差為0.75V，與最大值的相對偏差約為0.75%，遠小于1/20；同樣地，電流響應采樣波形與平滑數(shù)據(jù)的最大誤差為2.63A，與最大值的相對偏差為3.6%，也小于1/20，所以實驗采集數(shù)據(jù)的方差比仿真數(shù)據(jù)的方差要小，由此得出的電感計算數(shù)據(jù)應該優(yōu)于仿真數(shù)據(jù)，這從圖4中的電感計算結果也可看出（波動小于圖3中的電感計算結果）。同時還可以看出，不剔除直阻的電感曲線的平均值為289.1 μH，相對誤差為3.25%；剔除直阻的理想電感曲線的平均值為286.4 μH，相對誤差為2.28%，計算精度有所提高。

為了進一步提高精度，在實際工程中應用電壓響應L-M算法計算理想電感的步驟如下（電流響應L-M算法不涉及理想電感電壓、差分法的理想電感電壓只能使用校準的RL估算）。

步驟1：設置L0及RL0、終止控制常數(shù)ε，令k=1。

步驟 2：由公式 uL（k）=um（t）-i（t）RL（k-1）及電壓響應L-M算法計算Lk及RLk。

步驟 3：如 εk＜ ε（k≥1），則輸出電感量及直阻，結束流程；否則令k=k+1，返回步驟2。

圖5 白噪聲幅值為響應最大值的1/20時的電感相對誤差Fig.5 Relative error when white noise amplitude is 1/20 of maximum response

圖6 白噪聲幅值為響應最大值的1/10時的電感相對誤差Fig.6 Relative error when white noise amplitude is 1/10 of maximum response

圖5、6分別為加幅值為響應最大值的1/20和1/10的白噪聲時，電感相對誤差仿真曲線。從單幅圖來看，應用電壓響應L-M算法的相對誤差最大，差分算法的相對誤差次之，電流響應L-M算法的相對誤差最小，特別是電流響應L-M算法相對誤差基本小于1%，大部分數(shù)據(jù)點的相對誤差小于0.1%，符合實際設計要求的技術指標。對比圖5、6可以看出，電流響應L-M算法抗干擾的能力明顯優(yōu)于其他2種方法。

圖7、8分別列出加幅值為響應最大值的1/20和1/10的白噪聲時，電感對應等效總電阻相對誤差仿真曲線。由圖7、8可見，電流響應L-M算法的相對誤差小于2%，大部分數(shù)據(jù)點的相對誤差小于1%，性能最優(yōu)；電流響應L-M算法抗干擾的能力明顯優(yōu)于電壓響應L-M算法，而差分算法則無法估算出等效總電阻。

圖7 白噪聲幅值為響應最大值的1/20時的等效總電阻及其相對誤差Fig.7 Equivalent total resistance and corresponding relative error when white noise amplitude is 1/20 of maximum response

圖8 白噪聲幅值為響應最大值的1/10時的等效總電阻及其相對誤差Fig.8 Equivalent total resistance and corresponding relative error when white noise amplitude is 1/10 of maximum response

3 結論

本文采用基于LCR電路零輸入電流響應的L-M算法估算直流電感器的電感及待測電感的直阻R，計算相對誤差在1%以內，小于電壓響應L-M法及差分算法的相對誤差；且本文方法只需高壓差分探頭、大電流柔性探頭采集的電感端電壓信號及回路電流信號即可，雖然計算時間較長（采用通用計算機時計算時間約為1 min，此時間與計算機主頻有關），但在用戶所能容忍的范圍內。

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