基于隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的電纜運(yùn)維最優(yōu)方案

朱曉嶺 ，楊 靜 ，韓鐘寬 ，王書淵 ，張宇馳

（1.國(guó)網(wǎng)冀北電力有限公司，北京 100053；2.國(guó)網(wǎng)福建長(zhǎng)樂(lè)市供電有限公司，福建 長(zhǎng)樂(lè) 350200；3.國(guó)網(wǎng)冀北經(jīng)研院，北京 100045）

0 引言

電力電纜在輸配電系統(tǒng)中起著舉足輕重的作用，電纜線路的安全運(yùn)行決定了輸配電系統(tǒng)整體的可靠性。我國(guó)投運(yùn)的部分電力電纜的服役時(shí)間較長(zhǎng)，即將或者已經(jīng)達(dá)到預(yù)期使用壽命，發(fā)生絕緣老化導(dǎo)致絕緣性能下降，給電纜的安全運(yùn)行帶來(lái)了極大的隱患［1］，但隨著電力電纜規(guī)模高速增長(zhǎng)，電網(wǎng)中運(yùn)行著大量投運(yùn)時(shí)間較短的電纜，它們大部分狀況良好，不容易出現(xiàn)老化［2-3］引起的故障。因此，針對(duì)不同狀態(tài)的電纜需要制定差異化的運(yùn)行維護(hù)策略，從而實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)差異化、精益化運(yùn)維管理。

早年的電纜維護(hù)是基于時(shí)間的維護(hù)，即定期對(duì)電纜進(jìn)行維護(hù)。但是，在過(guò)去的20年里，基于時(shí)間的維護(hù)策略已經(jīng)逐漸向狀態(tài)檢修策略轉(zhuǎn)變［3］。當(dāng)故障數(shù)據(jù)分析、診斷測(cè)試數(shù)據(jù)分析、在線和離線監(jiān)測(cè)結(jié)果表明電纜線路存在缺陷，或當(dāng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明故障概率上升時(shí)，根據(jù)狀態(tài)檢修標(biāo)準(zhǔn)采取維護(hù)措施。然而，現(xiàn)有狀態(tài)監(jiān)測(cè)技術(shù)的數(shù)據(jù)分析方法還不完善，電纜線路地域分布廣、監(jiān)測(cè)成本高，現(xiàn)有狀態(tài)監(jiān)測(cè)方法還沒(méi)有應(yīng)用于所有電纜線路［3-5］。近年來(lái)，在電纜絕緣老化建模和故障數(shù)據(jù)分析方面已經(jīng)開展了少量的工作［6-9］。老化模型可以幫助預(yù)估電纜線路由于老化引起的失效故障概率［6-7］，統(tǒng)計(jì)學(xué)方法可以通過(guò)歷史故障數(shù)據(jù)得出不同種類電纜群體的老化過(guò)程和趨勢(shì)［8-9］。在運(yùn)維決策優(yōu)化和退役管理方面，已有報(bào)道［10-13］利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型對(duì)假設(shè)一定比例電纜存在缺陷的電纜群體提出了一種優(yōu)化方法。

本文針對(duì)中高壓電力電纜，提出了一種基于隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的電力電纜運(yùn)維和更換／退役優(yōu)化策略的模型和實(shí)施方法。利用能夠預(yù)測(cè)電纜絕緣狀況演變的老化模型，評(píng)估優(yōu)化規(guī)劃的時(shí)間范圍。隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法可以幫助運(yùn)維決策和主動(dòng)退役方案的制定，基于這一模型，考慮電纜故障具有一定程度的隨機(jī)性，把電纜故障作為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，將運(yùn)維策略的最優(yōu)化問(wèn)題用數(shù)學(xué)方法解決。對(duì)于電力電纜而言，運(yùn)維決策包括預(yù)防性維護(hù)和糾正性維護(hù)。預(yù)防性維護(hù)通過(guò)防止電纜故障原因的發(fā)生提高其可靠性；而糾正性維護(hù)則是在電纜故障發(fā)生后，將其恢復(fù)到運(yùn)行狀態(tài)。預(yù)防性維護(hù)、糾正性維護(hù)和主動(dòng)退役更換為制定維護(hù)策略和退役管理提供了一個(gè)優(yōu)化空間。

1 電纜線路的老化模型和優(yōu)化區(qū)間

1.1 電纜電熱老化模型

電纜故障的原因主要包括正常的老化過(guò)程，即電纜材料在各種應(yīng)力作用下發(fā)生的性能下降，且不可逆轉(zhuǎn)的劣化過(guò)程［14］。電纜的制造、運(yùn)輸和安裝過(guò)程中產(chǎn)生的缺陷也會(huì)加速電纜的老化速率或造成電纜故障。正常的老化過(guò)程又與電纜敷設(shè)方式有關(guān)，敷設(shè)方式會(huì)影響電纜通道環(huán)境，從而影響電纜的老化速率，間接地影響電纜壽命，文獻(xiàn)［15］列出了不同安裝環(huán)境下XLPE電纜本體的使用壽命。另外，電纜外護(hù)層也對(duì)電纜的壽命有影響，它具有保護(hù)電纜本體與主絕緣、防止水分入侵的作用，當(dāng)電纜外護(hù)層發(fā)生破損或電纜故障時(shí)，會(huì)發(fā)生電纜護(hù)層電流上升的現(xiàn)象，過(guò)高的護(hù)層電流會(huì)導(dǎo)致電纜溫度升高，縮短電纜的使用壽命［14］。

一些投運(yùn)時(shí)間較短但負(fù)荷滿載、超載和處在惡劣的運(yùn)行環(huán)境中的電纜線路可能在無(wú)預(yù)警的情況下突然發(fā)生故障，而另一些電纜盡管投運(yùn)時(shí)間長(zhǎng)但因歷史負(fù)荷偏低和運(yùn)行環(huán)境較好仍然處于良好狀況，按投運(yùn)時(shí)間進(jìn)行維護(hù)更換會(huì)導(dǎo)致極大的浪費(fèi)。分析電纜的老化過(guò)程有助于掌握在運(yùn)電纜線路的不同老化程度并預(yù)測(cè)其可靠性的變化，這對(duì)于制定電纜線路運(yùn)維策略極其重要。

電纜的溫度主要有2個(gè)影響因素：電流焦耳效應(yīng)產(chǎn)生的熱量和電纜周圍環(huán)境引起的熱量耗散。在已知每小時(shí)負(fù)荷的情況下，可根據(jù)IEEE Std 242—2001標(biāo)準(zhǔn)提供的公式計(jì)算出電力電纜的運(yùn)行溫度。電流的熱效應(yīng)和土壤的環(huán)境溫度對(duì)電纜溫度的升高有協(xié)同作用。除特殊情況下電纜載流量超過(guò)額定載流量以外，大部分時(shí)間低于額定電流值。因此，電纜絕緣層表面溫度一般低于額定最高溫度。Montsinger于1930年首次開展了電纜絕緣的老化實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)溫度超過(guò)額定值8～10°C時(shí)，電纜壽命會(huì)縮短一半［16］，并發(fā)表了絕緣材料熱老化壽命與溫度成指數(shù)關(guān)系的結(jié)論。

基于實(shí)驗(yàn)室加速老化實(shí)驗(yàn)，Dalkin發(fā)現(xiàn)熱老化過(guò)程是由于溫度引起的化學(xué)反應(yīng)造成的，老化速率和溫度的關(guān)系可以由Arrhenius公式得到［6-7］。

其中，Lu為使用壽命（h）；A為頻率常數(shù)；e為絕緣材料的激活能（kJ／mol）；R 為普適氣體常數(shù)；T 為實(shí)驗(yàn)開爾文溫度（K）。

電應(yīng)力引發(fā)的老化對(duì)絕緣材料而言是一個(gè)漸近的劣化過(guò)程。電老化與局部放電、水樹、電樹以及空間電荷等密切關(guān)聯(lián)，這些現(xiàn)象通常是由于絕緣材料中存在氣隙、缺陷和雜質(zhì)等引起的。常用的電老化包括線性和指數(shù)模型［7］。

當(dāng)電壓超過(guò)電纜額定值時(shí)就有可能發(fā)生電擊穿。當(dāng)電纜所加的電壓值恒定時(shí)，反乘冪法則和指數(shù)模型都可以用來(lái)表示電壓／電場(chǎng)關(guān)系和絕緣壽命。電纜的剩余電熱壽命LE，TC可以由反乘冪法則計(jì)算得到［6，17］：

其中，T′為通常熱應(yīng)力情況下的開爾文溫度；TC（ti）為在時(shí)間ti內(nèi)的導(dǎo)體溫度；TC，0為允許的最高開爾文溫度；E為最高電場(chǎng)強(qiáng)度；E0為引起電老化的電場(chǎng)強(qiáng)度臨界值；L0為在 TC，0=TC（ti）、E=E0時(shí)以 h 為單位的電纜壽命；n0為在 TC，0=TC（ti）的耐壓系數(shù)；bET為電熱溫度協(xié)同作用常數(shù)；KB為玻爾茲曼常數(shù)；W為通過(guò)短期實(shí)驗(yàn)得到的活化能。

Mantanari等人利用上述理論公式在實(shí)驗(yàn)室針對(duì)不同絕緣材料展開了一系列實(shí)驗(yàn)并得出了電纜絕緣材料的壽命曲線［8］。 Swati［17］以 2 個(gè)實(shí)際案例展示了如何結(jié)合電熱老化模型、電纜環(huán)境溫度和負(fù)荷歷史估算電纜的剩余壽命，如圖1所示。圖1給出了2條電纜的絕緣老化趨勢(shì)，2條電纜連續(xù)運(yùn)行年限分別為I0和IJ，其實(shí)際年齡分別為a0和aJ。這些電纜具有相似的設(shè)計(jì)和運(yùn)行工況。絕緣老化在其加劇前很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)是可以忽略的。圖中電纜可以接受的最高老化水平假設(shè)為75%，該門檻值可以根據(jù)實(shí)際要求變動(dòng)。

圖1 電纜絕緣老化水平隨使用壽命的變化Fig.1 Variation of cable insulation aging level along with service life

電熱老化模型充分考慮了運(yùn)行條件對(duì)電纜運(yùn)行壽命的影響，可用于預(yù)測(cè)電纜的剩余壽命，并據(jù)此確定最佳維護(hù)和更換時(shí)間。

1.2 時(shí)間上的優(yōu)化區(qū)間

在不同的服役階段，電纜狀態(tài)會(huì)因絕緣老化和其他因素而發(fā)生變化，根據(jù)電纜線路的個(gè)體狀態(tài)應(yīng)采取不同的維護(hù)措施。應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型需要設(shè)置一個(gè)有限的時(shí)間區(qū)段，或者稱之為優(yōu)化區(qū)間，即在選定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)對(duì)維護(hù)措施進(jìn)行選擇或優(yōu)化［18-19］。這個(gè)優(yōu)化區(qū)間可由上述隨機(jī)老化模型或統(tǒng)計(jì)學(xué)模型決定，并得到絕緣老化概率隨時(shí)間的變化。本文考慮的優(yōu)化區(qū)間是以電纜的服役時(shí)間為起點(diǎn)，到最大可接受故障概率發(fā)生時(shí)的時(shí)間點(diǎn)為止（如圖1中2條電纜線路所考慮的時(shí)間區(qū)段分別為a0和aJ）。

電力電纜故障失效時(shí)間是由于隨機(jī)因素、老化，或是兩者同時(shí)作用的結(jié)果。隨機(jī)故障會(huì)造成歷史故障率的波動(dòng)，電纜的主動(dòng)更換不應(yīng)受到影響。雖然電纜線路的局部老化會(huì)造成電纜隨機(jī)故障，然而在日常負(fù)載周期電熱應(yīng)力的影響下，整個(gè)電纜的絕緣老化是一個(gè)緩慢持續(xù)的過(guò)程［6-7］。由電纜局部老化引起的電纜故障，不必更換整條電纜，只需用一小段電纜來(lái)替換局部的老化電纜。在優(yōu)化區(qū)間內(nèi)，當(dāng)整條電纜的絕緣狀況處于很低水平，或者當(dāng)整個(gè)維護(hù)成本（包括預(yù)防性維護(hù)和糾正性維護(hù)）和發(fā)生故障帶來(lái)的損失在有限區(qū)間內(nèi)超過(guò)更換成本時(shí)，最佳維護(hù)策略是更換電纜。因此，電力電纜維護(hù)策略的優(yōu)化決策空間由4項(xiàng)決策組成：保持現(xiàn)狀K（Keep），即不需要對(duì)電纜采取任何措施；預(yù)防性維護(hù)PM（Preventive Maintenance），即在故障可能發(fā)生之前采取預(yù)防性措施；故障后維護(hù) CM（Corrective Maintenance），即在故障發(fā)生后維護(hù)更換；主動(dòng)更換RP（RePlace）。預(yù)防性維護(hù)通過(guò)預(yù)防電纜故障的發(fā)生，降低意外斷電的概率，如采取缺陷修復(fù)和在線監(jiān)測(cè)手段及時(shí)發(fā)現(xiàn)缺陷［13，20-21］。

2 成本

伴隨著不同的決策措施，有4項(xiàng)成本：更換成本CRP、故障成本 CF、維護(hù)成本 CM和維修成本 CR［18-19］。

（1）更換成本。

每km電力電纜的更換成本CRP由式（3）決定：

其中，Ccable為每km長(zhǎng)度電纜（含附件）的購(gòu)置成本（元）；Cinst包括電纜每km長(zhǎng)度的運(yùn)輸、安裝成本和退役后的處置費(fèi)用（元）。

（2）故障造成非計(jì)劃斷電帶來(lái)的損失。

電纜線路故障造成非計(jì)劃停運(yùn)所帶來(lái)的損失取決于用戶等級(jí)h。對(duì)于用戶等級(jí)高的電力用戶，系統(tǒng)運(yùn)行安全是首要的考慮因素，經(jīng)濟(jì)不能衡量系統(tǒng)斷電的損失，對(duì)于這類用戶，本文模型不再適用；一般而言，工業(yè)用戶和商業(yè)用戶的每kW·h損失高于居民和農(nóng)業(yè)用戶。對(duì)于h等級(jí)用戶，停電損失CF可由式（4）計(jì)算得出［18］。

其中，dh為h等級(jí)用戶每kW·h的非計(jì)劃停電帶來(lái)的工業(yè)損失；H為故障造成斷電所涉及的所有用戶群體；bh為h等級(jí)用戶的電費(fèi)損失；tr為非計(jì)劃斷電平均時(shí)間長(zhǎng)度；Lh為h等級(jí)用戶平均每小時(shí)用電量。

（3）維護(hù)成本。

對(duì)電纜線路采取恰當(dāng)?shù)念A(yù)防性維護(hù)措施可以減少非計(jì)劃斷電事故的發(fā)生，如美國(guó)對(duì)20世紀(jì)70年代生產(chǎn)的交聯(lián)電纜采取預(yù)修復(fù)措施防止了大量事故的發(fā)生［20］；土壤結(jié)構(gòu)和水分或潮濕程度的變化可以通過(guò)日常巡視來(lái)減少其對(duì)故障率的惡性影響；一些制造和安裝缺陷可以通過(guò)局部放電的測(cè)試來(lái)排查。

電纜線路每年每km的維護(hù)費(fèi)用CM可以用式（5）表達(dá)：

其中，Cz為各種預(yù)防性的維護(hù)和測(cè)試費(fèi)用；z為第z次對(duì)電纜進(jìn)行維護(hù)；Z為維護(hù)總次數(shù)。

（4）故障后修復(fù)成本。

電纜線路故障后需要首先對(duì)故障點(diǎn)進(jìn)行定位和故障原因分析，然后再進(jìn)行修復(fù)。電纜故障的定位和故障原因分析難度和費(fèi)用遠(yuǎn)大于架空線，且目前的技術(shù)水平尚難以清楚排查所有故障原因。所以修復(fù)包括2種情形：第一種是明確故障原因后修復(fù)，修復(fù)后狀態(tài)完好如初；第二種情形是故障原因不明的情況下修復(fù)，結(jié)果是投運(yùn)后再次發(fā)生故障。

所以，故障后修復(fù)費(fèi)用CRCM由式（6）給出：

其中，Cdet為線路故障后每km的定位測(cè)試費(fèi)用；l為線路長(zhǎng)度（km）；CAR為每km線路平均修復(fù)費(fèi)用；故障后修復(fù)費(fèi)用CRCM通常高于預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用CM。

3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃

電力電纜故障很難完全消除，但電纜潛在故障發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)可以通過(guò)評(píng)估電力公司和用戶的潛在損失來(lái)衡量，并據(jù)此將故障概率降低到最低。

圖2顯示了計(jì)劃區(qū)間［0，T］內(nèi)，預(yù)防性維護(hù)措施對(duì)電纜故障概率的影響。將電纜本體作為一個(gè)可修復(fù)的設(shè)備，其故障概率分布服從前述老化模型，文獻(xiàn)［6］展示了該模型在電力電纜線路的詳細(xì)應(yīng)用。設(shè)計(jì)和安裝年限相似的電纜，其故障概率分布函數(shù)可以表示為 F（a）=P（t≤a），其中，t為故障時(shí)間，a 為電纜在時(shí)間軸上的壽命。采取主動(dòng)維護(hù)措施后電纜的實(shí)際有效壽命為a′。這里，電纜壽命和投運(yùn)時(shí)間按年計(jì)算。圖2中最左側(cè)延伸曲線給出了無(wú)維護(hù)措施或未知?dú)v史維護(hù)信息情況下電纜的故障概率變化。預(yù)防性維護(hù)措施降低了電纜故障概率，但它只能檢測(cè)部分潛在的故障原因，而且仍存在其他未發(fā)現(xiàn)的原因，所以，應(yīng)用預(yù)防性維護(hù)措施能降低部分故障的概率［19］。假設(shè)電纜的故障概率減小了x%，則相比無(wú)維護(hù)措施的電纜，有維護(hù)措施的電纜壽命將更長(zhǎng)。減小的故障概率為：

圖2 計(jì)劃區(qū)間及預(yù)防性維護(hù)后的實(shí)際壽命Fig.2 Planning period and effective age after preventive maintenance

實(shí)際有效壽命顯示了維護(hù)措施所帶來(lái)的正面影響，它與故障概率相關(guān)。如果采取維護(hù)措施的電纜故障概率低于無(wú)維護(hù)措施電纜的故障概率，那么采取維護(hù)措施對(duì)于電纜的狀況具有積極影響，則a′＞a。同理，如果兩者的故障概率相同，則說(shuō)明維護(hù)對(duì)電纜的狀況沒(méi)有影響，則 a′=a。

3.1 階段和狀態(tài)

假設(shè)每年度在年初需做出最優(yōu)決策方案，那么，以每一年為一個(gè)階段，在任意一個(gè)階段t（t=0，1，…，T），一條電纜線路或一段電纜只存在2種狀態(tài)，即處于實(shí)際投運(yùn)年數(shù)a′t時(shí)的運(yùn)行狀態(tài)，或者是故障狀態(tài) Fa′t。 其狀態(tài)集為 S=｛a′t，F(xiàn)a′t｝。

3.2 決策

在任意階段t，可做出4種決策：保持現(xiàn)狀、預(yù)防性維護(hù)、糾正性維護(hù)、更換。對(duì)于一條電纜采取的所有決策定義為決策集D：｛K，PM，CM，RP｝，如表1所示。

表1 包含所有狀態(tài)的決策空間Table 1 Decision space containing all statuses

3.3 狀態(tài)轉(zhuǎn)換概率

電纜不同狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換取決于決策集D的選擇。電纜從t階段時(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換到t+1階段的狀態(tài)的概率，取決于當(dāng)前的狀態(tài)和決策集D。如果電纜處于運(yùn)行狀態(tài)a′t，且在此階段沒(méi)有發(fā)生故障，那么可以采取 3種不同決策，即D=｛K，PM，RP｝。 通過(guò)這些決策，電纜的現(xiàn)狀能夠轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N運(yùn)行狀態(tài)F或者故障狀態(tài)F。假設(shè)在計(jì)劃區(qū)間內(nèi)的任意階段t，電纜處于狀態(tài)a′t。保持現(xiàn)狀決策能將電纜的狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閠+1階段下2種可能的狀態(tài)之一，即電纜狀態(tài)能夠轉(zhuǎn)換為運(yùn)行狀態(tài) a′t+1=a′t+1，或是故障狀態(tài) Fa′t+1。在采取保持現(xiàn)狀決策后的a′t+1狀態(tài)下，電纜發(fā)生故障的概率記為 FK：P（Fa′t+1|a′t，K），根據(jù)故障概率分布函數(shù)，F(xiàn)K=P（a′t+1|a′t，K）；電纜不發(fā)生故障的概率記為它與此狀態(tài)下 FK的概率之和為 1。

在狀態(tài)a′t下，預(yù)防性維護(hù)決策能夠檢測(cè)x%的故障事件，并能夠?qū)⒐收细怕式档拖嗤壤?，同時(shí)假設(shè)未檢測(cè)出的故障原因和無(wú)效的預(yù)防性維護(hù)措施會(huì)使電纜狀態(tài)在t+1階段轉(zhuǎn)換成故障狀態(tài)，如圖3所示。采取預(yù)防性維護(hù)措施后狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換概率為：

其中，P（UD）為預(yù)防性維護(hù)措施未檢測(cè)出會(huì)導(dǎo)致電纜故障的原因的概率；P（D）為檢測(cè)出會(huì)導(dǎo)致電纜故障原因的概率；P（USF）和 P（SF）分別為預(yù)防性維護(hù)措施失敗和成功的概率。

圖3 預(yù)防性維護(hù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換概率Fig.3 Status transition probability of preventive maintenance

運(yùn)行在狀態(tài)a′t下的電纜也有可能被新電纜替換。新的電纜具有與舊電纜不同的故障概率分布。在t+1階段，新電纜的已使用壽命為1。如果假設(shè)新電纜的安裝合理可靠，那么可以忽略其第一年的故障概率，新電纜將極有可能轉(zhuǎn)換到運(yùn)行狀態(tài)a′t+1=1，如方程（10）所示。采取主動(dòng)更換決策后的a′t+1狀態(tài)下，電纜發(fā)生故障的概率記為 FRP：P（Fa′t+1|a′t，RP）；電纜不發(fā)生故障的概率記為 FRP：P（1|a′t，RP），它與此狀態(tài)下FRP的概率之和為1。

如果電纜處于故障狀態(tài)Fa′t，那么決策策略只能選擇糾正性維護(hù)決策D=｛CM｝。通過(guò)實(shí)施糾正性維護(hù)，電纜能夠恢復(fù)其運(yùn)行狀態(tài)F，或者再次變成故障狀態(tài)F。在故障狀態(tài)Fa′t下采取糾正性維護(hù)決策后的a′t+1狀態(tài)下，電纜發(fā)生故障的概率記為FCM：P（Fa′t+1|Fa′t，CM），它等于在前一狀態(tài) a′t下不發(fā)生故障的概率，根據(jù)故障概率分布函數(shù)可以得到FCM=1-P（a′t|Fa′t，CM）；電纜不發(fā)生故障的概率記為P（a′t+1|Fa′t，CM），它與此狀態(tài)下 FCM的概率之和為1。在糾正性維護(hù)措施中，完美的修理能使電纜完好如新；簡(jiǎn)單的修理能使電纜恢復(fù)到故障前的運(yùn)行狀態(tài)；適當(dāng)?shù)男蘩砟苁闺娎|恢復(fù)到介于前兩者之間的一般運(yùn)行狀態(tài)；最差的修理則無(wú)法使電纜恢復(fù)到運(yùn)行狀態(tài)。這里假設(shè)糾正性維護(hù)采取適當(dāng)?shù)男蘩?，即可使電纜恢復(fù)到一般運(yùn)行狀態(tài)，其轉(zhuǎn)換概率為FCM。

4 目標(biāo)函數(shù)和遞歸函數(shù)

式（12）的目標(biāo)是在計(jì)劃區(qū)間內(nèi)將維護(hù)的總成本最小化。針對(duì)所有可能的狀態(tài)，通過(guò)求解Bellman方程組可以實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。式（13）描述了每項(xiàng)決策的相關(guān)成本期望值：保持現(xiàn)狀決策不產(chǎn)生即時(shí)成本；預(yù)防性維護(hù)決策有即時(shí)的維護(hù)成本和維修成本；更換決策有即時(shí)的更換成本；糾正性維護(hù)決策則有即時(shí)的故障成本及維修、試驗(yàn)成本。

其中，Vt+1（·）為狀態(tài)轉(zhuǎn)換后到計(jì)劃區(qū)間或優(yōu)化區(qū)間結(jié)束時(shí)未來(lái)成本的期望值；0＜t＜T。

5 模型應(yīng)用

本文提出的方法能夠應(yīng)用于已知故障概率分布和絕緣老化程度的電力電纜。將該模型應(yīng)用于我國(guó)冀北唐山地區(qū)安裝的YJLV22-10-3×240鋁芯電纜，電纜線路長(zhǎng)500 m，投運(yùn)時(shí)間為1997年，電纜參數(shù)如表2所示。我國(guó)1997年安裝的電纜，已經(jīng)運(yùn)行近20 a，按照傳統(tǒng)做法采取更換措施，下面具體分析本文動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型給出的成本最優(yōu)的電纜運(yùn)維管理方案。

表2 交聯(lián)聚乙烯電纜參數(shù)Table 2 Parameters of XLPE cable

可以依照歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)模型得出該電纜的故障概率分布和絕緣老化等級(jí)［8，22-23］，分別如圖4和圖5所示。

圖4 故障概率分布Fig.4 Distribution of failure rate

圖5 絕緣老化等級(jí)與計(jì)劃區(qū)間Fig.5 Insulation aging level and planning period

從2015年開始計(jì)算，預(yù)計(jì)到2024年和2041年，該電纜的絕緣水平將分別降低到75%（中度老化）和99.8%（嚴(yán)重老化）。圖5顯示了優(yōu)化區(qū)間內(nèi)通過(guò)本文所提出的隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型所得到的2個(gè)不同的維護(hù)方案。第一個(gè)方案是從2015年到2024年（［0，9］），第二個(gè)方案是從 2015 年到 2041 年（［0，26］）。預(yù)防性維護(hù)減少了計(jì)劃區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)故障概率，根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，預(yù)防性維護(hù)能檢測(cè)到65%的故障原因，并降低相同百分比的故障概率。預(yù)防性維護(hù)的轉(zhuǎn)換概率為FPM=0.65×0.90=0.585（由圖3 和式（9）得出），F(xiàn)PM=0.35+0.65×0.10=0.415。 保持現(xiàn)狀和糾正性維護(hù)措施的轉(zhuǎn)換概率可以通過(guò)前文提到的故障概率分布獲得。假設(shè)可接受的電纜故障概率為8%，則故障概率低于該水平時(shí)，不需要對(duì)電纜采取預(yù)防性維護(hù)和更換措施。

表3給出了模型的成本／費(fèi)用數(shù)據(jù)，其中平均糾正性維護(hù)成本和平均預(yù)防性維護(hù)的成本為假設(shè)數(shù)據(jù)。值得注意的是，相比維修成本、更換成本和故障成本，人們往往不重視預(yù)防性維護(hù)（診斷測(cè)試和巡查）成本。電纜的故障成本取決于用戶的等級(jí)，這對(duì)模型的結(jié)果有很大影響。本案例中，電纜的服務(wù)對(duì)象為住戶，其故障成本很低，供電可靠性較低，允許停電事故。對(duì)于案例中電纜溝敷設(shè)的電纜維護(hù)措施包括絕緣修復(fù)、通道環(huán)境改善和注射硅膠等［23］。

表3 維護(hù)和故障成本（以唐山地區(qū)為例）Table 3 Maintenance cost and failure cost（with Tangshan region as an example）

圖6 計(jì)劃區(qū)間為［0，14］和［0，39］時(shí)的最優(yōu)維護(hù)決策方案Fig.6 Optimal maintenance schemes of planning period ［0，14］and ［0，39］

圖6所示為2個(gè)不同計(jì)劃區(qū)間內(nèi)成本最小的優(yōu)化決策方案。計(jì)劃始于t=0（2015年）時(shí)，電纜處于運(yùn)行狀態(tài)，其實(shí)際壽命為a′=18 a（此時(shí)，由于沒(méi)有采取維護(hù)措施，a′=a）。 在［0，9］（2015—2024 年）計(jì)劃區(qū)間內(nèi)，計(jì)劃區(qū)間跨度較小，由于預(yù)防性維護(hù)的積極影響和較低的電纜故障成本，維護(hù)成本要低于更換成本，所以模型不建議在該計(jì)劃區(qū)間內(nèi)采取主動(dòng)更換決策，建議對(duì)電纜進(jìn)行2次預(yù)防性維護(hù)。t=0（2015年）時(shí)實(shí)施一次預(yù)防性維護(hù)；在t=5（2020年）時(shí)實(shí)施第二次預(yù)防性保護(hù)措施。在計(jì)劃區(qū)間內(nèi)的其余所有階段（每年），均采取保持現(xiàn)狀決策。相比于優(yōu)化前，優(yōu)化后的電纜在具有相同老化水平的情況下具有較低的故障概率，電纜的故障概率由原先的0.28降低到0.15。

第2個(gè)計(jì)劃區(qū)間從2016年至2041年，時(shí)間跨度很大，最終整條電纜的絕緣故障概率將達(dá)到99.8%。由于電纜老化較重，電纜故障率較高，且注射硅橡膠的維護(hù)成本很高，模型建議在2015年（t=0）就對(duì)電纜進(jìn)行主動(dòng)退役更換，更換后的新電纜故障率和老化率幾乎為0，模型建議對(duì)新電纜在2018年（t=3）和2032年（t=17）進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)，共2次，在計(jì)劃區(qū)間內(nèi)的其余所有階段（每年），均采取保持現(xiàn)狀決策。這樣的決策安排在計(jì)劃區(qū)間內(nèi)是最優(yōu)的，即成本最低。在這一優(yōu)化區(qū)間內(nèi)，電纜的隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型在成本最小的條件下，降低了電纜的故障概率，實(shí)現(xiàn)了電纜的主動(dòng)退役更換。

值得注意的是，本文案例所呈現(xiàn)的最優(yōu)維護(hù)策略并不是通用的，這與優(yōu)化對(duì)象的各種維護(hù)措施成本有關(guān)，且模型中部分?jǐn)?shù)據(jù)來(lái)源于案例所涉及電纜的運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，故案例結(jié)果是針對(duì)于該條電纜的最優(yōu)運(yùn)維方案，讀者可借助本文提出的隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，依照不同電纜的相關(guān)數(shù)據(jù)得到相應(yīng)的最優(yōu)運(yùn)維管理方案。

6 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，用于優(yōu)化電力電纜運(yùn)維管理策略，并結(jié)合實(shí)際應(yīng)用案例進(jìn)行了詳細(xì)分析。針對(duì)已知故障概率分布和絕緣老化等級(jí)的電纜，運(yùn)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型能夠找到使其長(zhǎng)期運(yùn)行成本最優(yōu)的運(yùn)維策略，給出合適的保持現(xiàn)狀、預(yù)防性維護(hù)、糾正性維護(hù)和電纜主動(dòng)退役更換運(yùn)維方案，降低電纜的故障率。電力公司和監(jiān)管機(jī)構(gòu)可以利用該模型的概率性質(zhì)來(lái)評(píng)估資金風(fēng)險(xiǎn)。

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