三維非線性彈性殼體的維數(shù)分裂法?

章 胤, 李開泰

(1-西安交通大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，西安 710049;2-燕山大學理學院，秦皇島 066004)

1 引言

彈性殼體和板的理論是彈性理論中最重要的課題之一，也是現(xiàn)代工程中最重要的課題之一．例如，它出現(xiàn)在火箭、導彈、航空航天飛行器、汽車、高速火車、輪船和艦艇等等裝備中．關于線性和非線性彈性殼體的漸近分析和維數(shù)分裂方法以及連續(xù)介質(zhì)力學的維數(shù)分裂方法可見李開泰和黃艾香的著作以及他們相關的文獻[1–6]中．在Love的原創(chuàng)性的工作以后，蘇聯(lián)學者們也做了大量的經(jīng)典工作，如Vlasov[7]，Norovich[8]等．殼體理論的近代發(fā)展，表現(xiàn)在Koiter[9,10]，Naghdi[11,12]中．關于非線性彈性力學的數(shù)學理論，如數(shù)學描述和解的存在性證明，可參見Ball[13]，Marsden和Hughes[14]，Ciarlet[15,16]等經(jīng)典著作．關于線性彈性殼體的漸近分析的經(jīng)典著作是Ciarlet[17]和他的學生的合作研究文獻．

經(jīng)典的線性殼體的漸近分析方法是，用一個2D-3C(二維三個分量)變分問題來逼近三維線性殼體問題

其中2ε是殼體的厚度，ζ=(ζi,i=1,2,3)為定義在殼體中性面?上的二維向量，LM定義在二維流形上的膜算子，LB定義在二維流形上的彎曲算子，L(η)定義在二維流形上的外力算子，中性面?附近的位移向量u(x1,x2,x3)用下列向量來逼近

其中x=(x1,x2),x3= ξε,T1,T2為兩個光滑函數(shù)．例如Koiter[9]、Na-ghdi[11]、Ciarlet[17]和李開泰[4]等都有這方面的工作．

本文給出了一個建立在半測地坐標系下的非線性彈性殼體的維數(shù)分裂方法，它把一個非線性彈性算子分裂為一個稱為膜彈性算子和彎曲彈性算子之和．假設非線性彈性殼體的解可以展開為關于貫裁變量的Taylor級數(shù)，那么本文給出關于首項的一個2D-3C非線性偏微分方程，證明其解的存在性，同時給出了兩個關于一階項和二階項對于首項的函數(shù)，從而無需求解偏微分方程即可得到一階項和二階項．本文安排如下，第2節(jié)給出三維彈性材料的本構方程和S-坐標系，第3節(jié)給出維數(shù)分裂方法，第4節(jié)給出非線性彈性力學變分問題，在S-坐標系系下，一階和二階逼近模型，近似解的存在性．

2 三維彈性材料的本構方程和S-坐標系

彈性體中因反抗變形而產(chǎn)生的內(nèi)力，用應力張量來描述．在流體運動過中，由于全壓力和內(nèi)摩擦也會產(chǎn)生一種內(nèi)力，同樣可用二階應力張量來描述它，稱為Cauchy應力張量，而彈性體在外力作用下發(fā)生變形，可用變形張量E來描述，Green-St.Venant應變張量E是位移向量u的函數(shù)．應力和應變是在外部原因的作用下介質(zhì)內(nèi)部發(fā)生的現(xiàn)象，他們之間存在相互依存關系．可以認為Cauchy應力是變形梯度張量的函數(shù)τ(φ(x))=Υ(x,?φ(x))，稱為Cauchy應力的響應函數(shù)，使得Cauchy應力在材料物體所占據(jù)的變形后的構形里的任一點φ(x)=x+u(x)是由它所表達的函數(shù)，那么稱這樣的材料為彈性材料．如果Υ不明顯依賴于x，那么稱這樣的彈性體為齊次的，否則稱為非齊次的．以下假定彈性材料是齊次，故有材料的本構方程

應力的響應函數(shù)是由彈性材料的性質(zhì)決定的．如果f為單位質(zhì)量彈性體所受的外力，ρ為彈性體的密度，那么動力學的守恒方程

記Mn=所有n階方陣的集合，={q|q∈M3,det(q)>0}，={所有n階正定對稱矩陣的集合}．Υ能夠作為響應函數(shù)，必須滿足所謂客觀性假設，即對任何正交矩陣Q∈Ξ3和任何三階方陣S∈，當且僅當成立Υ(QS)=QΥ(S)QT．一種彈性材料是各向同性的，如果對任何Q∈Ξ，響應函數(shù)滿足Υ(SQ)=Υ(S),?S∈．我們有下列關于應力和應變之間的關系的本構方程的定理：

定理1[14]對于各向同性的齊次的彈性材料，那么Cauchy應力的響應函數(shù)為

特別，當參考構形為自然狀態(tài)Υ(I)=0時，則對在參考構形附近的變形，如果函數(shù)γi,i=0,1,2，在單位矩陣的主值iI=(3,3,1)處是可微的，那么本構方程可以表示為

其中A是四階彈性系數(shù)張量．E為Green-St.Venan二階變形張量，o(|E|)表示|E|的高階項，而B,C為左Cauchy-Green應變張量和右Cauchy-Green應變張量，βi和γi,i=0,1,2，分別為對稱張量B和C的三個主不變量IB和IC的標量函數(shù)．I為二階單位張量，如果在(3)中忽略掉E的高階項，滿足這樣本構關系的彈性材料，稱為St.Venant-Kirchhoff彈性材料．它的本構方程(3)變?yōu)?/p>

這個關系乃滿足客觀性假設．

St.Venant-Kirchhoff彈性材料它是一種最簡單的非線性彈性材料．如果它又滿足各向同性性質(zhì)和齊次性，那么存在常數(shù)λ>0,μ>0，稱為Lam′e常數(shù)，它們與Poisson比ν和Young氏模量E有如下關系

使得四階彈性系數(shù)張量A的協(xié)變分量和逆變分量分別可以表示為

在以上的討論中，所有的物理量表達的物理關系式，只有在引用坐標系之后，才能表達成數(shù)學的、可以計算的形式．設???3中一個連通域，一個彈性體所占有的空間，{xi,i=1,2,3}是?3中的一個曲線坐標系，而(gij,gij)為它的度量張量的協(xié)變分量和逆變分量，gijgjk=，對應的行列式g=det gij>0,ei,ei,i=1,2,3，分別為這個坐標系的協(xié)變基向量和共軛基向量，u(x)為在x點的位移向量u=uiei=uiei，ui,ui分別是位移向量在坐標系{xi}下的協(xié)變分量和逆變分量，并且ui=gijuj,ui=gijuj，通過指標上升和下降實現(xiàn)分量的轉(zhuǎn)換．循環(huán)張量定義為

Gr(u)=?u稱為位移梯度張量，且位移的梯度張量Gr(u)=(?iuj)可分解為一個二階對稱張量和一個二階反對稱張量之和

這里對稱張量eij(u)是物體純變形的度量，稱它為應變張量．反對稱張量cij(u)是描述物體轉(zhuǎn)動，對應于一個位移向量的旋度．

對有限變形，我們可以這樣來考慮．設在M點處，變形前有一個無限小向量d r0，變形后的相應向量為d r=r0+d u0，相應的弧長為

顯然Eim(u)是對稱的，且它是一個二階協(xié)變張量，稱它為Green-St.Venant應變張量．它是兩部分之和，第一部分是線性部分，稱它為關于位移向量u的應變張量，它也是對稱的二階張量．Green-St.Venant應變張量是由應變張量加上一個非線性項(u的二次齊次項)而得．

對于殼體，更為方便，取半測地坐標系．設??E3是一張光滑的二維曲面．令ω?R2是一個區(qū)域，:→E3的光滑內(nèi)射，?是?θ的映像．三維彈性殼體?E3是由所有與?距離小于或等于ε的點組成的，2ε>0為殼體的厚度．令n記沿?上連續(xù)變化的單位法向量，?ε:=ω×(?ε,ε)．那么三維殼體是映射:→E3的映像

其中x=(xα,α=1,2)通常稱為?上的Gauss坐標系，而(x,ξ)稱為建立在?上的半測地坐標系(Semi-geodesic coordinate system，如果E3是Riemann空間，那么?是二維流形)簡記為S-坐標系．

往后，Latin指標和上、下標：(i,j,k,···)取值{1,2,3}，而Greek指標和上、下標：(α,β,γ,···)取值{1,2}．另外，Einstein’s求和約定：上下指標相同表示求和．曲面?的度量張量的協(xié)變分量和逆變分量aαβ=,aαβaβλ=，其中=，而第二和第三基本型張量的協(xié)變分量

相應的逆變分量bαβ,cαβ和逆矩陣?bαβ,b cαβ為

在S-坐標系下，三維歐氏空間的度量張量可以表示為貫截變量ξ的多項式，其系數(shù)是曲面?度量張量，第一、第二基本型張量的函數(shù)

特別地，對gαβ做關于ξ的Taylor展開

空間E3和曲面?的協(xié)變導數(shù)

3 三維非線性彈性殼體的維數(shù)分裂方法

我們知道三維非線性彈性殼體的邊值問題是求u=(ui):?→?3，使其滿足

其中，應力張量σij，第二Piola-Kirchhoff應力張量Σij和第一Piola-Kirchhoff應力張量u)由下面給出

因為σij和Σij可以展成Taylor級數(shù)，則eΣ(u)也允許展成關于貫截變量ξ的如下形式

定理2 由(27)所定義的非線性彈性算子可以展成關于貫截變量ξ的級數(shù)

4 相應的變分問題

假設非線性彈性材料是St.Venant-Kirchhoff材料，則其位移向量場u應滿足下列極小值問題

其中目標泛函

同時，(u)∈ L(W1,4(?);L2(?))是映射Eij:W1,4(?)→ L2(?)在任意點u ∈ W1,4(?)的Frechet導數(shù)．從而一個位移u∈W(?)是能量泛函J的駐點(臨界點)，即u滿足J′(u)=0，如果僅僅求u∈W(?),?v∈W(?)，使得

其中Eij,Fij是貫截變量ξ的二次多項式

引理2 在S-坐標系下，假設極值問題(36)的解u可以有Taylor展式

下面我們分別研究變分問題的一階截斷的變分問題P1(ω)：設

4.1 變分問題P1(ω)

這里lαβ,lα由(26)所定義．

定理3 假設變分問題(38)的解u，作用在殼體的體積力和面力G允許有關于貫截變量ξ的Taylor展式．設u0,u1是一階裁斷變分問題(46)的解，那么：

(I) u0是下列變分問題的解，求(u0)∈W(ω),?v∈V(ω)，使得

(III) u0也是下列邊值問題的解

其中中性面上切空間的應力張量和張量分別為

這就是(54)．由(56)所定義的泛函J是光滑的，并且從(37)可知它的梯度方程是(57)，它的解是相應J的極小值問題的臨界點．極小問題解的存在性后面證明．

下面我們證明，如果u0是變分問題(54)的解，并且足夠光滑，那么它也一定滿足邊值問題(58)．實際上，由(55)，可得

從而可以得到下列對應的邊值問題

這就得到(56)，下面我們可以將(56)分離出線性部分．注意到

下面我們計算導數(shù)

應用求導順序?qū)φ{(diào)的Ricci公式和Riemann曲率張量性質(zhì)得因為Riemann曲率張量性質(zhì)和二為流形上Ricci張量與度量張量的關系Rσλσν=Rλν=K aλν，從而有

將以上結果代入(66)，得到有顯示線性算子的方程

由于檢驗函數(shù),的任意性和相互獨立性，由上式可得到一組三個變量uα1,u31三次多項式方程組Xi(u0,u1)=0,i=1,2,3．根據(jù)Bezout定理，它至少有一組根．從而得到函數(shù)關系u1= Π(u0)．

4.2 解的存在性

引理4 由(56)所定義的泛函J(u)在V(ω)上是強制的

這就導致矛盾，從而證明了(71)．

定理5 假設殼體中性面足夠光滑，并使得aαβ,bαβ∈C2(ω)，那么極小值問題

其中K0(u0,v0)由(56)定義．

證明 由文獻[15]知，假設X是一個自反的Banach空間，K是X中一個非空弱閉子集，那么如果定義在K上一個泛函f(u)是弱下半連續(xù)：

如果K=X，并且f(u)∈C1，那么f′(u0)=0,c=f(u0)是f(u)的一個臨界值，f?1(c)中的任一個元素是f(u)的一個臨界點．

由引理4，我們只要證明由(56)定義的泛函是弱下半連續(xù)就夠．為此設序列在V中弱收斂于u0∈V:un∈V,un?u0∈V，那么有下面我們證明右邊第二式的極限是零，那么就得到(73)．

利用(37)和(39)，以及aαβλσ關于指標的對稱性可得應用Green公式和邊界條件，并注意度量張量的協(xié)變導數(shù)為零，則有

由于假設殼體中性面足夠光滑，使得

因為在有界域ω上，H1(ω)y Lk(ω),k≤ 4，是緊嵌入，所以在V(ω)的弱收斂序列un在Lk(ω)中強收斂

由以上討論和C∞(ω)在V(ω)中稠密，并令m→∞，我們得到

聯(lián)合(63)和(74)，定理得證．

5 變分問題P2(ω)

命題3 存在映射Π:V(ω)→L2(ω)，使得(u1,u2)=(Π1u0,Π2u0)，它是下列非線性方程組的解

由于篇幅所限，以上命題的證明從略．

參考文獻：

[1]李開泰，黃艾香，黃慶懷.有限元方法及其應用[M].北京：科學出版社，2006 Li K T,Huang A X,Huang Q H.Finite Element Method and its Applications[M].Beijing:Science Press,2006

[2]Li K T,Huang A X,Huang Q H.Finite Element Method and its Applications[M].Beijing:Science Press,2015

[3]李開泰，黃艾香.張量分析極其應用[M].北京：科學出版社，2004 Li K T,Huang A X.Tensor Analysis and its Applications[M].Beijing:Science Press,2004

[4]Li K T,Zhang W L,Huang A X.An asymptotic analysis method for the linearly shell theory[J].Science in China Series A:Mathematics,2006,49(8):1009-1047

[5]Li K T,Shen X Q.A dimensional splitting method for the linearly elastic shell[J].International Journal of Computer Mathematics,2007,84(6):807-824

[6]Shen X Q,Li K T,Ming Y.Asymptotic expansions of stress tensor for linearly elastic shell[J].Applied Mathematical Modelling,2013,37(16-17):7964-7972

[7]Vlasov V Z.The basic diff eretial equations in the general theory of elastic shell[J].Mathematical Mechanics,1944,8:109-140

[8]Vorovich I I.Nonlinear Theory of Shallow Shell[M].Heidelberg:Springer-Verlage,1989

[9]Koiter W T.A consistent fi rst approximation in the general theory of thin elastic shells[C]//IUTAM Symposium on the Theory of Thin Elastic Shells,Delft,1959:12-33

[10]Koiter W T.On the foundations of the linear theory of thin elastic shells,I,II[C]//Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Series B-Physical Sciences,1970,73(3):169-195

[11]Naghdi P M.Foundations of elastic shell theory[C]//Progress in Solid Mechanics,North-Holland,Amsterdam,1963,4:1-90

[12]Naghdi P M.The theory of shells and plates[C]//Handbuch der Physik,Springer-Verlag,Berlin,1972,2:425-640

[13]Ball J.Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity[J].Archi for Rational Mechanics and Analysis,1977,63:337-403

[14]Marsden J E,Hughes Thomas J R.Mathematical Foundations of Elasticity[M].New York:DOVER Pulications,1993

[15]Ciarlet P G.Mathematical Elasticity,Volume III:Theory of Shells[M].Amsterdam:North-Holland Publishing Company,2000

[16]Ciarlet P G.Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications[J].Philadelphia:SIAM,2013

[17]Ciarlet P G.Mathematical Elasticity,Volume I:Three Dimensional Elasticity[M].Amsterdam:North-Holland Publishing Company,1988