基于遞歸連續(xù)小波變換的電力系統(tǒng)振蕩模式辨識

李國慶，王 丹，姜 濤，陳厚合

（東北電力大學 電氣工程學院，吉林 吉林 132012）

0 引言

隨著電網(wǎng)互聯(lián)規(guī)模不斷擴大，電力負荷日益增加，可再生能源大規(guī)模接入，區(qū)域間功率振蕩已成為限制區(qū)域間輸電能力、威脅電網(wǎng)安全穩(wěn)定運行的重要因素之一［1-3］。因此，準確地識別出電力系統(tǒng)振蕩模式對電網(wǎng)在線安全評估和穩(wěn)定控制具有非常重要的意義［3］。

為有效分析電力系統(tǒng)的低頻振蕩模式，長期以來，特征值分析法在電力系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用［1-4］。該方法借助電力系統(tǒng)的潮流方程和機電暫態(tài)模型，建立電力系統(tǒng)的微分代數(shù)方程；將該微分代數(shù)方程在系統(tǒng)給定運行點處線性化；計算線性化后系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征值；針對所計算的特征值，再依據(jù)李雅普諾夫第一定理分析系統(tǒng)的小擾動穩(wěn)定性。該方法簡單、有效，但在應(yīng)用過程中受系統(tǒng)模型精度和規(guī)模限制，不能滿足電力系統(tǒng)在線分析的需要。因此，該方法多用于電力系統(tǒng)的離線安全穩(wěn)定研究。

廣域測量系統(tǒng)WAMS（Wide-Area Measurement System）的大規(guī)模應(yīng)用［5］，為基于廣域?qū)崪y信號的電力系統(tǒng)低頻振蕩模式辨識提供了可能［6］。目前，常用于辨識電力系統(tǒng)低頻振蕩模式的方法有Kalman濾波法［7］、希爾伯特-黃變換 HHT（Hilbert-Huang Transform）［8-9］、Prony 算法［10-11］、連續(xù)小波變換 CWT（Continuous Wavelet Transform）［14-20］等。 其中，Kalman 濾波算法計算速度快，能消除噪聲的影響，且對不同的輸入信號適應(yīng)性好，但該方法無法反映電力系統(tǒng)的阻尼衰減特性［7］；HHT 以經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解 EMD（Empirical Mode Decomposition）為核心，適用于非平穩(wěn)信號的分析，但本身也存在過沖現(xiàn)象、端點效應(yīng)等缺陷［9］；Prony分析方法是目前非常成熟的電力系統(tǒng)低頻振蕩模式辨識方法，該方法已廣泛應(yīng)用于基于廣域測量信息的電力系統(tǒng)低頻振蕩模式辨識中［10-13］。但運行和研究人員對電力系統(tǒng)低頻振蕩機理進行深入研究后發(fā)現(xiàn)：電力系統(tǒng)的低頻振蕩不僅有平穩(wěn)振蕩，還包括非平穩(wěn)時變振蕩［11］。而Prony算法應(yīng)用的假設(shè)前提是：振蕩系統(tǒng)是一個非時變的系統(tǒng)，且振蕩過程可以用線性模型近似［11］。而對于一個頻率和阻尼比隨時間變化的非平穩(wěn)振蕩過程，該方法的假設(shè)前提不成立，因此將Prony算法應(yīng)用于電力系統(tǒng)的非平穩(wěn)振蕩辨識會存在一定缺陷。

作為分析非平穩(wěn)信號的有力工具，小波變換通過適當?shù)剡x取小波參數(shù)調(diào)整時頻窗口，能夠靈活、精確地將信號在時-頻域內(nèi)展開，進而在每個獨立的時間窗口估算各振蕩模態(tài)分量的頻率和阻尼比，是典型的塊處理方法［15］。該方法可適用于非平穩(wěn)信號的分析，能夠準確辨識出各振蕩時段的模態(tài)參數(shù)，因而被廣泛應(yīng)用到電力系統(tǒng)低頻振蕩模式辨識中［14-20］。但在采用小波分析方法來辨識系統(tǒng)的主導振蕩模式時，仍有以下問題亟需解決：①小波分析的邊緣效應(yīng)［19］，該問題是小波變換的固有問題，邊緣效應(yīng)的存在易導致辨識信號兩端的計算結(jié)果不準確；②用于振蕩模式辨識的小波變換屬于塊處理法，塊處理法在動態(tài)追蹤時計算量大，且占用較大的儲存空間，不利于電力系統(tǒng)振蕩模式的動態(tài)追蹤。

針對上述不足，本文首先采用最小二乘支持向量機LS-SVM（Least Squares Support Vector Machine）［22］，在保留原始信號的帶寬和頻率特性的基礎(chǔ)上，對信號進行擬合延拓，消除邊緣效應(yīng)影響，提高小波端部計算的準確性；此外，在準確選擇小波參數(shù)的基礎(chǔ)上，將連續(xù)小波變換與遞歸最小二乘法RLS（Recursive Least Squares）相結(jié)合，通過RLS對小波系數(shù)的模對數(shù)和相位遞歸擬合更新，克服小波變換作為塊處理法的一些不足，實現(xiàn)模態(tài)參數(shù)的動態(tài)追蹤。最后，將所提方法應(yīng)用于IEEE 68節(jié)點系統(tǒng)和南方電網(wǎng)中進行分析、驗證。

1 小波變換理論

1.1 連續(xù)小波變換

連續(xù)小波變換的原理是將信號通過一系列基函數(shù)表示出來，使其在時域和頻域內(nèi)分別展開。該基函數(shù)是由母小波經(jīng)過一系列伸縮和平移變換得到的。對于一個電力系統(tǒng)的振蕩信號，可以由一系列的阻尼正弦信號表示為：

其中，A 為幅值；ωn為無阻尼振蕩頻率為有阻尼振蕩頻率；θ為相位；ζ為阻尼比。其連續(xù)小波變換形式為［14］：

其中，ψ（t）為母小波；a為伸縮因子，它的每個值對應(yīng)著不同的頻率，且與對應(yīng)頻率負相關(guān)；b為平移因子；*表示復共軛。

考慮到連續(xù)小波變換對信號解耦能力和時頻域分解能力的需要，本文選擇Morlet小波作為基小波進行分析，其形式為：

對于某一模態(tài)頻率fi對應(yīng)的尺度a=ai，時域和頻域帶寬分別為：

其中，fb為小波帶寬參數(shù)；fc為小波中心頻率；fi為相應(yīng)的模態(tài)頻率，與ai相對應(yīng)。

將式（1）和（3）代入式（2）中做內(nèi)積，可得到 Morlet連續(xù)小波變換形式為：

通過選定模態(tài)頻率對應(yīng)的尺度系數(shù)a=a0，可得到包含該模態(tài)信息的小波系數(shù)，相應(yīng)的小波系數(shù)模對數(shù)B和相位C分別為：

其中，Arg（·）表示角度。

由式（7）和（8）可以看出：特定尺度下的小波系數(shù)模對數(shù)對時間的函數(shù)及相位對時間的函數(shù)均為一次函數(shù)，其微分形式分別為表達式中僅含有頻率和阻尼比。因此，對應(yīng)的模態(tài)頻率和阻尼比可用小波系數(shù)的模對數(shù)和相位的微分形式表示：

如前所述，含有多個模態(tài)的信號可以由各個模態(tài)的線性組合表示為：

其對應(yīng)的小波變換為：

由于小波變換本身的帶通性質(zhì)，小波變換相當于用一系列基波確定的濾波器對信號進行帶通濾波。對于某一尺度系數(shù)a=ai（與頻率相對應(yīng)）下的基波ψ*（aiωdi），只有包含該模態(tài)頻率信息的自由響應(yīng)信號才能通過該基波。因此，當a=ai時，在相鄰模態(tài)頻率間隔比較大的情況下，第i階模態(tài)fi對小波系數(shù)的貢獻最大，其他模態(tài)對該尺度下的小波系數(shù)的幅值影響很小，可以忽略不計，得到僅含該階模態(tài)信息的小波系數(shù)為：

類似上述過程，通過特定的尺度系數(shù)a可得到對應(yīng)該模態(tài)信息的小波系數(shù)。最后，再由式（7）—（10）計算出各振蕩模式的頻率和阻尼比。

1.2 小波參數(shù)的選擇

在將連續(xù)小波變換用于辨識電力系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)時，小波參數(shù)選擇的合理與否，直接關(guān)系到時、頻窗口的大小，進而影響到時-頻域的分辨率，是影響小波辨識準確性的關(guān)鍵因素之一［14］。為此，本節(jié)有必要先對小波變換中的中心頻率fc、帶寬參數(shù)fb和伸縮因子a的選擇進行探討。

在電力系統(tǒng)低頻振蕩分析中，運行人員所關(guān)心的區(qū)域間振蕩頻率通常位于 0.2～1 Hz［3］。 在此借鑒文獻［14］所提出的小波中心頻率選擇需接近于所研究系統(tǒng)的振蕩頻率的準則。本文在采用小波分析方法辨識系統(tǒng)的振蕩頻率時，選擇小波辨識的中心頻率位于 0.3～0.6 Hz。 在對含多個振蕩模式的信號進行分析時，假設(shè)相鄰模態(tài)頻率之間的距離較大，此時相鄰模態(tài)間小波系數(shù)的影響可以忽略不計。但若兩相鄰振蕩模式間的頻率相差較小時，無法忽略相鄰頻率信號的影響，需考慮相鄰振蕩頻率對模態(tài)參數(shù)辨識結(jié)果的影響。因此，小波參數(shù)的選擇需要考慮到小波變換的解耦能力以保證消除各振蕩模式間的相互影響。由式（5）可以看出：對于某一模態(tài)頻率，在中心頻率fc已選定的情況下，適當?shù)靥岣邘拝?shù)fb可以減小頻域帶寬，由此減小2個模態(tài)頻率之間的聯(lián)系，進而增加小波變換的解耦能力。

以圖1中信號為例，其包含的2個振蕩模式分別為：模式 1，A1=1.0，θ1=10°，f1=0.6 Hz，ζ1=14.8%；模式 2，A2=1.0，θ2=20°，f2=0.8 Hz，ζ2=8.97%。

圖1 含兩階模式的合成信號Fig.1 Compound signal of two oscillation modes

對圖1所示信號進行小波變換，結(jié)果如圖2所示。圖2為a1=8處相同的中心頻率fc=0.6 Hz下取不同帶寬參數(shù)fb計算得到的小波系數(shù)模對數(shù)，其中fa為系統(tǒng)的振蕩頻率。顯然，由圖2可知：帶寬參數(shù)的增加可以減小相鄰兩頻率間的聯(lián)系，得到比較理想的計算結(jié)果。因此，對于識別振蕩模態(tài)相對密集的信號，可通過適當增加帶寬參數(shù)以保證小波變換的解耦能力，進而提高小波計算的準確性。本文參考文獻［14］，尺度因子和模態(tài)頻率需滿足如下關(guān)系：

其中，Δt為采樣周期；fi為相應(yīng)的模態(tài)頻率。由式（14）可以看出，在中心頻率fc和Δt已知的情況下，根據(jù)所關(guān)注的電力系統(tǒng)振蕩頻率范圍就可以確定a的范圍。

圖2 合成信號小波變換在ai=8對應(yīng)的小波系數(shù)的模對數(shù)Fig.2 Logarithm plot of wavelet coefficients corresponding to ai=8

2 小波變換的邊緣效應(yīng)

需要指出的是：圖2中虛線為解耦后小波脊處的小波系數(shù)模對數(shù)，其中兩端圓線標識部分并非直線，存在著明顯的衰減現(xiàn)象，該現(xiàn)象即為小波變換的邊緣效應(yīng)。由式（2）可看出：小波變換的理論積分區(qū)間是（-∞，+∞），而在實際計算中，信號的采樣長度是有限的，因此兩端的計算結(jié)果必然會存在誤差，導致邊緣效應(yīng)的出現(xiàn)。圖3給出了小波變換出現(xiàn)邊緣效應(yīng)的基本原理圖，從圖3（a）中可看出：假設(shè)小波的時域帶寬為Δt1，在計算t=ti時，軸線右側(cè)小波覆蓋部分已不存在信號，這部分積分將變?yōu)榱?，對?yīng)信號為無限長時，同樣位置的積分相對較小，導致小波變換在信號兩端計算結(jié)果與理論值不符，影響計算的準確性。此外，由式（4）可知，為改善小波變換的解耦能力而增大時域帶寬參數(shù)，會進一步加劇邊緣效應(yīng)。因此，對信號進行小波變換時，邊緣效應(yīng)問題不容忽視。

圖3 邊緣效應(yīng)原理示意圖Fig.3 Schematic diagram of edge effect

數(shù)據(jù)延拓是解決邊緣效應(yīng)的有效方法之一，該方法如圖3（b）所示：將信號兩端延拓后，受邊緣效應(yīng)影響的區(qū)域含有填充的虛擬量測信息，這部分積分將不再是零。對改進后的數(shù)據(jù)進行連續(xù)小波變換，再截取原始信號長度處的數(shù)據(jù)進行辨識，既保留了原信號的相關(guān)信息，又降低了邊緣效應(yīng)的影響。

信號延拓是處理邊緣效應(yīng)的有效方法之一，信號延拓的方法有很多種，如零延拓、周期延拓等［19］。其中零延拓是在進行濾波時，將超出原始邊界的數(shù)據(jù)用零來代替，該方法應(yīng)用簡單，但這種方式帶來了2個問題［22］：①如果要求小波變換后保持數(shù)據(jù)量不變，那么補零延拓是不能完全重構(gòu)信號的；②補零延拓會使邊界信號產(chǎn)生突變，導致延拓后的信號中含有高頻分量。周期延拓是將有限的原始信號作為一個周期，拓展到整個時間軸上，如果信號首尾特征有很大的差異，周期延拓將引入高頻信息，使數(shù)據(jù)段邊界處的時頻信息誤差較大［22］。由于電力系統(tǒng)低頻振蕩信號多屬于衰減振蕩信號，信號兩端特征差異較大，因此采用上述2種方法對電力系統(tǒng)的低頻振蕩信號延拓時，均會在信號兩端產(chǎn)生突變，影響信號辨識結(jié)果的準確性。LS-SVM對信號進行延拓能夠保證邊界信號的連續(xù)性，且由于該方法對輸入數(shù)據(jù)進行延拓后能夠保留原信號的頻率及帶寬特性［19］，適用于處理衰減的振蕩信號，因此本文借鑒文獻［21］的方法引入LS-SVM對所辨識的電力系統(tǒng)振蕩信號進行擬合延拓。

SVM是一種基于結(jié)構(gòu)風險最小化原理的新型機器學習算法，可較好解決小樣本、非線性、高維數(shù)、局部極小值等問題，彌補了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)泛化能力差的缺陷［21］。LS-SVM是SVM的一種拓展，通過引入最小二乘線性系統(tǒng)，采用等式約束條件代替SVM中的不等式約束，將二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為線性方程組的求解問題，降低計算難度。以圖1所示信號為例，原始信號采樣點數(shù)為700個。若采用LS-SVM對該數(shù)據(jù)兩端進行擬合延拓，前后各延拓140個點，如圖4所示。對延拓后的信號進行連續(xù)小波變換，將延拓前、后的結(jié)果進行對比，結(jié)果如圖5所示。圖中結(jié)果表明：經(jīng)LS-SVM延拓后，可有效消除邊緣效應(yīng)所帶來的辨識缺陷，得到較為滿意的辨識結(jié)果。

圖4 數(shù)據(jù)兩端預(yù)測延拓圖Fig.4 Predicted extension at both ends of data

圖5 數(shù)據(jù)處理前后ai=8處對應(yīng)的小波系數(shù)的模對數(shù)圖Fig.5 Logarithm plot of wavelet coefficients corresponding to ai=8，before and after data processing

3 基于遞歸最小二乘法的小波變換

傳統(tǒng)的小波分析方法屬于塊處理法，該方法對每個時間窗口的參數(shù)估計都是獨立的，計算量大，會占用大量存儲空間，不利于實現(xiàn)電力系統(tǒng)振蕩模式的動態(tài)追蹤。為實現(xiàn)系統(tǒng)振蕩模式的動態(tài)追蹤，本文將遞歸最小二乘法與小波變換相結(jié)合，在進行模態(tài)參數(shù)估計時，利用當前時刻的量測量及上一時刻的估計值估計當前時刻的模態(tài)信息，可有效減小動態(tài)估計的計算量。

由式（9）和（10）可見：利用小波變換計算模態(tài)參數(shù)時，振蕩模式的頻率和阻尼比是通過某一尺度（與頻率相對應(yīng)）對應(yīng)的小波系數(shù)的模對數(shù)及相位分別對時間的一次函數(shù)的斜率來求取。采用RLS進行遞歸計算的過程中，通過新時刻的輸入數(shù)據(jù)對前一時刻的估計值進行修正，更新每一時刻的模態(tài)參數(shù)，實現(xiàn)模態(tài)參數(shù)的動態(tài)追蹤。對于某一尺度下的小波系數(shù)，由式（7）和（8）可知，其模對數(shù)和相位分別為時間的一次函數(shù)，因此取時間t處的代數(shù)方程：

其中，aj（t）（j=1，2）以及 b（t）為已知量，xj（j=1，2）為待求值。以式（7）表示的小波變換模對數(shù)為例，b（t）=B（t），a1（t）=t，a2（t）=1，待求的斜率值 a=x1。 則待求解方程轉(zhuǎn)換為：

取遞歸計算的時間窗口長度為1 s，首先在時間窗口0～1 s內(nèi)對α、β（記為x）分別進行估算，取超線性方程組：

其中，x0和 B0分別由 xj（j=1，2）和 B（ti）（i=1，2，…，20）組成。該方程最小二乘估算值為：

當數(shù)據(jù)到達tm+1時刻時，對上一時刻的數(shù)據(jù)進行修正，可以得到新時刻的值：

其中依此類推，可以更新每一時刻的斜率值。

將CWT與上述遞歸辨識過程相結(jié)合即可實現(xiàn)電力系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)參數(shù)的動態(tài)追蹤，提高電力系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定的實時監(jiān)測能力。

4 算法流程

基于上文所提的遞歸連續(xù)小波變換方法，本文辨識電力系統(tǒng)振蕩模式的算法流程如下。

a.輸入信號選?。罕疚倪x取聯(lián)絡(luò)線上的有功功率作為輸入信號進行計算。

b.信號延拓：采用LS-SVM對步驟a中的輸入信號兩端進行擬合延拓。

c.參數(shù)設(shè)定：參數(shù)選取需要根據(jù)所關(guān)注的電力系統(tǒng)振蕩頻率范圍，選擇合理的小波參數(shù)。

d.小波計算：經(jīng)步驟b、c后，計算延拓后信號的小波系數(shù)。截取原信號長度的小波系數(shù)用于下一步的計算。

e.與RLS結(jié)合動態(tài)估算每一時刻的模態(tài)參數(shù)。

5 算例分析

本節(jié)將所提方法應(yīng)用于IEEE 68節(jié)點系統(tǒng)的時域仿真數(shù)據(jù)和南方電網(wǎng)的廣域?qū)崪y數(shù)據(jù)中，以驗證本文所提方法的有效性和可行性。

5.1 IEEE 68 節(jié)點系統(tǒng)算例

圖6 IEEE 68節(jié)點系統(tǒng)Fig.6 IEEE 68-bus system

首先以圖6所示的IEEE 68節(jié)點系統(tǒng)為例對本文所提方法進行分析、驗證，由文獻［2］可知：IEEE 68節(jié)點系統(tǒng)中存在4個區(qū)域間振蕩模式，振蕩頻率依次為 0.3699 Hz、0.4892 Hz、0.6267 Hz和 0.7810 Hz。 為驗證所提方法的準確性和有效性，本文在支路28-29間設(shè)置三相短路故障，故障持續(xù)時間為0.1 s，0.1 s后將故障切除。故障過程中系統(tǒng)的8條聯(lián)絡(luò)線上有功功率振蕩曲線如圖7所示，圖中有功功率為標幺值。

圖7 IEEE 68節(jié)點系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線上有功功率Fig.7 Active power of tie-lines in IEEE 68-bus system

以圖7中聯(lián)絡(luò)線8-9的有功功率作為本文所提遞歸小波變換的輸入信號進行分析。首先為避免小波變換過程中邊緣效應(yīng)的影響，對數(shù)據(jù)兩端擬合延拓，前后各延拓原數(shù)據(jù)的20%，延拓的結(jié)果如圖8所示。

圖8 IEEE 68節(jié)點系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線8-9上的有功功率，前后各延拓原數(shù)據(jù)的20%Fig.8 Active power of Tie-line 8-9 in IEEE 68-bus system，with 20%extension of original data at both ends

考慮到本文主要研究的是電力系統(tǒng)區(qū)域間低頻振蕩模式辨識，同時參考1.2節(jié)中小波參數(shù)選擇的基本準則，取小波變換的中心頻率和帶寬參數(shù)分別為fc=0.6 Hz、fb=20 Hz，對延拓后的聯(lián)絡(luò)線有功功率信號進行連續(xù)小波變換。各頻率下的小波能量系數(shù)如圖9所示。由圖9可知：圖中3個峰值點分別對應(yīng)的振蕩頻率為 0.3571 Hz、0.5833 Hz、0.7609 Hz，因此可認為上述振蕩頻率為該信號所包含的3個主導振蕩模式。其中最大的小波能量系數(shù)對應(yīng)的振蕩頻率為0.3571 Hz，即表明該振蕩模式在支路8-9上具有較強的可觀性。輸入信號中所含主振蕩模式的頻率確定后，即可確定各振蕩模式在小波系數(shù)矩陣上對應(yīng)的尺度a；然后再根據(jù)式（6）和（7）結(jié)合RLS算法，便可計算各振蕩模式的頻率及阻尼比的動態(tài)值。

圖9 各頻率對應(yīng)的小波能量系數(shù)Fig.9 Curve of wavelet energy coefficient vs.frequency

圖10為采用LS-SVM對支路8-9的有功功率進行延拓前、后頻率f=0.3571 Hz（對應(yīng)尺度a=31）對應(yīng)的小波系數(shù)模對數(shù)。其中，實線表示未經(jīng)延拓的模對數(shù)計算結(jié)果，圖中模對數(shù)在6～25 s之間近似為一條直線，但由于邊緣效應(yīng)的影響，模對數(shù)在0～6 s和25～30 s之間存在較大的偏差，與理論推導結(jié)果顯然不相符，在上述兩端部分模態(tài)頻率的計算結(jié)果分別為 0.194 Hz、0.852 Hz，與實際頻率 0.3571 Hz 相差很大，即小波變換中的邊緣效應(yīng)對電力系統(tǒng)低頻振蕩模式辨識的結(jié)果存在較大影響；虛線為采用LS-SVM延拓后的計算結(jié)果，由圖10可得，延拓后的模對數(shù)近似為一條直線且與未延拓的模對數(shù)計算結(jié)果在6～25 s之間完全重合。延拓后在信號兩端計算的振蕩模態(tài)頻率為0.3561 Hz，可見，此時在信號兩端可得到合理的模態(tài)估計值，驗證了LS-SVM在解決小波變換邊緣效應(yīng)問題中的有效性。上述結(jié)果表明：本文所提的LS-SVM法對信號進行延拓后，可效解決小波變換中存在的邊緣效應(yīng)問題，可提高信號兩端模態(tài)參數(shù)辨識結(jié)果的精度。

圖10 數(shù)據(jù)處理前后a=31處對應(yīng)的小波系數(shù)模對數(shù)圖Fig.10 Logarithm plot of wavelet coefficients corresponding to a=31，before and after data processing

圖11進一步給出模態(tài)頻率和阻尼比隨時間動態(tài)變化的計算結(jié)果。圖中對比結(jié)果表明：本文所提的RLS-CWT方法可動態(tài)追蹤電力系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)變化趨勢，更能反映系統(tǒng)的實際振蕩情況。

圖11 f=0.3571 Hz對應(yīng)的頻率和阻尼比Fig.11 Frequency and damping rate，corresponding to f=0.3571 Hz

為驗證本文所提方法的正確性，表1將本文所提方法與特征值分析方法和傳統(tǒng)小波分析方法的結(jié)果進行了比較，D為振蕩模式的阻尼比，表中結(jié)果驗證了本文所提方法的正確性。

表1 聯(lián)絡(luò)線8-9模態(tài)參數(shù)估計值對比Table1 Comparison of estimated modal parameters of Tie-line 8-9

表2進一步給出了以圖7中各聯(lián)絡(luò)線的有功功率作為輸入信號，采用本文所提方法辨識出的振蕩模式，表中D1—D4分別為振蕩模式1—4的阻尼比。由表2可以看出，在同一故障條件下，系統(tǒng)中區(qū)域間振蕩模式在各聯(lián)絡(luò)線上的可觀性各有不同，因而辨識出的振蕩模式數(shù)量不盡相同，但對比特征值分析結(jié)果可看出：本文所提方式可準確估計出各振蕩模式的頻率及阻尼比。

上述算例分析結(jié)果表明：傳統(tǒng)的連續(xù)小波變換算法雖然能夠準確地估算出系統(tǒng)振蕩模式，但計算結(jié)果易受邊緣效應(yīng)的影響。而采用LS-SVM對數(shù)據(jù)延拓，能有效改善數(shù)據(jù)兩端計算結(jié)果的準確性，克服小波變換的邊緣效應(yīng)的影響。同時，將小波變換與RLS相結(jié)合，可實現(xiàn)動態(tài)追蹤系統(tǒng)的振蕩模式，使其更能反映系統(tǒng)的實際動態(tài)穩(wěn)定性。

5.2 南方電網(wǎng)實測數(shù)據(jù)

5.1節(jié)將本文所提方法應(yīng)用于IEEE 68節(jié)點系統(tǒng)的仿真數(shù)據(jù)中驗證了該方法的正確性，本節(jié)進一步將該方法應(yīng)用于南方電網(wǎng)的實測數(shù)據(jù)中驗證所述方法在實際大電網(wǎng)中應(yīng)用的可行性。以圖12所示南方電網(wǎng)某次故障期間TJ線上有功功率作為辨識輸入信號。對圖12中時間窗口為29～59 s的數(shù)據(jù)進行分析?？紤]到小波邊緣效應(yīng)，對該量測窗口數(shù)據(jù)進行延拓，結(jié)果如圖13所示。圖14為頻率f=0.37 Hz對應(yīng)的小波系數(shù)模對數(shù)延拓前后的對比結(jié)果，由圖14可看出：經(jīng)延拓后的信號，其前半部分邊緣效應(yīng)得到有效改善。圖15進一步給出了振蕩頻率為0.37 Hz的云廣振蕩模式和振蕩頻率為0.52 Hz的云貴振蕩模式的頻率與阻尼比隨時間動態(tài)變化的趨勢。由圖中結(jié)果可知，在系統(tǒng)故障初始階段，上述2種振蕩模式的阻尼比較弱，故障切除后，系統(tǒng)逐漸恢復到穩(wěn)定運行狀態(tài)，且振蕩阻尼比均恢復到10%以上，系統(tǒng)具有較強的阻尼特性。

表2 圖7中不同聯(lián)絡(luò)線上的振蕩模式識別結(jié)果Table 2 Results of oscillation mode identification for different tie-lines in fig.7

圖12 南方電網(wǎng)系統(tǒng)TJ線上有功功率Fig.12 Active power of Line TJ of CSG

圖13 數(shù)據(jù)兩端前后各延拓20%Fig.13 20%extension at both ends of original data

圖14 數(shù)據(jù)處理前后頻率f=0.37 Hz對應(yīng)小波系數(shù)模對數(shù)Fig.14 Logarithm plot of wavelet coefficients corresponding to f=0.37 Hz，before and after data processing

圖15 實測數(shù)據(jù)的辨識結(jié)果Fig.15 Results of identification based on measured data

表3進一步對比給出了該方法與Prony算法的辨識結(jié)果［22］，表中結(jié)果表明：本文所提方法辨識出的振蕩頻率與文獻［24］中Prony算法辨識出的振蕩頻率結(jié)果基本一致，但在分析云貴振蕩模式的阻尼比時，由于受到階數(shù)的限制，Prony算法識別結(jié)果不夠準確，而本文所提方法對這2種區(qū)域間振蕩模式的阻尼比均能辨識出較為準確的結(jié)果。此外，Prony算法也屬于一種塊處理方法，也不能揭示系統(tǒng)振蕩模式隨時間變化的動態(tài)特征。

表3 某大型互聯(lián)電網(wǎng)聯(lián)絡(luò)線上的模態(tài)參數(shù)辨識結(jié)果對比Table 3 Comparison of identified tie-line modal parameters for a large-scale power grid

6 結(jié)語

本文提出一種辨識電力系統(tǒng)低頻振蕩模式的遞歸小波變換算法。在合理選擇小波參數(shù)的基礎(chǔ)上，采用LS-SVM消除小波變換中的邊緣效應(yīng)。然后引入RLS技術(shù)，將其與小波變換相結(jié)合，實現(xiàn)對電力系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的動態(tài)追蹤。將該方法分別應(yīng)用于IEEE 68節(jié)點系統(tǒng)和南方電網(wǎng)實測數(shù)據(jù)中進行分析、驗證。結(jié)果表明：該方法可有效改善小波辨識的邊緣效應(yīng)影響，提高兩端模態(tài)參數(shù)辨識的準確性；同時可滿足電力系統(tǒng)振蕩模式的動態(tài)追蹤需要。將本文所提方法與特征值分析法、Prony算法的辨識結(jié)果進行對比，進一步驗證了本文所提方法的準確性和可行性。

參考文獻：

［1］KUNDUR P.Power system stability and control［M］.New York，USA：McGraw-Hill，1994：790-810.

［2］ROGERS G.Power system oscillation［M］.Norwell，MA，USA：Kluwer，2000：3-4.

［3］倪以信，陳壽孫，張寶霖.動態(tài)電力系統(tǒng)的理論和分析［M］.北京：清華大學出版社有限公司，2002.

［4］DEMELLO F P，CONCORDIA C.Concept of synchronous machine stability affected by excitation control［J］.IEEE Trans on PAS，1969，88（4）：361-329.

［5］楊德友，蔡國偉.減載控制靈敏度及其在廣域低頻保護中的應(yīng)用［J］.電力自動化設(shè)備，2016，36（3）：124-128.YANG Deyou，CAI Guowei.Loading shedding control sensitivity and its applications in wide-area low-frequency protection ［J］.Electric Power Automation Equipment，2016，36（3）：124-128.

［6］蔣長江，劉俊勇，劉友波，等.基于廣域測量系統(tǒng)和CELL理論的強迫振蕩在線感知與定位［J］.電力自動化設(shè)備，2015，35（2）：125-132.JIANG Changjiang，LIU Junyong，LIU Youbo，et al.Online forced oscillation detection and identification based on wide area measurement system and CELL theory［J］.Electric Power Automation Equipment，2015，35（2）：125-132.

［7］KORBA P，LARSSON M，REHTANZ C.Detection of oscillations in power systems using Kalman filtering techniques［C］∥Proceedings of IEEE Control Applications Conference.Istanbul，Turkey：IEEE，2003：183-188.

［8］李天云，謝家安，張方彥，等.HHT在電力系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)參數(shù)提取中的應(yīng)用［J］.中國電機工程學報，2007，27（28）：79-83.LI Tianyun，XIE Jiaan，ZHANG Fangyan，et al.Application of HHT for extracting model parameters of low frequency oscillations in power systems［J］.Proceedings of the CSEE，2007，27（28）：79-83.

［9］HUANG N E，WU M C，LONG S R，et al.A confidence limit forthe empiricalmode decomposition and Hilbertspectral analysis［C］∥Proceedings：Mathematical，Physical and Engineering Sciences.London，UK：The Royal Society Press，2000：855-904.

［10］肖晉宇，謝小榮，胡志祥.電力系統(tǒng)低頻振蕩在線辨識的改進Prony 算法［J］.清華大學學報（自然科學版），2004，44（7）：883-887.XIAO Jinyu，XIE Xiaorong，HU Zhixiang.Improved Prony method for online identification of low-frequency oscillations in power systems［J］.Journal of Tsinghua University（Science and Technology），2004，44（7）：883-887.

［11］李鵬，徐光虎，劉春曉，等.從時頻角度重新審視南方電網(wǎng)的區(qū)間功率振蕩［J］.電力系統(tǒng)自動化，2010，34（22）：18-23.LI Peng，XU Guanghu，LIU Chunxiao，et al.A review of interarea oscillations in China Southern Grid in a time-frequency perspective［J］.Automation of Electric Power Systems，2010，34（22）：18-23.

［12］李大虎，曹一家.基于模糊濾波和Prony算法的低頻振蕩模式在線辨識方法［J］.電力系統(tǒng)自動化，2007，31（1）：14-19.LI Dahu，CAO Yijia.An online identification method for power system low-frequency oscillation based on fuzzy filtering and Prony algorithm［J］.Automation of Electric Power Systems，2007，31（1）：14-19.

［13］竺煒，唐穎杰，周有慶，等.基于改進Prony算法的電力系統(tǒng)低頻振蕩模式識別［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2009，33（5）：44-47.ZHU Wei，TANG Yingjie，ZHOU Youqing，et al.Identification of power system low frequency oscillation mode based on improved Prony algorithm［J］.Power System Technology，2009，33（5）：44-47.

［14］RUEDA J L，JUA'REZ C A，ERLICH I.Wavelet-based analysis of power system low-frequency electromechanical oscillations［J］.IEEE Trans on Power Systems，2011，26（3）：1733-1743.

［15］HUANG S J，HSIEH C T，HUANG C L.Application of Morlet wavelets to supervise power system disturbances［J］.IEEE Trans on Power Delivery，1999，14（1）：235-243.

［16］BRUNO S，DE BENEDICTIS M，LA SCALA M.Taking the pulse ofpower systems：monitoring oscillations by wavelet analysis and wide area measurement system［C］∥2006 IEEE PES Power Systems Conference and Exposition.Atlanta，GA，USA：［s.n.］，2006：436-443.

［17］欒某德，劉滌塵，廖清芬，等.基于改進小波系數(shù)奇異值分解和小波去噪的低頻振蕩時變模式辨識［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2012，36（6）：141-147.LUAN Moude，LIU Dichen，LIAO Qingfen，et al.A method to identifytime-varying mode oflow frequency oscillation by continuous wavelet transform based on raising singular value decomposition of wavelet coefficient and wavelet denoising［J］.Power System Technology，2012，36（6）：141-147.

［18］AVDAKOVIC S，NUHANOVIC A，KUSLJUGIC M，et al.Wavelet transform applications in power system dynamics［J］.Electric Power Systems Research，2012，83（1）：237-245.

［19］GRINSTED A，MOORE J C，JEVREJEVA S.Application of the cross wavelet transform and wavelet coherence to geophysical time series［J］.Nonlinear Processes in Geophysics，2004，11（5／6）：561-566.

［20］張鵬飛，薛禹勝，張啟平.電力系統(tǒng)時變振蕩特性的小波脊分析［J］.電力系統(tǒng)自動化，2004，28（16）：32-35.ZHANG Pengfei，XUE Yusheng，ZHANG Qiping.Power system time-varying oscillation analysis with wavelet ridge algorithm［J］.Automation of Electric Power Systems，2004，28（16）：32-35.

［21］李素潔，吳亞鋒，裘焱.小波模態(tài)參數(shù)辨識的邊緣效應(yīng)問題研究［J］.噪聲與振動控制，2009，29（2）：93-96.LI Sujie，WU Yafeng，QIU Yan.Investigation on edge-effect of modal parameter identification using wavelet transform［J］.Noise and Vibration Control，2009，29（2）：93-96.

［22］袁禮海，宋建社.小波變換中的信號邊界延拓方法研究［J］.計算機應(yīng)用研究，2006，23（3）：25-27.YUAN Lihai，SONG Jianshe.Research on signalextended methods in wavelet transform［J］.Application Research of Computers，2006，23（3）：25-27.

［23］胡國勝.支持向量機及在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用［J］.高電壓技術(shù)，2007，33（4）：101-105.HU Guosheng.Study on support vector machines algorithm and its application to power system［J］.High Voltage Engineering，2007，33（4）：101-105.

［24］JIANG T，JIA H，ZHAO J，et al.Mode matching pursuit for estimating dominant modes in bulk power grid［J］.Generation，Transmission&Distribution，2014，8（10）：1677-1686.