基于銘牌數(shù)據(jù)和序列二次規(guī)劃算法的感應(yīng)電動機模型參數(shù)辨識

毛曉明，廖衛(wèi)平

（廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引言

隨著“西電東送”戰(zhàn)略的實施和深化，我國逐步形成了京、滬、穗等多個大型受端系統(tǒng)。受端系統(tǒng)區(qū)外供電比例大，空調(diào)等恒功率性質(zhì)負荷比例高，使得電壓穩(wěn)定性問題日益突出［1-2］。

電壓穩(wěn)定性問題本質(zhì)上是一個動態(tài)問題，系統(tǒng)中諸多動態(tài)因素均起著重要的作用。其中，負荷特性有著顯著的影響［3］，負荷模型及參數(shù)的準確性已成為制約電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性分析精度的關(guān)鍵［4］。

感應(yīng)電動機在電力系統(tǒng)負荷中占有較大比重。在不少電力系統(tǒng)計算分析軟件包中，綜合負荷均采用感應(yīng)電動機和靜態(tài)負荷并聯(lián)的模型。基于實驗實測獲取感應(yīng)電動機的模型參數(shù)最為準確，但電力系統(tǒng)中電動機負荷的種類、數(shù)量非常多，實測法在應(yīng)用中受到限制［5］。根據(jù)電動機的銘牌數(shù)據(jù)，如額定功率、額定功率因數(shù)、最大電磁轉(zhuǎn)矩等，估算用于電力系統(tǒng)分析計算用電動機模型參數(shù)，是一種很有應(yīng)用前景的方法［5-11］。

電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)分析軟件ATP／EMTP和PSCAD／EMTDC采用文獻［6］所提出的方法計算感應(yīng)電動機雙籠模型參數(shù)，但該方法并沒有使用電動機最大電磁轉(zhuǎn)矩倍數(shù)這一表述電動機過載性能指標的重要參數(shù)。文獻［5］計及最大電磁轉(zhuǎn)矩倍數(shù)，采用迭代方法求解電動機單籠模型參數(shù)，計算時近似認為定子電抗Xs等于轉(zhuǎn)子電抗Xr。同樣假定Xs=Xr，文獻［7-9］建立了電動機重要性能指標與銘牌值偏差最小為目標的優(yōu)化辨識模型，但根據(jù)辨識參數(shù)計算得到的性能指標并不理想。文獻［10-11］考慮了最大電磁轉(zhuǎn)矩、起動轉(zhuǎn)矩和起動電流，采用牛頓-拉夫遜法求解非線性方程組計算得到電動機雙籠模型參數(shù)，計算時認為定子電阻Rs、電抗Xs與轉(zhuǎn)子內(nèi)籠參數(shù)Rr1、Xr1成比例，得到的電機參數(shù)也不理想?？梢姡绾胃鶕?jù)銘牌數(shù)據(jù)準確地計算電動機模型參數(shù)的問題至今并沒有得到很好的解決。

本文在分析電動機銘牌數(shù)據(jù)計算原理的基礎(chǔ)上，建立了電動機模型參數(shù)優(yōu)化辨識的新模型。采用序列二次規(guī)劃SQP（Sequential Quadratic Programming）算法對模型進行求解，得到電動機單籠和雙籠模型參數(shù)。以多臺電動機模型參數(shù)的計算為例，驗證了模型和算法的科學(xué)性。

1 感應(yīng)電動機模型及銘牌數(shù)據(jù)

一般而言，繞線式和單籠式電動機采用圖1（a）所示單籠模型，深槽式和雙籠式電動機采用圖1（b）所示雙籠模型。為準確模擬起動特性，宜采用雙籠模型取代單籠模型［5］。

圖1 感應(yīng)電動機單籠和雙籠模型穩(wěn)態(tài)等值電路Fig.1 Steady-state equivalent circuits of single-cage and double-cage induction motor models

圖1中，Us為感應(yīng)電動機機端電壓；s為滑差；Rs和Xs分別為定子電阻和電抗；Xm為激磁電抗；Rr和Xr分別為單籠模型轉(zhuǎn)子電阻和電抗；Rr1和Xr1分別為雙籠模型內(nèi)籠電阻和電抗；Rr2和Xr2分別為雙籠模型外籠電阻和電抗。 一般而言，Rr1＜Rr2，Xr1＞Xr2。起動時，轉(zhuǎn)子電流頻率較高，內(nèi)籠電流小，功率因數(shù)低，產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩也較小，外籠起主要作用；正常運行時，轉(zhuǎn)子電流頻率降低，內(nèi)籠電流較大，內(nèi)籠起主要作用。因而雙籠模型可以較為準確地模擬電動機的起動特性［12］。

感應(yīng)電動機銘牌數(shù)據(jù)一般包括：額定機械功率Pn（kW），額定電壓 Un（kV），額定電流 In（A），額定轉(zhuǎn)速 nn（r／min），額定效率 ηn（%），額定功率因數(shù) cos θn，最大轉(zhuǎn)矩倍數(shù) Km（Km=Tem／Tn，Tem為最大或臨界電磁轉(zhuǎn)矩，Tn為額定轉(zhuǎn)矩），堵轉(zhuǎn)或起動轉(zhuǎn)矩倍數(shù)Kst（Kst=Tst／Tn，Tst為起動轉(zhuǎn)矩）和堵轉(zhuǎn)或起動電流倍數(shù)KIst（KIst=Ist／In，Ist為起動電流）。 如果知道 Un、nn及模型參數(shù)，其他銘牌指標均可通過等值電路求得。

2 單籠模型參數(shù)辨識

圖1（a）所示感應(yīng)電動機單籠模型等值電路中忽略了鐵芯損耗，模型中有 Rs、Xs、Xm、Rr、Xr共 5 個待辨識參數(shù)。銘牌數(shù)據(jù)中Kst和KIst用于反映感應(yīng)電動機的起動特性，不適用于電動機單籠模型參數(shù)的辨識。感應(yīng)電動機的有功輸入一部分消耗在定子電阻Rs上，剩余大部分電功率通過氣隙磁場傳遞給轉(zhuǎn)子，稱為電磁功率Pen。Pen一部分消耗在轉(zhuǎn)子電阻上，如忽略雜耗其余部分為機械輸出功率Pn。因此，可按文獻［5］的方法先計算出Rs。

電動機銘牌數(shù)據(jù)中，Un、nn為基本參數(shù)。輸入功率P1和Q1取決于定子電流和功率因數(shù)，Km則是表征電動機過載能力的重要性能指標［12］。因此，本文在辨識中，將定子電流、輸入無功功率和最大電磁轉(zhuǎn)矩等于相應(yīng)的銘牌值作為等式約束條件，將計算效率與銘牌值的相對偏差最小作為目標函數(shù)。再考慮到電動機參數(shù)都為正實數(shù)，形成辨識電動機單籠模型參數(shù) X= ［Xs，Xm，Xr，Rr］的數(shù)學(xué)模型如式（1）和式（2）所示。

其中，ηn、In、Q1、Tem根據(jù)銘牌數(shù)據(jù)易知；η（sn）、Is（sn）、Q1（sn）、Te（sm）則可根據(jù)辨識得到的等值電路參數(shù)計算得到，方法如下。

計算電動機額定滑差sn、額定轉(zhuǎn)矩Tn、最大電磁轉(zhuǎn)矩 Tem如式（3）所示。

其中，n1為同步轉(zhuǎn)速（r／min）；Ωs為同步機械角速度（rad／s）。

將感應(yīng)電動機單籠模型的定子阻抗和激磁電抗部分進行戴維南等值，等值阻抗為：

根據(jù)戴維南等值電路，計算臨界轉(zhuǎn)差率sm：

從感應(yīng)電動機定子側(cè)看進去的等值阻抗Zm（s）為：

其中，Zr（s）=Rr／s+jXr為感應(yīng)電動機轉(zhuǎn)子阻抗。定子電流 Is（s）和轉(zhuǎn)子電流 Ir（s）為：

根據(jù)電動機單籠模型計算得到有功輸入功率P1（s）、無功輸入功率 Q1（s）和機械輸出功率 Pn（s）為：

電磁轉(zhuǎn)矩 Te（s）為：

將式（3）計算得到的額定滑差 sn代入式（7）、式（9），得到對應(yīng)于 sn的定子電流、輸入無功功率 Q1（sn）和輸出機械功率Pn（sn）。將式（5）計算得到的臨界滑差sm代入式（8）得到最大電磁轉(zhuǎn)矩 Te（sm）。 電動機效率η（sn）=Pn（sn） ／P1（sn）。

3 雙籠模型參數(shù)辨識

圖1（b）感應(yīng)電動機雙籠模型中共有7個待辨識參數(shù)。如果采用求解方程組的方法，需要列寫出5個獨立的方程，并且需要人工增加2個近似方程［10-11］，采用數(shù)學(xué)優(yōu)化算法更具優(yōu)勢。

根據(jù)上節(jié)的分析，仍將模型計算得到的定子電流 Is（sn）、無功功率 Q1（sn）和最大電磁轉(zhuǎn)矩 Te（sm）等于相應(yīng)的銘牌值作為等式約束條件。為了準確模擬起動特性，本文增加計算起動轉(zhuǎn)矩、起動電流等于銘牌值2個等式約束條件。同樣地，仍將模型計算效率與銘牌值的相對偏差最小作為目標函數(shù)。再考慮到雙籠模型中外籠電阻大于內(nèi)籠電阻、內(nèi)籠電抗大于外籠電抗［12］，且待辨識的參數(shù)都必須是正實數(shù)，建立辨識電動機雙籠模型參數(shù) X= ［Xs，Xm，Rr1，Xr1，Rr2，Xr2］的數(shù)學(xué)模型如式（10）和式（11）所示。

其中，ηn、In、Q1、Tem、Tst、Ist根據(jù)銘牌數(shù)據(jù)易知；η（sn）、Is（sn）、Q1（sn）、Te（sm）、Tst（1）、Ist（1）則可根據(jù)等值電路計算得到，方法如下。

用式（3）計算電動機額定滑差sn、額定轉(zhuǎn)矩Tn、最大電磁轉(zhuǎn)矩Tem。

將感應(yīng)電動機雙籠模型中的內(nèi)、外籠阻抗Zr1（s）、Zr2（s）等值為轉(zhuǎn)子阻抗 Zr（s）：

然后，將感應(yīng)電動機雙籠模型的定子阻抗和勵磁電抗進行戴維南等值，等值阻抗計算式仍為式（4），雙籠模型臨界轉(zhuǎn)差的計算式仍為式（5）。從雙籠模型等值電路定子側(cè)看進去的等值阻抗Zm（s）仍為式（6），定子電流 Is（s）和轉(zhuǎn)子電流 Ir（s）的計算式仍為式（7）。

內(nèi)籠轉(zhuǎn)子電流 Ir1（s）和外籠轉(zhuǎn)子電流 Ir2（s）的計算式為：

電磁轉(zhuǎn)矩 Te（s）的計算式為：

將式（3）計算的額定滑差 sn代入式（7）和式（9），得到對應(yīng)于sn的定子電流、輸入無功功率Q1（sn）和輸出機械功率Pn（sn）。將臨界滑差sm和s=1代入式（15），得到最大電磁轉(zhuǎn)矩 Te（sm）和起動轉(zhuǎn)矩 Tst（1）。將 s=1代入式（7）的第 1式，得到起動電流 Ist（1）。

4 SQP算法的基本原理

SQP算法由于其強大的非線性處理能力和良好的數(shù)值穩(wěn)定性，在求解非線性優(yōu)化問題中得到廣泛應(yīng)用［13-14］。其基本思想是在每一迭代步通過求解一個二次規(guī)劃子問題來確定一個下降方向，以減小價值函數(shù)來取得步長，反復(fù)迭代直到求得原問題的解。

SQP算法求解非線性約束優(yōu)化問題的一般數(shù)學(xué)模型為［14］：

其中，x∈Rn為決策變量，n 決策變量個數(shù)；f（x）為目標函數(shù)；hi（x）和gi（x）分別為等式和不等式約束函數(shù)；l和m分別為等式和不等式約束個數(shù)。

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

其中，μ和λ分別為等式和不等式約束的拉格朗日乘子向量。 在給定點（xk，μk，λk）后，將約束函數(shù)線性化，并對拉格朗日函數(shù)進行二次多項式近似，得到下列形式的二次規(guī)劃子問題［14］：

其中，Wk=W（xk，μk，λk）=▽2xxL（xk，μk，λk）；▽f（xk）為 f（xk）在 xk處的梯度；▽hi（xk）和▽gi（xk）分別為 hi（xk）和gi（xk）在 xk處的梯度。 式（18）的最優(yōu)解 d*可作為原問題的變量x在第k次迭代過程中的搜索方向。

拉格朗日函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的真實Hessian陣Wk為：

由于Wk的計算十分繁瑣，數(shù)學(xué)家提出了利用對稱正定矩陣Bk替代Wk的SQP法，Bk的選取方法可參考文獻［14］。

為保證求解結(jié)果的全局收斂性，SQP算法還借助某價值函數(shù)來確定沿著搜索方向dk進行搜索的步長 αk［14］。 得到搜索步長后，SQP 算法通過式（20）得到下一個迭代點xk+1。

拉格朗日乘子更新如式（21）所示，SQP算法求解約束優(yōu)化問題的流程如圖2所示。

辨識電動機單籠模型參數(shù) X=［Xs，Xm，Rr，Xr］時，變量 X 初始值如式（22）所示［10］。

圖2 SQP算法流程圖Fig.2 Flowchart of SQP algorithm

辨識電動機雙籠模型參數(shù) X= ［Xs，Xm，Rr1，Xr1，Rr2，Xr2］時，Rr1、Xm、Xs、Xr的初值同單籠模型的 Rr、Xm、Xs、Xr；Rr2、Xr1、Xr2的初始值如式（23）所示［10］。

辨識得到電動機模型參數(shù)后，以額定電壓Un和額定機械功率Pn為基準值，將參數(shù)有名值歸算為標幺值。 根據(jù)式（24）計算電動機慣性時間常數(shù) Tj［12］。

其中，J為電動機的轉(zhuǎn)動慣量。

5 算例

表1給出了6臺感應(yīng)電動機的銘牌數(shù)據(jù)，表中，Ωn、p分別為電動機的額定機械轉(zhuǎn)速與極對數(shù)。采用提出的辨識模型和算法，計算得到各電動機單籠和雙籠模型參數(shù)見表2和表3，表中電阻、電抗均為標幺值，后同。

表1 感應(yīng)電動機出廠銘牌數(shù)據(jù)Table 1 Nameplate data of induction motor

表2 計算得到的感應(yīng)電動機單籠模型參數(shù)Table 2 Calculated parameters of single-cage induction motor model

表3 計算得到的感應(yīng)電動機雙籠模型參數(shù)Table 3 Calculated parameters of double-cage induction motor model

根據(jù)表2和表3辨識得到的模型參數(shù)計算電動機各項性能指標，計算指標與銘牌指標的比較見表4和表5?？梢姡饎訁?shù)外，單籠模型能準確反映電機的工作特性；雙籠模型各項計算數(shù)據(jù)均與銘牌數(shù)據(jù)吻合。

表4 感應(yīng)電動機單籠模型計算數(shù)據(jù)與銘牌數(shù)據(jù)的比較Table 4 Comparison between nameplate data and data calculated by single-cage induction motor model

記本文、文獻［5］和文獻［10］提出的方法分別為法1、法2和法3，以1400 kW和1250 kW電動機為例，3種方法計算得到的單籠模型參數(shù)比較見表6，性能指標比較見表7。法1和法3計算得到的電動機雙籠模型參數(shù)比較見表8，性能指標比較見表9。

表5 感應(yīng)電動機雙籠模型計算數(shù)據(jù)與銘牌數(shù)據(jù)的比較Table 5 Comparison between nameplate data and data calculated by double-cage induction motor model

表6 電動機單籠模型參數(shù)比較Table 6 Comparison of model parameters for single-cage induction motor

表7 電動機單籠模型計算指標與銘牌值的比較Table 7 Comparison between nameplate data and data calculated by single-cage induction motor models

表8 電動機雙籠模型參數(shù)比較Table 8 Comparison of model parameters for double-cage induction motor

表9 電動機雙籠模型計算指標與銘牌值的比較Table 9 Comparison between nameplate data and data calculated by double-cage induction motor models

可見，本文得到的性能指標更接近銘牌數(shù)據(jù)。

6 結(jié)論

a.感應(yīng)電動機模型參數(shù)辨識中，常近似認為定子參數(shù)與轉(zhuǎn)子參數(shù)成比例，這一做法會造成一定的誤差。

b.本文提出基于銘牌數(shù)據(jù)辨識電動機模型參數(shù)的優(yōu)化模型，模型以計算效率偏差最小為目標，以電動機定子電流、輸入無功、最大電磁轉(zhuǎn)矩和起動參數(shù)等于銘牌值為約束條件，采用SQP算法進行求解。所求得的電動機參數(shù)能夠很好地反映電動機的各項性能指標。

c.與其他方法的對比研究表明，本文方法得到的電動機模型參數(shù)能更準確地反映感應(yīng)電動機的工作特性。

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