音階的另類計算法

戴念祖

(中國科學院 自然科學史研究所，北京 100190)

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·樂律學·

音階的另類計算法

戴念祖

(中國科學院 自然科學史研究所，北京 100190)

摘要：文章對五度律(三分損益律)、純律、平均律和等程律等，提出一種簡捷、實用的計算方法, 可供音樂史和科學史的教學和研究參考，也有助音樂院校學生的學習和拓展思維。

關鍵詞：音程；五度律；純律；琉特琴(lute)律；平均律；等程律；計算

音階的數(shù)學計算，是科學史(物理學史)、音樂史(音樂基礎理論)和樂律史必修的課程。近年來，或有人以為它是過時了的音樂學，或以為它是與樂音無關的高深知識。因涉及數(shù)學計算，它往往被人所忽略或望而卻步。實際上，音階的數(shù)學計算是音樂學的基礎理論，正是它的進步才有音樂學的發(fā)展。音樂學的創(chuàng)新也少不了音階知識的基礎。本文不揣冒昧，提出一種或許較為簡捷、實用、且易記憶的計算方法?；蛟S有助相關學科的教學和研究、增添某些新知。不當之處，祈識者正之。

一、音程計算法

假定兩個樂音的頻率分別為f1、f2，其音程△則為

(2)式是音程表述的普遍形式。

大家知道，有一個對數(shù)換底公式。即以α為底的對數(shù)可以換成以b為底的對數(shù)。設真數(shù)為M，則換底公式為

按照(3)式，可將(2)式中以β為底的對數(shù)換成以10為底的對數(shù)，即

將(1)式的β值代入(4)式，

查對數(shù)表，log2=0.30103，代入(5)式作運算。因此，

知道以上數(shù)學含義，音程計算可以簡化為：

假定倍頻程對數(shù)值為1200音分，即假定log2=1200，則任一音程△的音分值與之成比例，即

(7)式和(5)式完全相同。

二、五度律音階的計算

五度律(fifth temperament)或五度音階(fifth scale)的計算是律學計算的基礎。它的計算方法是大家所熟悉的，其相生因子為3/2(頻率比，其倒數(shù)則為弦長比)。我們僅作一簡單敘述。

設C=1，計算步驟如下:

(1)由C上生得G、D、A、E、B；

(2)由B上生得#F、#C、#G、#D、#A；

(3)由起始律C下生五度得F(這是五度律計算中關鍵的一步！)；

(4)由F下生得bB、bE、bA、bD、bG。

完成上述四步，五度音階即計算完成。具體計算如下。以下計算中右邊的數(shù)值為按上述音程計算方法所得的對應樂律的音分值。

1)由C上生G開始計算：

C=1 0(音分)

G=3/2702

D=G×3/2÷2=9/8204

A=D×3/2=9/8×3/2=27/16906

E=A×3/2÷2=81/64408

B=E×3/2=243/1281110

2)由B上生#F開始計算：

#F=B×3/2÷2=243/128×3/2÷2 =729/512612

#C=#F×3/2÷2 =729/512×3/4=2187/2048114

#G=#C×3/2=2187/2048×3/2=6561/4096816

#D=#G×3/2÷2=6561/4096×3/4=19683/16384318

#A=#D×3/2=19683/16384×3/2=59049/1000

3)由C下生五度得

F=C×(3/2)-1×2=4/3498

4)由F下生bB始算；

Bb=F×(3/2)-1×2=16/9996

bE=bB×(3/2)-1=32/27294

bA=bE×(3/2)-1×2=128/81792

bD=bA×(3/2)-1=256/24390

bG=bd×(3/2)-1×2==1024/729588

將以上計算結果制成如下表1。該表左邊按升半音劃分音級，右邊按降半音劃分音級。其中，五度音階的規(guī)律性一目了然。如，bD不等于#C，二者相差24音分，相當于一個古代音差(即畢達哥拉斯音差)值。

表1五度律音階(單位：音分)

三、純律大小音階的計算

純律(Just Intonation)或自然音階(Natural Scale)，其C大調的大小音階有一個簡捷公式，可供記憶。

設大全音為M，小全音為m，純律大半音為s，已知：

M=9/8，

m=10/9，

S=16/15。

則，以這三個字母表示C大調純律大、小音階的公式如表2。

表2大調純律大小音階構成公式

特別要指出，這個表供讀者比較純律大小音階的構成方式和規(guī)律，若以其表示音高，這兩種音階中的某些階名則有別。按照表2中的各音級公式做具體運算后，不難發(fā)現(xiàn)：就音高而言，純律大音階的E、A、B比純律小音階的相同音級要高70音分。純律小音階的這三個音級比五度律低92音分，它們之間相差幾近半音了。所以，對純律小音階而言，這三個音級應當記為bE、bA、bB；若以五度律為標準計，這三個音級更接近#D、#G、#A(參見表1)。

以上敘述表明，由表2可進而確定各音級的音高。有個別音樂家往往忽視物理過程，只追求音高的具體數(shù)值。他們對于某律制下的音級高低、甚至音分數(shù)背得滾瓜爛熟，而對這一數(shù)值的原始由來不予問津。記得在一次全國性律學討論會上，筆者曾將表2講述一番。自以為在繁雜的純律計算中發(fā)現(xiàn)了一個簡明可記憶的公式。不料，一個其時甚有名氣的音樂理論家當即反對，其理由是該表錯誤地表述了純律大小音階的音高值。這才使我深深體會到，在物理學與音樂學之間進行交流溝通并非是一件容易的事。*表2中，純律大音階的公式化表述最先是由美國工程院院士、電訊專家戴振鐸先生提出的[2]。戴振鐸將其論文初稿寄我，我們曾作過有意義的討論。在他工作基礎上，我作了純律小音階的公式化表述，并獲得戴振鐸先生的肯定。特此申明，不敢掠美。戴振鐸是江蘇蘇州人，我是福建長汀人，由于這些學術來往，才令彼此知曉。我們不僅同姓，且是同宗同族。我們都是戴氏譙國堂的子孫。戴振鐸1937年清華大學物理系畢業(yè)，是葉企孫學生；我是1964年葉企孫的最后一個學生，甚至在葉先生被軟禁的文革中，還受惠于葉先生指教。這是中國物理學史上的一個故事。

四、平均律和琉特琴律

平均律(mean tone temperament，有人稱其“中庸律”)，只流行于17-18世紀期間，隨后被十二等程律(twelve tone equal temperament)所代替。關于它的計算方法，筆者在“消亡了的平均律”[3]一文中已作了討論，此不贅。

琉特琴(lute)流行于14-17世紀的歐洲撥弦樂器。琉特律是16-17世紀期間為lute琴采用的調律方法。它是由意大利音樂家伽利萊(Vincenzo Galilei,約1520-1591)提出的。伽利萊是近代科學創(chuàng)始人、物理學家伽利略(Galilei Galileo,1564-1642)的父親。伽利萊向當時著名音樂理論家、作曲家查利諾(G·Zarlino,1517-1590)學習音樂和作曲。后來，伽利萊成為頗具聲望的琉特琴手和作曲家。但他和他的社團(佛羅倫薩集社)強烈反對他們老師查利諾提出的多聲部以及和聲的理論。伽利萊提出，半音的音程比率為18:17，并以此對琉特琴調律：

18/17-1.05882353，相當于半音為99音分。

表3琉特琴律

以18/17的比率調琉特琴律的結果如表3。與五度律相比較，琉特律的音階結構中無升半音音程。由表1可見，五度律升半音為114音分。可見它與五度律相差較大。但它卻與等程律近似，它與等程律的最大音差在c1上，為11音分。所以，琉特琴律是一種特殊的律制，它既非五度律，也非等程律。在撥弦樂器中，琉特律很適用于類似古希臘的單音音樂，是其時最富古典正統(tǒng)之美、又能滿足那個時代之需要，且令人滿意的調律。[4]但轉調甚為免強且有限，和聲幾無可能。因此，這種律制在當時查利諾的多聲部與和聲理論中不可能得到運用。但它為西方音樂理論家走向十二等程律開拓了思維線路。

五、等程律

十二等程律(twelve tone equal temperament，本文常將其簡稱為等程律)是由明代音樂家、數(shù)學家朱載堉(1536-1611)創(chuàng)建的，朱載堉稱數(shù)字為“密率”，他定義等程律(朱載堉稱它為“新法密律”)為：

置一尺為實，以密率除之，凡十二遍。[5]

《新物理學詞典》定義為：

等程律的半音音階在一個八度中有十三律，任何相鄰兩律的音程是。[6]

《新格羅夫音樂和音樂家詞典》定義為：

這個最簡單的方法是要為半音選擇一個正確的比例，然后把它運用十二次。[7]

朱載堉對等程律的定義和《新物理學詞典》完全一致，而前者是在后者之前近400年作出的。上述三個定義都表明，十二等程律是以為公比數(shù)的一個等比數(shù)列。

在中國學術界流行將“等程律”稱為“平均律”。其理由是：“平均律”的八度為1200音分，將此除以12，則每律為100音分。這是對“等程律”的誤解。按照這些錯誤說法，朱載堉創(chuàng)建等程律的艱苦實在是徒勞且無智之舉。

關于等程律計算，可參見筆者《從傳統(tǒng)音樂學和數(shù)學角度看朱載堉創(chuàng)立等程律的思維》*發(fā)表于《中國音樂學》2014年第4期。一文。在此，本文以現(xiàn)代的科學和音樂學概念再作一次簡單介紹,并對幾種計算方法作出完整的計算。

表4等程律的第一種計算法

由表4可知，#C=bD，所有升半音都等于高一律的降半音。這才是等程律區(qū)別于其他律制的本質特點。但它并非是“平均1200音分”或“平均600音分”而輕易得到的。

表5中，縱實線為等比中項解，縱虛線為四項構成的等比數(shù)列的第二項，點線為四項中的第三項。就是說，#F是CC1的等比中項，#D和A分別為C#F、#FC1的等比中項；而#C、E、G、B分別為C#D、#D#F、#FA、AC1的第二項，其余(即點虛線者)為相應的第三項。計算步驟按表5中橫欄從上到下進行。這也可以完成十二等程律音階中各個音級的計算。它也是由明代音樂家朱載堉最早發(fā)現(xiàn)和計算的。

如同前二種解法一樣，以下第三種解法又是朱載堉最早做出來的。它的意義是，如同五度律生律法一樣，十二等程律也可以五度相生，甚至還可以四度相生，等等。只要如同五度律(其相生因子為3/2)一樣，找出等程律的五度相生因子，問題就解決了。

表5等程律的第二種計算法

再從b上生#f開始計算，可得#c、#g、#d、#a，又從c1下生五度得f，一直到十二律算全。除了比列因子外，其計算方法與五度律完全相同。

四度相生的十二等程律至此計算完畢。在此特別要指出，五度律是不可能從它的四度中產生的。這是等程律和五度律的根本不同之處。

如在表4中取上一橫列數(shù)據(jù)以求k5,k4，其方法也相同，只要認清音級及其對應的頻比數(shù)即可。如此，

要注意的是，相生因子k5、k4都是按照頻率計算的。如果照弦長比數(shù)計算，就會得出和朱載堉相同的結果。我們將具體數(shù)值代入k5、k4中做一次計算就明白了。

相生因子k5、k4以弦長比表示時，不難發(fā)現(xiàn)、它們與朱載堉在《律歷融通·附音義》、《律呂精義內篇》卷一《不拘隔八相生第四》和《算學新說》三書中所述的完全一樣。如此，不能不佩服朱載堉在創(chuàng)建新法密率中所做的音樂學和樂律學的貢獻！如果知道起始音的頻率或弦長，就可以用上述三種計算方法中的任何一種算出相應的等程律音階。正如朱載堉所做的一樣，十二等程律的音階計算還有多種方法，諸如半音的上生或下生，它們都是根據(jù)等比數(shù)列的數(shù)學特性而做出的。

以上各種計算是樂律學或音樂數(shù)學的重要內容之一。歷史上音樂家、科學家和文化思想大家中不乏主張，音樂是從屬于數(shù)學的學科，其原因大概如此。在這些主張中，除了上古時一些賢哲的言論外，中世紀神學家阿奎那(T.Aguinas, 1225-1275)說：“音樂的基礎是數(shù)學”。歐幾里得(Euclid,前330-前275)《幾何原本》的第一個英譯者、煉金術士和數(shù)學家約翰·迪(John Dee,1527-1608)說：“音樂是一門數(shù)學科學”。法國數(shù)學家、音樂家梅森(Marin Mersenne,1558-1648)*習慣譯名“梅森”，筆者時或按法語譯為“默森”。是《和聲學通論》的作者，他認為“音樂不外是發(fā)聲的代數(shù)”。德國著名的科學文化情報人基歇爾(A.Kircher,1601-1680)著《音樂學通論》，他提出“音樂的操作模式是算術”，“音樂是從屬于數(shù)學的學科”。中國的音樂理論家、十二等程律的發(fā)明人朱載堉(1536-1611)說：“樂也者，聲音之學也；律也者，數(shù)度之學也”。近代科學的創(chuàng)始人開普勒(J.Kepler,1571-1630)、笛卡爾(Rene Descartes,1596-1650)、萊布尼茲(G.W.F.von Leibniz, 1646-1716)，音樂家、作曲家巴赫(J.S.Bach, 1685-1750)等人都曾有過類似看法。但是，人們至今仍有疑問的是、為什么人類史上最早決定用“五度相生”(頻率比為3/2)或“三分損益”(弦長比為2/3)而不是其他？為什么音樂家對于諸如以5/4(純律大三度)代替81/64(五度律三度)極感興趣？人們追求簡單比數(shù)的音程，其原因在哪？實際上，畢達哥拉斯曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)、兩個長度比愈簡單的弦，他們所產生的聲音的諧和程度就愈圓滿。18世紀時，瑞士著名數(shù)學家歐拉(L.Eular,1707-1783)宣稱，“人類的靈魂要在簡單的數(shù)字比中取得性格上的愛好。”[8]赫爾姆霍茨從拍和拍音的實驗中發(fā)現(xiàn)，“隨著兩個樂音的音調之差變化到使拍的干擾作用越來越明顯，那么這兩個音的頻比數(shù)就越來越大?！盵1]118-119這就解釋了為什么較簡單頻比數(shù)的音程更令人愉快，因為此時拍的干擾愈小、甚而無干擾。筆者曾指出，頻比數(shù)愈簡單的音程，聽感愈敏銳且愉悅。這個音樂生理現(xiàn)象或許也是一種回答。

作者附言：感謝中國音樂學院音樂科技系碩士生楊波先生幫助電腦輸入和排版。

參考文獻:

[1]H.von Helmhotz.OntheSensationofTone.Trans.Rev.andCorr[M].Alexander J. Ellis.New York：Dover Pub.Inc. 1954.

[2]戴振鐸.廣義三分損益律與朱載堉十二平均律及純律的關系[J].中國音樂學，2000(4)：105-114.

[3]戴念祖.消亡了的平均律[J].星海音樂學院學報，2015(2)：35-39.

[4]Gene J. Cho.TheDiscoveryofMusicalEqualTemperamentinChinaandEuropeinthe16thCentury[M]. New York：The Edwin Mellen Press, 2003：233.

[5]朱載堉.律學新說：卷一[M].明萬歷本.

[6]H.J.Gray, A.Issacs.Edt.ANewDictionaryofPhysics[M].London：Longman，1975：190.

[7]S.Sadie. MacMillan.TheNewGroveDictionaryofMusicandMusician[M].London, New York：McMillan，1980,Vol.16：218.

[8]弗·卡約里.物理學史[M].戴念祖，譯；范岱年，校.桂林：廣西師范大學出版社，2002：208.

【責任編輯：吳志武】

中圖分類號：J612.1

文獻標識碼：A

文章編號：1008-7389(2016)01-0082-09

DOI:10.3969/j.issn.1008-7389.2016.01.010

作者簡介：戴念祖(1942-)，男，福建長汀人，曾任中國科學院自然科學史研究所研究員，首都師范大學講座教授，中國音樂學院音樂科技系特聘教授，主要從事科學史研究。

收稿日期：2015-08-30