周期激勵(lì)下四維非線性系統(tǒng)的簇發(fā)共存現(xiàn)象*

張曉芳吳 磊 畢勤勝

（江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013）

周期激勵(lì)下四維非線性系統(tǒng)的簇發(fā)共存現(xiàn)象*

張曉芳?吳 磊 畢勤勝

（江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013）

在一個(gè)周期激勵(lì)的四維非自治系統(tǒng)中，當(dāng)激勵(lì)的頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出了兩時(shí)間尺度的動力學(xué)行為.將激勵(lì)項(xiàng)定義為慢變參數(shù)，激勵(lì)系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為廣義自治系統(tǒng).分析了廣義自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及其分岔?xiàng)l件.應(yīng)用快慢分析法和轉(zhuǎn)換相圖，探討了系統(tǒng)對應(yīng)于不同初始條件的簇發(fā)現(xiàn)象及其產(chǎn)生機(jī)制，并對其中多種簇發(fā)共存的形成機(jī)理進(jìn)行了討論.同時(shí)，由于慢過效應(yīng)的存在，簇發(fā)振蕩的激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)的連接點(diǎn)和理論分析中的分岔點(diǎn)相比存在一定的滯后現(xiàn)象.

周期激勵(lì)， 分岔， 簇發(fā)， 兩時(shí)間尺度

引言

在非線性動力系統(tǒng)中，兩時(shí)間尺度會導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜的動力學(xué)行為，因而受到國內(nèi)外學(xué)術(shù)界廣泛的關(guān)注［1-4］.其動力學(xué)行為通常表現(xiàn)為周期簇發(fā)（periodic bursting）［5-6］，即在一個(gè)周期過程中呈現(xiàn)出大幅振蕩和小幅振蕩的組合.大幅振蕩可看作是快慢系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)（spiking state）［7］.小幅振蕩可看作是快慢系統(tǒng)的靜息態(tài)（quiescent state）［8］.

近幾十年來，國內(nèi)外學(xué)者分別從理論分析和數(shù)值模擬等多方面對兩時(shí)間尺度的動力學(xué)行為進(jìn)行了研究.起初，人們通過將整個(gè)系統(tǒng)約化到單時(shí)間尺度上，給出系統(tǒng)的近似解［9］.隨后，奇異攝動法被用來分析多時(shí)間尺度系統(tǒng)的解析解［10］.然而，這兩種方法都無法深入探討不同時(shí)間尺度相互影響下產(chǎn)生的復(fù)雜動力學(xué)特性.直到Rinzel提出了快慢分析法［11］，不同時(shí)間尺度之間的相互作用及其所導(dǎo)致的簇發(fā)振蕩機(jī)理才得到很好的揭示.例如，利用該方法和幾何分岔理論，Simo等［12］研究了雙阱磁耦合電子振蕩器組合系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩；Bertrain等［13］研究了具有雙參Chay-Cook模型的簇發(fā)行為；Izhikevich［14］則提出了根據(jù)連接簇發(fā)態(tài)和靜息態(tài)的兩個(gè)分岔來命名不同簇發(fā)行為的方法，并給出了所有余維一分岔的簇發(fā)模式.到目前為止，雖然在多時(shí)間尺度的研究領(lǐng)域取得了一定的成果［15］，但大多數(shù)成果都基于低維系統(tǒng)而展開的，對于高維系統(tǒng)中的兩時(shí)間尺度問題則涉及較少.高維系統(tǒng)由于其自身的復(fù)雜性，如多平衡態(tài)共存［16-18］，使得系統(tǒng)所表現(xiàn)出的簇發(fā)行為也尤為復(fù)雜.所以，高維系統(tǒng)的多時(shí)間尺度問題還有待進(jìn)一步深入探索.

本文針對一個(gè)周期激勵(lì)的四維非線性系統(tǒng)，通過參數(shù)調(diào)節(jié)使得激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率，系統(tǒng)具有頻域上的兩個(gè)時(shí)間尺度，從而表現(xiàn)出明顯的快慢效應(yīng).應(yīng)用快慢分析法重點(diǎn)分析不同初始條件下系統(tǒng)產(chǎn)生的簇發(fā)共存現(xiàn)象，揭示簇發(fā)產(chǎn)生的機(jī)理.同時(shí)，進(jìn)一步探討了簇發(fā)共存現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)制.

1 系統(tǒng)模型及分岔分析

為探討高維系統(tǒng)的復(fù)雜簇發(fā)行為，我們在Abooee等［19］提出的一個(gè)三維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加一個(gè)控制項(xiàng)u，并引入周期激勵(lì)，得到了一個(gè)新的四維非自治系統(tǒng)

其中，A為激勵(lì)幅值，ω為相應(yīng)的激勵(lì)頻率.定義w＝Asin（ωt），系統(tǒng)（1）可轉(zhuǎn)換為

當(dāng)激勵(lì)頻率ω遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率ΩN時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè)時(shí)間尺度.在每一個(gè)與固有頻率有關(guān)的快變周期TN＝2π／ΩN中，激勵(lì)項(xiàng)w＝Asin（ωt）在WA＝Asin（ωt0）和WB＝Asin（ωt0+2πω／ΩN）之間變化.由于ω／ΩN?1，對于任意一個(gè)快變周期，激勵(lì)項(xiàng)w變化很小，因此可以將其作為系統(tǒng)（2）的一個(gè)慢變參數(shù).相應(yīng)地，系統(tǒng)（2）可稱之為廣義自治系統(tǒng)，這樣就可以應(yīng)用傳統(tǒng)的快慢分析法來揭示周期激勵(lì)中不同簇發(fā)的產(chǎn)生機(jī)制.

當(dāng)β＞0，c＞0，d＜0時(shí)，廣義自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)可以表示為E0＝（0，0，-w／h，0），Ei±＝（xi0，yi0，zi0，0）以及Ej±＝（xj0，yj0，zj0，uj0），

其中，

我們討論E0的穩(wěn)定性及其分岔?xiàng)l件.其中，E0所對應(yīng)的特征方程的系數(shù)分別為

顯然，E0發(fā)生簡單分岔的條件為a4＝0，即

將λ＝iω0代入特征方程，可以得到E0產(chǎn)生Hopf分岔的條件為

由于表達(dá)式繁瑣，就不在此列出.為了進(jìn)一步討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及其分岔，將參數(shù)取定為a＝40.0，b＝1.0，c＝5.0，d＝-1.0，h＝-5.0，k＝-6.0，α＝1.0，β＝5.0，不難得到，E0＝（0，0，w／5，0）在w＝±11.180處產(chǎn)生簡單分岔.并且，在11.180時(shí)穩(wěn)定，E0在［-11.180，11.180］內(nèi)不穩(wěn)定，E0不滿足產(chǎn)生Hopf分岔的條件.

同樣方法也可以分析其他平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及其分岔?xiàng)l件，只是比較繁瑣，就不在此一一贅述，而是通過圖1給出了所有的平衡點(diǎn)及其分岔產(chǎn)生出的極限環(huán).圖1（a）中，黃色、紅色、藍(lán)色和粉色曲線分別表示平衡點(diǎn)E0，E1±，E2±和E3±，其中實(shí)線表示平衡點(diǎn)穩(wěn)定，虛線表示平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.圖1（b）（c）（d）中的紅色、藍(lán)色和粉色曲線分別表示經(jīng)過超臨界Hopf分岔點(diǎn)H1±、H2±和H3±所產(chǎn)生的獨(dú)立的極限環(huán)CYi±（i＝1，2，3）以及極限環(huán)CYi±碰撞所產(chǎn)生的大的極限環(huán)CYi（i＝1，2，3），各極限環(huán)的存在區(qū)間和存在形式詳見表1.

圖1 平衡點(diǎn)曲線圖及其分岔產(chǎn)生出的極限環(huán)Fig.1 Equilibrium curves and limit cycles

表1 極限環(huán)的存在區(qū)間Table 1 The existence interval of limit cycles

2 周期激勵(lì)下的簇發(fā)共存現(xiàn)象

在上述參數(shù)條件下，取定激勵(lì)幅值A(chǔ)＝10.0，激勵(lì)頻率ω＝0.200，此時(shí)的激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率，初始點(diǎn)分別取SP1（1.610，1.430，-2.240，2.820），SP2（1.400，1.250，-2.240，0.0），SP3（1.210，1.080，-2.240，-1.540）時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了不同簇發(fā)共存的現(xiàn)象.

2.1 初始點(diǎn)取SP1（1.610，1.430，-2.240，2.820）

圖2給出了初始值取SP1（1.610，1.430，-2.240，2.820）時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖.從圖中可以看出，系統(tǒng)產(chǎn)生了明顯的簇發(fā)現(xiàn)象.

圖2 初始點(diǎn)取SP1時(shí)簇發(fā)振蕩的時(shí)間歷程圖Fig.2 Time historyof bursting oscillation for initial pointSP1

為了分析該簇發(fā)現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)制，圖3將平衡點(diǎn)曲線與轉(zhuǎn)換相圖進(jìn)行了疊加.圖3（a）給出了wx的二維疊加圖，其中，紅色實(shí)心圓點(diǎn)表示極限環(huán)CY1±和CY1.圖3（b）給出了w-x-y的三維疊加圖，紅色曲線表示了w＝10.000時(shí)的極限環(huán)CY1.

圖3 初始點(diǎn)取SP1（1.610，1.430，-2.240，2.820）時(shí)系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線與轉(zhuǎn)換相圖的疊加Fig.3 Overlap of equilibrium curves and transformed phase onw-x-yspace for initial pointSP1（1.610，1.430，-2.240，2.820）

假定軌線自A點(diǎn)出發(fā)，由時(shí)間歷程圖可以判斷，它將沿著穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E2+向右運(yùn)動.當(dāng)經(jīng)過分岔點(diǎn)BP+（w＝-5.180）時(shí)，E2+失去其穩(wěn)定性.需要說明的是，由于滯后現(xiàn)象的存在，軌線并沒有立即跳躍，而是沿著不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E2+走了一段路程，直至B（1.663，1.483，-2.222，0.101）點(diǎn)，此時(shí)w＝5.418.

經(jīng)過B點(diǎn)后軌線向E1+跳躍，圍繞平衡點(diǎn)E1+振蕩，由于此時(shí)的E1+并不穩(wěn)定，而在軌線的附近有由Hopf分岔而產(chǎn)生的穩(wěn)定極限環(huán)CY1+存在，受到CY1+的吸引，軌線的振蕩幅值迅速增大，系統(tǒng)由靜息態(tài)進(jìn)入激發(fā)態(tài).隨著w的增大，振蕩的幅度也繼續(xù)增加，直到w達(dá)到最大值10.000時(shí)，軌線到達(dá)C點(diǎn).由圖3（b）可知C點(diǎn)在大極限環(huán)CY1上，所以軌線沿著CY1運(yùn)動到下半部分.之后受激勵(lì)項(xiàng)w的影響，軌線圍繞著極限環(huán)CY1開始向左運(yùn)動直到D（0.0，0.029，-2.012，1.074）點(diǎn)，此時(shí)w＝6.135，廣義自治系統(tǒng)中的極限環(huán)CY1消失，軌線回到CY1+的吸引域中，因此圍繞著極限環(huán)CY1+振蕩并繼續(xù)向左運(yùn)動.由于極限環(huán)逐漸縮小，振蕩幅值也隨之減小，直到穿過分岔點(diǎn)H1+，軌線退出激發(fā)態(tài)最終收斂于穩(wěn)定平衡點(diǎn)E2+，回到初始點(diǎn)A，完成一個(gè)振蕩周期.值得注意的是，在一個(gè)完整的簇發(fā)周期內(nèi)，系統(tǒng)進(jìn)入簇發(fā)態(tài)和退出激發(fā)態(tài)都是由于Hopf分岔引起的，因此我們將該簇發(fā)定義為非對稱結(jié)構(gòu)的Hopf／Hopf簇發(fā).由于系統(tǒng)的對稱性，當(dāng)取初始點(diǎn)SP（-1.610，-1.430，-2.240，2.820）時(shí)，系統(tǒng)還存在一個(gè)和上述軌線關(guān)于x＝0.0平面對稱的吸引子.

下面，要對軌線經(jīng)過B點(diǎn)和D點(diǎn)后的運(yùn)動方向作進(jìn)一步探討.由表1可知，在B點(diǎn)和D點(diǎn)處廣義自治系統(tǒng)中有穩(wěn)定的極限環(huán)CY1±，CY2，CY3同時(shí)存在.為了說明B點(diǎn)的運(yùn)動趨勢，我們將廣義自治系統(tǒng)中的慢變參數(shù)w值取定為B點(diǎn)處對應(yīng)值5.418，將（1.663，1.483，-2.222，0.101）作為初始條件，作出w＝5.418時(shí)廣義自治系統(tǒng)的相圖（見圖4（a）），可見軌跡很快穩(wěn)定到極限環(huán)CY1+上.由此可以說明此時(shí)的B點(diǎn)位于廣義自治系統(tǒng)中極限環(huán)CY1+的吸引域內(nèi)，所以系統(tǒng)軌線穿過B點(diǎn)之后受到CY1+的吸引，而逐漸趨向于CY1+.同樣的方法，將w值取定為D點(diǎn)處的對應(yīng)值6.135，以（0.0，0.029，-2.012，1.074）為初始條件作出廣義自治系統(tǒng)的相圖（見圖4（b）），可以看出系統(tǒng)的軌跡很快穩(wěn)定到極限環(huán)CY1+，說明D點(diǎn)同樣位于廣義自治系統(tǒng)中極限環(huán)CY1+的吸引域內(nèi)，所以系統(tǒng)軌線穿過D點(diǎn)之后受到CY1+的吸引并逐漸趨向于CY1+.可見，軌線所處的吸引域決定了其運(yùn)動方向.

圖4 廣義自治系統(tǒng)的相圖Fig.4 Phase portrait of the generalized autonomous system

2.2 初始點(diǎn)取SP2（1.210，1.080，-2.240，-15.40）

取定初始點(diǎn)SP2（1.210，1.080，-2.240，-1.540），圖5給出了系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖.可以看出，相比較初始點(diǎn)SP1，系統(tǒng)的簇發(fā)行為發(fā)生了明顯的變化.

圖5 初始點(diǎn)取SP2時(shí)簇發(fā)振蕩的時(shí)間歷程圖Fig.5 Time history of bursting oscillation for initial pointSP2

為了揭示該簇發(fā)現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，圖6展示了平衡點(diǎn)曲線與轉(zhuǎn)換相圖的疊加圖，其中，圖6（a）給出了w-x的二維疊加圖，粉色實(shí)心原點(diǎn)表示極限環(huán)CY3±及其發(fā)生碰撞后產(chǎn)生的同樣具有對稱結(jié)構(gòu)的大極限環(huán)CY3.圖6（b）給出了w-x-y的三維疊加圖，粉色曲線表示w＝9.443處的極限環(huán)CY3.由疊加圖不難發(fā)現(xiàn)，相比較圖3，系統(tǒng)的軌線在兩個(gè)極限環(huán)CY3+和CY3-之間來回運(yùn)動.

圖6 初始點(diǎn)取SP2時(shí)系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線與轉(zhuǎn)換相圖的疊加Fig.6 Overlap of equilibrium curves and transformed phase onw-x-yspace for initial pointSP2

還是假定軌線從A點(diǎn)出發(fā)，沿著穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E2+向右運(yùn)動.當(dāng)經(jīng)過分岔點(diǎn)BP+時(shí)，E2+失去其穩(wěn)定性.由于滯后現(xiàn)象的存在，軌線沒有立即跳躍，而是沿著不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E2+走了一段路程，直至B（1.668，1.484，-2.228，-0.039）點(diǎn)，此時(shí)w＝5.552.

經(jīng)過B點(diǎn)后軌線向E3+跳躍，圍繞平衡點(diǎn)E3+振蕩，由于此時(shí)的E3+同樣不穩(wěn)定，受到由Hopf分岔產(chǎn)生的穩(wěn)定極限環(huán)CY3±發(fā)生碰撞后產(chǎn)生的大極限環(huán)CY3的吸引，軌線的振蕩幅值迅速增大，系統(tǒng)由靜息態(tài)進(jìn)入激發(fā)態(tài).隨著w的增大，振蕩的幅度也隨之增大，直到w達(dá)到9.443時(shí)，軌線到達(dá)C點(diǎn).由圖6（b）可知C點(diǎn)在極限環(huán)CY3上，所以軌線圍繞著CY3運(yùn)動到下半部分.之后，軌線圍繞大環(huán)CY3繼續(xù)向右運(yùn)動，直到運(yùn)動到最右點(diǎn)w＝10.000，受激勵(lì)項(xiàng)w的影響，軌線圍繞極限環(huán)CY3開始向左運(yùn)動.當(dāng)運(yùn)動到D（0.0，-0.016，-2.286，-1.257）點(diǎn)，此時(shí)w＝3.011，廣義自治系統(tǒng)中的極限環(huán)CY3消失，且軌線運(yùn)動到CY3-的吸引域中，因此圍繞著極限環(huán)CY3-繼續(xù)振蕩并向左運(yùn)動.隨著極限環(huán)的逐漸減小，振蕩幅值也隨之減小，直到穿過分岔點(diǎn)H3-，軌線退出激發(fā)態(tài)最終收斂于穩(wěn)定平衡點(diǎn)E2-，直到運(yùn)動到最左點(diǎn)P（w＝-10.000），完成半個(gè)振蕩周期.由于相空間的對稱性，系統(tǒng)下半個(gè)周期的運(yùn)動機(jī)理和上半個(gè)周期的運(yùn)動機(jī)理相同，直到回到初始點(diǎn)A，完成一個(gè)周期振蕩.這里，在一個(gè)完整的簇發(fā)周期內(nèi)，軌線共經(jīng)歷了四個(gè)沉寂態(tài)和四個(gè)激發(fā)態(tài)，并且沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)同樣是由Hopf分岔引起的，因而可以將其定義為對稱式double-Hopf／Hopf簇發(fā).

圖7 廣義自治系統(tǒng)的相圖Fig.7 Phase portrait of the generalized autonomous system

同樣方法可以說明軌線在經(jīng)過B點(diǎn)和D點(diǎn)后的運(yùn)動方向.由表1可知，在B點(diǎn)處廣義自治系統(tǒng)中同時(shí)存在穩(wěn)定的極限環(huán)CY1±，CY2，CY3，而在D點(diǎn)處廣義自治系統(tǒng)中同時(shí)存在穩(wěn)定的極限環(huán)CY1±，CY2±，CY3±.將廣義自治系統(tǒng)中的w值取為B點(diǎn)處對應(yīng)值5.552，將（1.668，1.484，-2.228，-0.039）作為初始條件，作出廣義自治系統(tǒng)的相圖（見圖7（a）），可見軌跡很快穩(wěn)定到極限環(huán)CY3上.由此說明B點(diǎn)位于廣義自治系統(tǒng)中極限環(huán)CY3的吸引域內(nèi)，所以系統(tǒng)軌線穿過B點(diǎn)之后受到CY3的吸引，而逐漸趨向于CY3.同樣，將w值取為D點(diǎn)處對應(yīng)值3.011，作出以（0.0，-0.016，-2.286，-1.257）為初始條件的廣義自治系統(tǒng)的相圖（見圖7（b））.可以看出系統(tǒng)的軌跡很快穩(wěn)定到極限環(huán)CY3-上，說明D點(diǎn)位于廣義自治系統(tǒng)中極限環(huán)CY3-的吸引域內(nèi)，所以系統(tǒng)軌線穿過D點(diǎn)之后受到CY3-的吸引并逐漸趨向于CY3-，從而運(yùn)動到極限環(huán)CY3-上.

由此可見，在多個(gè)吸引子共存的情況下，系統(tǒng)的軌跡在運(yùn)動過程中會穿過廣義自治系統(tǒng)中不同吸引子的吸引域，從而受到不同吸引子的吸引，改變它的運(yùn)動方向，導(dǎo)致了不同的簇發(fā)形式的產(chǎn)生.

2.3 初始點(diǎn)取SP3（1.400，1.250，-2.240，0.0）

取定初始點(diǎn)SP3（1.400，1.250，-2.240，0.0）.圖8給出了系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖.

圖8 初始點(diǎn)取SP3時(shí)的簇發(fā)振蕩的時(shí)間歷程圖Fig.8 Time history of bursting oscillation for initial pointSP3

為了揭示該簇發(fā)現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)制，圖9將平衡點(diǎn)曲線與轉(zhuǎn)換相圖進(jìn)行了疊加.其中，圖9（a）給出了w-x的對稱式二維疊加圖，藍(lán)色實(shí)心原點(diǎn)表示極限環(huán)CY2±.圖9（b）給出了w-x-y的三維疊加圖（上半支），藍(lán)色曲線表示極限環(huán)CY2+.通過與圖3和圖6的比較不難發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的軌線圍繞單個(gè)吸引子振蕩.

仍然假定軌線從A點(diǎn)出發(fā)，沿著穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E2+向右運(yùn)動.當(dāng)經(jīng)過分岔點(diǎn)BP+時(shí)，E2+失去其穩(wěn)定性并經(jīng)過Hopf分岔點(diǎn)H2+產(chǎn)生極限環(huán)CY2+.由于滯后現(xiàn)象的存在，軌線沒有因?yàn)槭シ€(wěn)定性而立即產(chǎn)生振蕩，而是沿著不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E2+走了一段路程，直到運(yùn)動到最右點(diǎn)即w取得最大值10.000時(shí)向左折回運(yùn)動才由于極限環(huán)CY2+的吸引開始振蕩，由靜息態(tài)進(jìn)入激發(fā)態(tài).當(dāng)然，向右運(yùn)動的整個(gè)過程中，系統(tǒng)的軌線沒有發(fā)生跳躍的原因是因?yàn)檐壘€向右運(yùn)動的整個(gè)過程中始終處于極限環(huán)CY2+吸引域中.之后，受到極限環(huán)CY2+的作用，隨著w的減小，振蕩幅度逐漸增大.當(dāng)振蕩幅值增大到極限環(huán)CY2+上時(shí)，軌線將圍繞著該極限環(huán)繼續(xù)向左運(yùn)動，直到穿過分岔點(diǎn)H2+退出激發(fā)態(tài)，軌線受到穩(wěn)定平衡點(diǎn)E2+的吸引，振蕩幅值逐漸減小，最終收斂于穩(wěn)定平衡點(diǎn)E2+，回到初始點(diǎn)A點(diǎn)，完成一個(gè)振蕩周期.可以看出，整個(gè)周期振蕩過程中，系統(tǒng)的簇發(fā)行為同樣是由一個(gè)Hopf分岔點(diǎn)引起的，因此可以將其定義為Hopf／Hopf簇發(fā).由于系統(tǒng)的對稱性，當(dāng)初始點(diǎn)取定為SP（-1.400，-1.250，-2.240，0.0）時(shí)，系統(tǒng)還存在一個(gè)和上述簇發(fā)振蕩相對稱的吸引子（見圖9（a））.

圖9 初始點(diǎn)取SP3時(shí)系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲線與轉(zhuǎn)換相圖的疊加Fig.9 Overlap of equilibrium curves and transformed phase onw-x-yspace for initial pointSP3

3 結(jié)論

對于一個(gè)四維周期激勵(lì)系統(tǒng)，當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于原系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)存在兩時(shí)間尺度，表現(xiàn)出明顯的快慢效應(yīng)，從而產(chǎn)生各種復(fù)雜的簇發(fā)現(xiàn)象.在特定的參數(shù)下通過對廣義自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)的分岔分析，發(fā)現(xiàn)了在某些參數(shù)條件下存在多個(gè)吸引子共存的現(xiàn)象.在相同激勵(lì)幅值下取定不同的初始點(diǎn)，由于廣義自治系統(tǒng)多吸引子的共存，隨著初始點(diǎn)的變化，激勵(lì)系統(tǒng)軌線運(yùn)動到不同的吸引域，從而產(chǎn)生不同的簇發(fā)行為，得到不同的簇發(fā)形式.如非對稱結(jié)構(gòu)的Hopf／Hopf簇發(fā)，對稱結(jié)構(gòu)的double-Hopf／Hopf簇發(fā)以及Hopf／Hopf簇發(fā).此外，滯后現(xiàn)象在簇發(fā)現(xiàn)象中表現(xiàn)的較為明顯.

1 Dai H H，Yue X K，Liu C S.A multiple scale time domain collocation method for solving non-linear dynamical system.International Journal of Non-linear Mechanics，2014，67（1）：342～351

2 Kim S Y，Lim W.Thermodynamic order parameters and statistical-mechanical measures for characterization of the burstand spike synchronizations of bursting neurons.Physica A，2015，438（1）：544～559

3 Xu Jie，Miao Yu.Lp（p＞2）-strong convergence of an averaging principle for two-time-scales jump-diffusion stochastic differential equations.Nonlinear Analysis：Hybrid Systems，2015，18（1）：33～47

4 張艷嬌，李美生，陸啟韶.ML神經(jīng)元的放電模式及時(shí)滯對神經(jīng)元同步的影響.動力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2009，7（1）：019～5（Zhang Y J，Li M S，Lu Q S.Firing patterns and the effect of time-delay coupling on synchronization of two copuled chaotic ML neurons.Journal of Dynamics and Control，2009，7（1）：019～5（in Chinese））

5 Ferrari F A S，Viana G L，Lopes SR，et al.Phase synchronization of coupled bursting neurons and the generalized Kuramotomodel.Neural Networks，2015，66（1）：107～118

6 Teerawat S，Suwat K.Adaptive synchronization of hyperchaotic systems via passivity feedback controlwith time-varying gains.Journal of Sound and Vibraion，2010，329（13）：2490～2496

7 張曉芳，陳章耀，畢勤勝.周期激勵(lì)下Chen系統(tǒng)的簇發(fā)現(xiàn)象分析.物理學(xué)報(bào)，2010，59（6）：3802～3808（Zhang X F，Chen Z Y，BiQ S.Analysis of bursting phenomenon in Chen′s system with periodic excitation.Acta Physica Sinica-Chinese Edition，2010，3802～2808（in Chinese））

8 Bi Qinsheng.The mechanism of bursting phenomenon in BZ chemical reaction with multiple time scales.Science in China Series E，2012，10（3）：2820～2830

9 Gyorgyi L，F(xiàn)ield R.A three-variablemodel of deterministicchaos in the Belousov-Zhabotinsky reaction.Nature，1992，355（27）：808～810

10 Valorani M，Goussis D A.Explicit time-scales splitting for stiff problems：auto-lgnition of gaseous-mixtures behind a steady shock.Journal of Computational Physics，2001，169（1）：44～79

11 Rinzel J.Ordinary and Partial Differential Equations.Berlin：Springer-Verlag，1985

12 Simo H，Woafo P.Bursting oscillations in electromechanical systems.Mechanics Research Communications，2011，38（8）：537～541

13 Bertram R，Butte M J，Kiemel T，et al.Topological and phenomenological classification of bursting oscillationa.Bulletin of Mathematical Biology，1995，57（57）：413～439

14 Izhikevich EM.Neural excitability，spiking and bursting.International Journal of Bifurcation and Chaos，2000，10（6）：1171～1266

15 BiQ S，Zhang R，Zhang Z D.Bifurcation mechanism of bursting oscillations in parametrically excited dynamical system.Applied Mathematics and Computation，2014，243（1）：482～491

16 Kitio Kwuimya CA，Enjieu Kadjib H G.Recurrence analysis and synchronization of oscillators with coexisting Attractors.Physics Letters A，2014，387（30-31）：2142～2150

17 Zhang Y X，Kong GQ，Yu JN.Critical curves and coexisting attractors in a quasiperiodically forced delayed system.Physics Letters A，2009，373（15）：1341～1345

18 張曉芳，陳小可，畢勤勝.多分界面下四維蔡氏電路的張弛簇發(fā)及其機(jī)制研究.物理學(xué)報(bào)，2013，61（1）：0105021～0105028（Zhang Xiaofang，Chen Xiaoke，Bi Qinsheng.Relaxation bursting and themechanism of fourdimensional Chua′s circuit with multiple interfaces.Acta Physica Sinica-Chinese Edition，2013，61（1）：0105021～0105028（in Chinese））

19 Abooee A，Yaghini-Bonabi H A，Jahed-Motlagh M R.A-nalysis and circuitry realization of a novel three-dimensional chaotic system.Communication in Nonlinear Science＆Numerical Simulation，2013，18（5）：1235～1245

BURSTING COEXISTENCE PHENOMENONOF A FOUR-DIMENSIONAL NON-AUTONOMOUS SYSTEM UNDER PERIODIC EXCITATION*

Zhang Xiaofang?Wu Lei Bi Qinsheng
（Faculty of Civil Engineering and Mechanics，Jiangsu University，Zhenjiang212013，China）

For a periodically excited four-dimensional non-autonomous system，when the exciting frequency is much less than its nature frequency，dynamical behaviors associated with two time scales can be observed.The excited system can be transformed into a general autonomous system by defining thewhole exciting term as a slowvarying parameter.Firstly，the stability and bifurcation conditions of equilibrium points in the generalized autonomous system are presented.Secondly，the slow-fast analysis and transformed phase are employed to explore the different types of bursting behaviors with different initial conditions.In addition，the mechanism of coexistence phenomenon is discussed.Meanwhile，delay phenomenon is observed between the points connecting the spiking states and the quiescent states and the bifurcation points obtained theoretically.

periodic excitation， bifurcation， bursting， two time scales

10.6052／1672-6553-2015-68

2015-10-13收到第1稿，2015-10-23收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（21276115，11572141）

?通訊作者E-mail：xfzhang＠ujs.edu.cn

Received 13 October 2015，revised 23 October 2015.

*The project supported by the National Natural Science Foundation（21276115，11572141）

?Corresponding author E-mail：fzhang＠ujs.edu.cn