基于Leonard規(guī)正變量的修正高分辨率組合格式?

牛云霞, 李春光, 景何仿

(1-北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，銀川 750021;2-新疆大學(xué)科學(xué)技術(shù)學(xué)院(阿克蘇校區(qū))，阿克蘇 843000;3-北方民族大學(xué)數(shù)值計(jì)算與工程應(yīng)用研究所，銀川 750021)

doi:10.3969/j.issn.1005-3085.2016.06.002

文章編號(hào):1005-3085(2016)06-0578-09

收稿日期:2015-04-07. 作者簡介:牛云霞(1989年10月生)，女，碩士.研究方向：計(jì)算流體力學(xué).

?基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金(11361002)；寧夏自治區(qū)水利廳水資源項(xiàng)目([2015]50-18)；北方民族大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(YCX1555)；北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院研究生創(chuàng)新項(xiàng)目.

?通訊作者:李春光 E-mail:cglizd@hotmail.com

1 引言

自然界的大部分流動(dòng)和傳熱現(xiàn)象都可以用對流擴(kuò)散方程進(jìn)行描述．傳統(tǒng)的求解對流擴(kuò)散方程的差分方法，對于大變形及間斷問題的計(jì)算結(jié)果往往無法滿足實(shí)際需求．因此，高分辨率格式的研究廣泛受到學(xué)者們的重視．對流擴(kuò)散方程的擴(kuò)散項(xiàng)用二階精度的中心差分格式，可滿足大多數(shù)工程計(jì)算，對流項(xiàng)格式的構(gòu)造，往往可以決定一個(gè)格式的好壞．

本文基于Leonard規(guī)正變量，對于不同區(qū)域的規(guī)正變量進(jìn)行了重構(gòu)，得出了求解對流擴(kuò)散方程的修正高分辨率組合格式，推導(dǎo)出了組合格式計(jì)算過程迭代收斂的充分條件．

數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，新格式滿足有界性、穩(wěn)定性的要求，有效提高了格式的分辨率并減小了解析解與數(shù)值解之間的總偏差量．因此，根據(jù)計(jì)算迭代收斂性的條件在BAIR區(qū)域構(gòu)造的高分辨率組合格式是合理的，具有一定的實(shí)際參考價(jià)值．

2 規(guī)正變量與二階精度格式

2.1 Leonard規(guī)正變量

為了簡化高階組合格式的函數(shù)關(guān)系定義表達(dá)式，根據(jù)文獻(xiàn)[1]提到的規(guī)正變量及規(guī)正變量定義圖，如圖1所示，在一維均勻網(wǎng)格上三個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)為U,C,D分別表示上游、中間及下游節(jié)點(diǎn)，這三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的被求函數(shù)值分別記為?U,?C,?D，位于節(jié)點(diǎn)之間的界面值記為?(x)．帶有迎風(fēng)傾向的高階格式可表示為?f=f(?U,?C,?D)．

Leonard規(guī)正變量定義為

易得=0,=1，因此，引入規(guī)正變量后，界面插值函數(shù)就僅僅是??C的函數(shù)了，即??f=f(??C)，見圖2．

圖1:常規(guī)定義

圖2:規(guī)正變量定義

2.2 二階精度格式的推導(dǎo)

一維非穩(wěn)態(tài)對流方程的通用形式為

其中ρ表示流體密度，?表示任意場變量，u表示?在x方向的流動(dòng)速度．

以圖3所示一維均勻網(wǎng)格為例，設(shè)速度u>0，變量?在e、w界面的值按照如下形式插值[1]

圖3:一維均勻網(wǎng)格示意圖

為了分析對流項(xiàng)的精度及確定格式定義表達(dá)式(3)中的系數(shù)ai?1,ai,ai+1的值，我們采用文獻(xiàn)[2,3]中Leonard所用的Taylor級數(shù)展開法，即

從式(4)可獲得求解二階精度差分格式的限制性條件

求解方程組(5)，并用點(diǎn)ai的值表示點(diǎn)ai?1和點(diǎn)ai+1，可得

因此，滿足(7)式的ai取不同的值就形成了不同的二階差分格式．

根據(jù)式(1)，式(7)可整理為

由此得出結(jié)論：無論ai取任何值(ai?=)，二階精度的差分格式的特征線必然要經(jīng)過點(diǎn)(0.5,0.75)．Leonard指出特征線通過點(diǎn)(0.5,0.75)的格式都具有至少二階的精度[1,3]．

利用文獻(xiàn)[4,5]的分析方法可得用規(guī)正變量定義的二階精度絕對穩(wěn)定格式的表達(dá)式

為了進(jìn)一步改進(jìn)組合格式，1988年，Gaskell與Lau[6]提出了一種對流項(xiàng)差分格式有界性準(zhǔn)則(GL-CBC,convective boundedness criterion)，文獻(xiàn)[7]認(rèn)為GL-CBC僅僅是一個(gè)充分條件，并提出了拓寬的對流有界性準(zhǔn)則(ECBC,extended convective boundedness criterion)．通過仔細(xì)研究GL-CBC和ECBC，計(jì)算發(fā)現(xiàn)某些滿足上述兩個(gè)準(zhǔn)則的格式計(jì)算精度低，根據(jù)文獻(xiàn)[1]提到的新通用對流有界性準(zhǔn)則(GCBC,generalized convective boundedness criterion)，GL-CBC和ECBC是這一判據(jù)的兩種極限情況．

文獻(xiàn)[1]指出，在NVD中構(gòu)建有界且精確的合理插值方法應(yīng)該滿足以下條件：

(a)GL-CBC準(zhǔn)則；

(b) 在NVD區(qū)域特征線應(yīng)該通過(0.5,0.75)；

(c) 下式變量參數(shù)的最大絕對值須在[?0.125,0.375]范圍內(nèi)，以滿足插值的合理性：

上述三個(gè)條件被稱為BAIR(boundedness accuracy and interpolative reasonableness)．在圖4中虛線區(qū)域加上區(qū)域外兩段一階迎風(fēng)線(??C<0和??C>1)表示BAIR區(qū)域．在此區(qū)域內(nèi)格式有界，至少具有二階精度且具有插值合理性．在NVD上，BAIR包括三個(gè)必經(jīng)點(diǎn)O(0,0),Q(0.5,0.75),P(1,1)這也是所有高階組合格式應(yīng)通過的點(diǎn)．

圖4:BAIR區(qū)域

3 高分辨率組合格式的構(gòu)造

依據(jù)規(guī)正變量定義得出的高分辨率組合格式可以寫成以下的通用形式

其中mC與kC在的某一取值范圍內(nèi)均為常數(shù)．

根據(jù)式(1)，式(9)可寫為

由此可以得出

則方程(12)的迭代矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，此時(shí)TDMA算法迭代過程是收斂的[10-12]．

綜上可得結(jié)論，在NVD中構(gòu)建有界且計(jì)算過程迭代收斂的差分格式應(yīng)該滿足以下條件：

(a) 高分辨率格式是在BAIR區(qū)域構(gòu)造的；

(b) 格式的參數(shù)滿足ki<3mi+?1．

基于以上理論分析，本文提出了修正高分辨率組合格式(即Mnew格式)．由于特征線靠近一階迎風(fēng)時(shí)，格式具有較高的擴(kuò)散，因此可以選擇遠(yuǎn)離一階迎風(fēng)的特征線減小擴(kuò)散．下面列出新格式與已有格式的表達(dá)式：

Mnew格式：

根據(jù)式(10),(14)和(15)可得β<+．在新格式中參數(shù)β不再是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，定義為β=0.45+．因此，參數(shù)β可根據(jù)網(wǎng)格比r的分布自適應(yīng)的得到．?dāng)?shù)值算例表明，新格式總偏差量較小且具有高分辨率的特性．

根據(jù)式(10)和式(15)可得Mnew格式一般表達(dá)式

4 數(shù)值算例

為了比較不同格式的精度，定義下列偏差量

算例中對流項(xiàng)離散分別為FUD格式、QUICK格式、MINMOD格式、HOAB格式和Mnew格式，模擬時(shí)間t=1空間網(wǎng)格步長和時(shí)間步長分別取為h=0.065,τ=0.01．

算例1 考慮初值問題

其中

計(jì)算結(jié)果如圖5所示，偏差量如表1所示．

表1:對流問題不同格式偏差量的分布

算例2 考慮對流擴(kuò)散問題

計(jì)算結(jié)果如圖6所示，偏差量如表2所示．

圖5:對流問題數(shù)值模擬結(jié)果的比較

圖6:對流擴(kuò)散問題數(shù)值模擬結(jié)果的比較

表2:對流擴(kuò)散問題不同格式偏差量的分布

對于純對流問題從圖5的計(jì)算結(jié)果可以看出：QUICK格式發(fā)生了越界現(xiàn)象；FUD格式的數(shù)值耗散現(xiàn)象比較嚴(yán)重，格式分辨率較低．對于對流擴(kuò)散問題從圖6的計(jì)算結(jié)果可以看出：FUD格式發(fā)生了越界現(xiàn)象；QUICK格式分辨率較低．Mnew格式的數(shù)值耗散低于HOAB格式，HOAB格式低于MINMOD格式．總之，Mnew格式具有高分辨率的特性，能夠敏銳捕捉到大梯度變化的流動(dòng)現(xiàn)象，數(shù)值結(jié)果穩(wěn)定性好．

從表1與表2的計(jì)算結(jié)果可得出結(jié)論：與經(jīng)典格式相比Mew格式的總偏差量最小，在相同條件下新格式逼近解析解的效果優(yōu)于其他格式．

因此，在BAIR區(qū)域基于收斂性理論構(gòu)造的新格式具有一定的實(shí)際參考價(jià)值．

5 結(jié)論

本文在已有高分辨率組合格式的基礎(chǔ)上，根據(jù)Leonard規(guī)正變量定義，構(gòu)造了對流項(xiàng)離散格式的修正高分辨率組合格式．通過算例比較分析了FUD格式、QUICK格式、MINMOD格式、HOAB格式和Mnew格式，數(shù)值模擬結(jié)果表明與經(jīng)典格式相比Mnew格式具有高分辨率的特性，總偏差量較小，能很好的模擬場變量的大梯度變化，計(jì)算結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)格式．

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Received:07 Apr 2015. A ccep ted:01 Dec 2015.

Found ation item:The National Natural Science Foundation of China(11361002);the Ningxia Water Resources Project([2015]50-18);the Graduate Student Innovation Projects of Beifang University of Nationalities(YCX1555);the Graduate Student Innovation Projects of School of Mathematics and Information Science of Beifang University of Nationalities.

?Cor r esp ond ing author:C.Li.E-mail address:cglizd@hotmail.com