呼吸性裂紋轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動特性分析

劉　政， 王建軍

(北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京　100191)

?

呼吸性裂紋轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動特性分析

劉政， 王建軍

(北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京100191)

摘要：旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子軸萌生裂紋后，瞬態(tài)加速過程中轉(zhuǎn)渦差角時變使裂紋周期性開合，系統(tǒng)發(fā)生不同于穩(wěn)態(tài)情況的振動。基于中性軸法確定裂紋開合，數(shù)值計(jì)算了呼吸裂紋引起剛度時變的轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動，分析裂紋大小、方向角和重力對線性加速轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動的影響，以及定功率加速瞬態(tài)過程中系統(tǒng)振動響應(yīng)及穩(wěn)定性。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，瞬態(tài)條件下帶呼吸裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞諧波共振并不明顯；裂紋越大，過臨界轉(zhuǎn)速時瞬態(tài)振幅越大；在臨界轉(zhuǎn)速附近裂紋瞬時張開會激起很大的振動；定功率加速過程下，若功率不足以提供轉(zhuǎn)子順利穿過臨界轉(zhuǎn)速，則會出現(xiàn)外界扭矩與瞬態(tài)振動的能量耦合，大裂紋還可能造成瞬態(tài)振動發(fā)展成混沌。

關(guān)鍵詞：中性軸法；呼吸裂紋；臨界轉(zhuǎn)速；單盤轉(zhuǎn)子；瞬態(tài)振動

航空發(fā)動機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械具有極其復(fù)雜的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，工作于高速、高溫、高壓、大功率條件下，因此極容易萌生裂紋，轉(zhuǎn)子渦動使裂紋開合，偏離設(shè)計(jì)狀態(tài)而發(fā)生參數(shù)振動。尤其在啟動和制動穿過一階或多階臨界轉(zhuǎn)速過程中，裂紋轉(zhuǎn)子不僅出現(xiàn)劇烈的大幅值瞬態(tài)振動，而且可能出現(xiàn)轉(zhuǎn)子振動與外界驅(qū)動力矩的能量耦合而無法工作。如果不及時發(fā)現(xiàn)，最終會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的失穩(wěn)斷裂，且造成災(zāi)難性后果。因此，近年來裂紋轉(zhuǎn)子受到學(xué)術(shù)界和工程界的高度重視。

在裂紋轉(zhuǎn)子非線性動力特性研究方面，目前Jeffcott轉(zhuǎn)子依然是研究問題最常用的模型。Patel[1]基于剛性固支Jeffcott轉(zhuǎn)子采用兩種裂紋模型——方波裂紋模型和隨響應(yīng)開閉裂紋模型，對比了不同裂紋下轉(zhuǎn)子的周期參數(shù)振動，認(rèn)為方波裂紋模型存在混沌、擬周期振動和亞諧波共振，而呼吸裂紋不存在上述現(xiàn)象。Untaroiu[2]針對帶橫向裂紋的Jeffcott轉(zhuǎn)子，采用Floquet理論分析了參數(shù)周期時變轉(zhuǎn)子運(yùn)動穩(wěn)定性，指出一階無阻尼臨界轉(zhuǎn)速附近存在不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)。何成兵[3]針對裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子彎扭耦合的非線性振動進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)彎振存在1/3階、 1/2階亞諧共振，扭振存在1/2階亞諧共振。程禮[4]還分析了橫向裂紋對Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的影響。在有關(guān)剛度耦合的呼吸裂紋方面，Saber[5]采用剛度周期變化的非線性彈簧模擬帶呼吸裂紋的軸，分析了裂紋深度、旋轉(zhuǎn)速度對剛度的影響，并采用諧波平衡法研究了轉(zhuǎn)軸非線性動力響應(yīng)。

在裂紋轉(zhuǎn)子線性加速瞬態(tài)振動分析方面，鄒劍等[6]基于簡單鉸鏈裂紋模型，采用余弦正交函數(shù)多項(xiàng)式控制裂紋開閉，數(shù)值計(jì)算得到了有裂紋de Laval轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動響應(yīng)，認(rèn)為裂紋轉(zhuǎn)子存在亞諧共振，且剛度、質(zhì)量偏心及其角度都會影響瞬態(tài)振動。何成兵等[7]采用方波裂紋模型控制裂紋開閉，也出現(xiàn)了亞諧共振現(xiàn)象。但這些裂紋模型不具有半開半閉過渡態(tài)的典型呼吸特征。Darpe[8]采用應(yīng)力強(qiáng)度因子描述了雙向耦合裂紋模型，分析了加速比、深度和阻尼對呼吸裂紋的影響，研究了帶呼吸裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動，然而該方法每一步都需要復(fù)雜的迭代過程。

中性軸法裂紋模型是繼方波裂紋模型、余弦裂紋模型和高-朱裂紋模型[9]之后又一個新模型，王宗勇[10]、林言麗[11]、楊丹等[12]均基于中性軸法研究了裂紋張開與閉合的呼吸過程，對帶該類裂紋轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性、非線性動力學(xué)特性等進(jìn)行研究。① 中性軸法具有明確的物理意義；② 中性軸法可以得出裂紋的解析模型，計(jì)算簡潔快速；③ 中性軸法計(jì)算裂紋轉(zhuǎn)子的規(guī)律和結(jié)論具有一般性，可以作為故障診斷等解決工程問題的參考。

鑒于以上因素，本文著眼于中性軸法確定裂紋開合的方法，數(shù)值計(jì)算了由呼吸裂紋引起剛度耦合的Jeffcott轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動響應(yīng)，分析了裂紋轉(zhuǎn)子線性加速過程以及更符合實(shí)際的定功率加速過程的瞬態(tài)振動特性及其穩(wěn)定性。

1基于剛度耦合裂紋轉(zhuǎn)子的動力學(xué)方程

圖1　呼吸裂紋軸橫截面的幾何示意圖Fig.1 Geometric sketch of cross section of shaft with breathing crack

圖1中共有6個坐標(biāo)系，分別是靜止坐標(biāo)系(慣性參考系)Oxy，平動坐標(biāo)系Ox′y′，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Oξη，既平動又旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系O′ξ′η′，渦動坐標(biāo)系OX′Y′及描述裂紋的幾何坐標(biāo)系O′ξk′ηk′。轉(zhuǎn)子質(zhì)量主軸張成O′ξ′η′，剛度主軸張成O′ξk′ηk′，中性面及其法向張成OX′Y′。本文以Jeffcott轉(zhuǎn)子為研究對象，裂紋位于轉(zhuǎn)軸的正中央，討論的轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程建立于非慣性系Oξη中。以裂紋角α描述裂紋大小，φ、Ψ分別為自轉(zhuǎn)角和渦動角，其差角χ則影響裂紋呼吸特性，進(jìn)而使轉(zhuǎn)子剛度時變。

采用文獻(xiàn)[10]中性軸法描述的帶剛度耦合的呼吸裂紋模型，單盤轉(zhuǎn)子剛度可表示為

[kξ,kη,kξη]T=k[fξ(β),fη(β),fξη(β)]T

(1)

式中：k為無裂紋剛度。裂紋造成轉(zhuǎn)子剛度非對稱，作瞬態(tài)非同步進(jìn)動，彎曲中性面與兩個主剛度方向不重合，因此轉(zhuǎn)子剛度不僅在固定坐標(biāo)系中時變，還在兩個主方向上相互耦合，發(fā)生隨自轉(zhuǎn)角周期變化的參數(shù)振動。

采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系求解剛度耦合的轉(zhuǎn)子動力學(xué)問題時，兩個主剛度方向不隨轉(zhuǎn)速交變，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中為定方向；轉(zhuǎn)渦差角僅為心形旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，而不包含自轉(zhuǎn)角。這極大地簡化了剛度矩陣，而軸的彎曲撓度及盤的偏擺大小為坐標(biāo)不變量，因此旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中計(jì)算的瞬態(tài)振動基本特征完全能反映系統(tǒng)的性質(zhì)。此外，排除了自轉(zhuǎn)的干擾，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中可以獲得清晰的盤心軌跡來分析轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性。在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Oξη中，轉(zhuǎn)渦差角為

(2)

由圖1可知，設(shè)裂紋方向(沿ξk′正向)與質(zhì)量偏心方向(沿ξ′正向)的夾角(即剛度主方向與質(zhì)量主方向的夾角)為靜態(tài)裂紋方向角β0，因此依圖1表示的截面模型，瞬時裂紋方向角為

(3)

在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Oξη中表示系統(tǒng)的動能、勢能及耗散函數(shù)，不考慮內(nèi)阻尼，根據(jù)Lagrange方程，建立對稱放置、軸為剛性扭轉(zhuǎn)的單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Oξη下的動力學(xué)式(4和式(5)，式中m、Jp、e為質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動慣量、偏心距;cr、cφ為位移和自轉(zhuǎn)角阻尼比;L為驅(qū)動力矩;q為靜系Oxy中的外力變換為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Oξη中的廣義力。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

定義無量綱時間τ=ωnt，則d( )/dt=d( )/(ωndτ)，可得帶裂紋剛性支承Jeffcott轉(zhuǎn)子的無量綱動力學(xué)方程式(11)，式(12)，式中L(dφ/dτ)為無量綱軸向扭矩，Q為無量綱廣義力。

(11)

(12)

2線性加速裂紋轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速瞬態(tài)振動

2.1裂紋大小對轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動的影響

當(dāng)β0=0時，裂紋位于質(zhì)量主軸ξ′方向上，剛度主軸與質(zhì)量主軸正好重合。分別對比圖2～圖5中A點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)速值，由此可知，隨著裂紋角的增大，同加速度瞬態(tài)條件下發(fā)生最大振幅的轉(zhuǎn)速點(diǎn)在前移，這表明裂紋角的增大降低了轉(zhuǎn)子同步渦動的有阻尼固有頻率(圖中γ=10-4最大振幅對應(yīng)的轉(zhuǎn)速略大于有阻尼臨界轉(zhuǎn)速)；這主要由于裂紋張開使轉(zhuǎn)子軸的橫截面積減小，裂紋角越大減小的越加明顯，因此造成大裂紋角轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速顯著降低。

圖2　無裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動Fig.2 Transient vibration of Jeffcott rotor without crack

圖3　裂紋角α=π/12轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動Fig.3 Transient vibration of rotor with crack angle of α=π/12

圖4　裂紋角α=π/6轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動Fig.4 Transient vibration of rotor with crack angle of α=π/6

圖5　裂紋角α=π/4轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動Fig.5 Transient vibration of rotor with crack angle of α=π/4

分別對比圖2～圖5中A，B，C或D點(diǎn)的瞬態(tài)振動幅值，經(jīng)分析隨著裂紋角增大。同加速度瞬態(tài)振動的幅值迅速增大，甚至當(dāng)裂紋角α=π/4時小加速度條件下，過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動已經(jīng)完全超出可接受的范圍，若是穩(wěn)態(tài)運(yùn)轉(zhuǎn)在這個轉(zhuǎn)速上，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)際上是不穩(wěn)定的。但是，當(dāng)穿過臨界轉(zhuǎn)速運(yùn)行在超臨界轉(zhuǎn)速階段時，不同加速度的瞬態(tài)振動幅值可以收斂在同一值上。這是由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有自定心性，超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)內(nèi)質(zhì)心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，而形心則與質(zhì)量主軸成-180°的方向上，距離原點(diǎn)一個偏心距。① 對比各圖中不同加速度條件下瞬態(tài)振動的幅值可見，加速度越大，瞬態(tài)振幅越小，尤其對于較大裂紋轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速時，慢加速狀態(tài)已經(jīng)失穩(wěn)(圖 5中γ=10-4無量綱振幅X=1021，認(rèn)為無窮大)，而快加速狀態(tài)還保持相對較小的有限值(圖 5中γ=10-2無量綱振幅X=0.89，與圖2中γ=10-2振幅X=0.45相比增加不大)。這表明，自轉(zhuǎn)角加速度對于轉(zhuǎn)子瞬態(tài)的穩(wěn)定性具有極大的影響，相同結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，小加速度可能存在轉(zhuǎn)速失穩(wěn)區(qū)，大加速度則可以順利通過臨界轉(zhuǎn)速。② 只要過了臨界轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振幅將逐漸穩(wěn)定，而與加速度無關(guān)；但是，收斂速度與形式與加速度有很大關(guān)系，小加速度狀態(tài)幾乎不出現(xiàn)幅值振蕩，而大加速度的瞬態(tài)振幅要多次振蕩才能緩慢收斂。這時轉(zhuǎn)子在固定坐標(biāo)系Oxy下的瞬態(tài)振動由共振激起的按系統(tǒng)固有頻率的自由振動和按當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)速頻率的強(qiáng)迫振動合成，圖2～圖5中表現(xiàn)出的振幅的波動頻率為當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)速頻率與固有頻率之差。

根據(jù)以上結(jié)果可以得出：①裂紋降低了轉(zhuǎn)子非同步渦動的臨界轉(zhuǎn)速；②大加速度加速能顯著降低轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速時的瞬態(tài)振幅；并且只要順利穿過臨界轉(zhuǎn)速后，轉(zhuǎn)子能穩(wěn)定地運(yùn)轉(zhuǎn)于超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)內(nèi)；③裂紋加劇了轉(zhuǎn)子剛度非對稱性。裂紋轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速附近區(qū)域是不穩(wěn)定的，且裂紋越大，轉(zhuǎn)子不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)越大。

2.2裂紋方向角對轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動的影響

本小節(jié)固定裂紋大小α=π/6，以β0為參數(shù)，計(jì)算了裂紋與質(zhì)量主軸方向不同夾角時的轉(zhuǎn)子在線性加速過程中的瞬態(tài)振動表現(xiàn)。由于轉(zhuǎn)子做正向渦動，裂紋由開到閉的β∈[π/3, 2π/3]，由閉到開的β∈[-2π/3,- π/3]或[4π/3, 5π/3]，故β0主要影響亞臨界轉(zhuǎn)速段裂紋的開合、過臨界轉(zhuǎn)速時裂紋的變化以及超臨界轉(zhuǎn)速段裂紋與中性面(位于渦動坐標(biāo)系O′X′Y′的O′Y′軸)的夾角。

圖6　靜態(tài)裂紋方向角β0=-2π/3轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動Fig.6 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of -2π/3

由于靜態(tài)裂紋方向角β0主要影響過臨界轉(zhuǎn)速時裂紋與中性面的夾角β(即瞬時裂紋方向角)以及剛度在兩個質(zhì)量主軸上的分量(見圖8～圖10)，因此，① 分析瞬態(tài)振動幅值、瞬時裂紋方向角隨轉(zhuǎn)速的變化曲線，裂紋的開閉對遠(yuǎn)離臨界轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速區(qū)影響很小，主要是由于亞臨界轉(zhuǎn)速段轉(zhuǎn)速較低，激起的瞬態(tài)振動幅值較小；超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)轉(zhuǎn)子具有自定心效應(yīng)，任何方向的瞬態(tài)振幅都維持在很小的水平；② 臨界轉(zhuǎn)速附近的裂紋開閉對瞬態(tài)振動影響很大，當(dāng)轉(zhuǎn)子正在穿過臨界轉(zhuǎn)速的瞬時裂紋方向角正好落在裂紋由開到閉區(qū)間，會激起相當(dāng)大的共振振幅(見圖8)，而落在裂紋由閉到開區(qū)間內(nèi)激起的共振振幅并不比無裂紋轉(zhuǎn)子明顯(見圖10)。這說明，在臨界轉(zhuǎn)速附近裂紋張開對轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動影響較大，而遠(yuǎn)離臨界轉(zhuǎn)速時裂紋張開并不顯著影響轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動。

圖7　靜態(tài)裂紋方向角β0=-π/3轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動Fig.7 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of -π/3

圖8　靜態(tài)裂紋方向角β0=0轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動Fig.8 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of 0

圖9　靜態(tài)裂紋方向角β0=π/3轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動Fig.10 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of π/3

圖10　靜態(tài)裂紋方向角β0=2π/3轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動Fig.11 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of 2π/3

反之，若因轉(zhuǎn)子在啟動過程中不平衡方位角不同而發(fā)生不同振幅的瞬態(tài)振動，就應(yīng)判斷軸上可能存在裂紋。這為振動故障的診斷提供了有價值的信息。

3變加速度裂紋轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速瞬態(tài)振動

如前所述，線性加速度缺少一個自由度，并不能考慮外界能量與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相互作用。本節(jié)針對帶裂紋單盤轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)考慮一種更接近實(shí)際的工況：定功率加速的有限能量模式。

當(dāng)轉(zhuǎn)子工作于某一穩(wěn)定轉(zhuǎn)速時，記此轉(zhuǎn)速為工作轉(zhuǎn)速λw，系統(tǒng)的無量綱功率為

P=2(ζφ+ε0ν2)λ2|λ=λwork

(13)

ε0為一修正值，本文取為0.05，則

(14)

代入式(11)，采用Newton-Simpson和Newmark-β法或四階Runge-Kutta法，在零初值條件下聯(lián)立求解式(11)和式(12)。工作轉(zhuǎn)速λw=0.8、1.2、1.6、2.0裂紋轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動(見圖11～圖13)。

圖11　定功率加速轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動Fig.11 Transient vibration of accelerating rotor with constant power

圖12　轉(zhuǎn)子形心在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動軌跡Fig.12 Motion trajectories of rotor centroid in rotating coordinate system

圖13　振幅與轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)耦合關(guān)系Fig.13 Transient coupling relationship between amplitude and rotation speed

可以發(fā)現(xiàn)，① 對于工作轉(zhuǎn)速為亞臨界轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)子，如λw=0.8，由于過臨界轉(zhuǎn)速共振幅值會增高，能量需求大，因此轉(zhuǎn)子不能穿過臨界轉(zhuǎn)速，而最終穩(wěn)定于亞臨界轉(zhuǎn)速區(qū)；② 對于工作轉(zhuǎn)速高于臨界轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)子，如λw=1.6和2.0，能夠提供足夠能量而順利穿過臨界轉(zhuǎn)速，在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)的瞬態(tài)振幅由于自定心效應(yīng)維持在很小，而且工作轉(zhuǎn)速越大，轉(zhuǎn)子功率越大，過臨界轉(zhuǎn)速時的加速度越大，瞬態(tài)振幅越小；③ 以定功率模式加速的轉(zhuǎn)子出現(xiàn)一類新情況，工作轉(zhuǎn)速略高于臨界轉(zhuǎn)速，如λw=1.2，當(dāng)發(fā)生共振時振幅與轉(zhuǎn)速相互耦合，盡管預(yù)定的工作轉(zhuǎn)速高于臨界轉(zhuǎn)速，但是驅(qū)動力矩不足以克服過臨界轉(zhuǎn)速的阻力矩(包括慣性力矩)，造成振幅急劇增大，轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在亞臨界轉(zhuǎn)速上，出現(xiàn)“失速”現(xiàn)象。由圖13可知，在瞬態(tài)振動過程中，當(dāng)振幅下降時，轉(zhuǎn)速增大；振幅增大，轉(zhuǎn)速下降，最終由于阻尼存在而漸進(jìn)穩(wěn)定于亞臨界轉(zhuǎn)速且振幅很大的點(diǎn)。這就是外界驅(qū)動力矩和系統(tǒng)瞬態(tài)振動的能量耦合現(xiàn)象。對比圖12(b)與其他情況的運(yùn)動軌跡圖，即可發(fā)現(xiàn)“失速”特征十分明顯。因此，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在一個工作轉(zhuǎn)速分岔參數(shù)λ0，表征外界驅(qū)動力矩的功率恰好使轉(zhuǎn)子平穩(wěn)順利通過臨界轉(zhuǎn)速而達(dá)到預(yù)定的工作轉(zhuǎn)速。相差極小的參數(shù)λw=1.319 5和λw=1.319 6，卻分別對應(yīng)兩種形態(tài)的振動(見圖 14～圖15)。

圖14　分岔工作轉(zhuǎn)速點(diǎn)附近轉(zhuǎn)子加速的瞬態(tài)振動Fig.14 Transient vibration of accelerating rotor with working power near the point of bifurcation parameter

圖15　分岔工作轉(zhuǎn)速點(diǎn)附近轉(zhuǎn)子加速的形心在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動軌跡Fig.15 Motion trajectories of centroid of accelerating rotor with working power near the point of bifurcation parameter

進(jìn)而，若計(jì)算裂紋角α=π/4的瞬態(tài)振動，將出現(xiàn)更豐富的非線性現(xiàn)象。這主要由于裂紋開閉加大，剛度不對稱加劇，裂紋過渡區(qū)以及張開區(qū)范圍擴(kuò)大，交變幅度增大，非線性特征越來越強(qiáng)。分別以工作轉(zhuǎn)速λw=1.2、1.6、2.0、3.0的恒定功率加速裂紋角α=π/4轉(zhuǎn)子，其瞬態(tài)振動見圖16，圖17表示相應(yīng)的形心在旋轉(zhuǎn)系Oξη中運(yùn)動軌跡。

將以上裂紋角α=π/4的瞬態(tài)振動結(jié)果轉(zhuǎn)化到靜止的慣性參考系Oxy下，畫出橫向位移x(t)的相軌跡(見圖18)；取θ=arctan(y/x)=π/4的截面為龐加萊截面，獲得龐加萊映射(見圖19)。

圖16　大裂紋角轉(zhuǎn)子定功率加速的瞬態(tài)振動Fig.16 Transient vibration of rotor with large crack angle accelerating with constant power

圖17　大裂紋角轉(zhuǎn)子定功率加速的形心在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動軌跡Fig.17 Motion trajectories of centroid of rotor with large crack angle accelerating with constant power

圖18　在慣性系Oxy下形心橫向位移x(t)的相軌跡Fig.18 Phase trajectories of centroid’s horizontal displacement x(t) in inertial system Oxy

圖19　形心橫向位移x(t)的龐加萊映射Fig.19 Poincare maps of centroid’s horizontal displacement

分析圖16～圖19，可以得到：① 當(dāng)裂紋擴(kuò)大時，工作轉(zhuǎn)速分岔參數(shù)λ0提高；② 只要工作轉(zhuǎn)速在分岔參數(shù)λ0之上足夠大，轉(zhuǎn)子能順利通過臨界轉(zhuǎn)速；③ 大的裂紋對應(yīng)的瞬態(tài)振動形態(tài)更加豐富，(見圖17(a)和圖17(d)表示的振動形態(tài)在圖15中已經(jīng)出現(xiàn)過；圖17(b)表現(xiàn)出在跟隨轉(zhuǎn)子一同旋轉(zhuǎn)的空間中形心發(fā)生周期性運(yùn)動，振幅與轉(zhuǎn)速發(fā)生強(qiáng)耦合作用，此時達(dá)到穩(wěn)態(tài)時外界驅(qū)動力矩維持阻力對能量的耗散；圖17(c)則表示瞬態(tài)振動以及幅值能收斂，但對比圖17(d)，形心作順時針旋轉(zhuǎn)，其相位要領(lǐng)先于質(zhì)心。)④ 由圖 17～圖19(b)可知，當(dāng)λw接近工作轉(zhuǎn)速分岔點(diǎn)時，形心軌跡在非慣性系Oξη中呈現(xiàn)出近似的周期性運(yùn)動，但由圖 16可知，實(shí)際上形心振幅不具有周期性，而在慣性系Oxy中的龐加萊映射為一個區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。因此，當(dāng)外扭矩功率處于工作轉(zhuǎn)速分岔點(diǎn)附近，系統(tǒng)極有可能發(fā)生混沌振動。

4結(jié)論

本文基于中性軸理論描述的直裂紋解析模型，采用四階Runge-Kutta法數(shù)值計(jì)算了軸中央帶有直前緣裂紋的Jeffcott轉(zhuǎn)子分別在線性加速和定功率加速條件下對不平衡力的瞬態(tài)振動響應(yīng)，分析了裂紋大小、方向及重力對這類轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動的影響，從而得出呼吸裂紋轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動的基本特性，為旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、故障診斷、振動控制等提供參考。通過對帶呼吸裂紋轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動特性的分析，得出的主要結(jié)論有：

(1) 裂紋降低了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，周期性開閉對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生參數(shù)激勵；隨著裂紋的擴(kuò)大，轉(zhuǎn)子不僅出現(xiàn)瞬態(tài)振動峰值顯著增大，而且穩(wěn)定性也發(fā)生極大的變化；

(2) 在臨界轉(zhuǎn)速附近，裂紋張開對轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動影響較大，而在遠(yuǎn)離臨界轉(zhuǎn)速的超臨界轉(zhuǎn)速或亞臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間，裂紋張開并不明顯影響轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動；

(3) 加速度對轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動影響極其顯著。對于裂紋轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動，小加速度產(chǎn)生很大的瞬態(tài)振幅，甚至系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定，而大加速度則能快速、平穩(wěn)通過臨界轉(zhuǎn)速，但是瞬態(tài)振幅的振蕩衰減要慢；

(4) 以定功率加速的轉(zhuǎn)子，存在功率分岔參數(shù)；當(dāng)驅(qū)動力矩功率小于分岔參數(shù)、大于臨界轉(zhuǎn)速功率時，轉(zhuǎn)子加速超過臨界轉(zhuǎn)速時出現(xiàn)外界扭矩與瞬態(tài)振動的能量耦合，造成實(shí)際轉(zhuǎn)速低于臨界轉(zhuǎn)速，而瞬態(tài)振動十分劇烈；

(5) 大裂紋轉(zhuǎn)子在定功率加速過程中，當(dāng)功率落在不穩(wěn)定范圍內(nèi)，瞬態(tài)振動可能發(fā)展成混沌。

參 考 文 獻(xiàn)

[ 1 ] Patela T H, Darpe A K. Influence of crack breathing model on nonlinear dynamics of a cracked rotor[J].Journal of Sound and Vibration, 2008,311:953-972.

[ 2 ] Untaroiu C D, Untaroiu A, Boiangiu M. Dynamic stability analysis of periodically time-varying rotor system with a transverse crack[J].Engineering, 2011, 3:719-725.

[ 3 ] 何成兵，顧煜炯，宋光雄. 裂紋轉(zhuǎn)子彎扭耦合振動非線性特性分析[J]. 振動與沖擊，2012,31(9):33-38.

HE Cheng-bing, GU Yu-jiong, SONG Guang-xiong. Nonlinear analysis on coupled flexural and torsional vibration of cracked rotor[J].Journal of Vibration and Shock, 2012,31(9):33-38.

[ 4 ] 程禮，何正嘉，李寧，等. 裂紋非線性呼吸行為對轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響[J]. 振動與沖擊，2010, 29(4):44-49.

CHENG Li, HEZheng-jia, LI Ning, et al. Influence of crack nonlinear breathing behavior on critical speed of rotor[J].Journal of Vibration and Shock, 2010,29(4): 44-49.

[ 5 ] Arem S E, Nguyen Q S. Nonlinear dynamics of a rotating shaft with a breathing crack[J].Ann. Solid Structure Mech., 2012,3:1-14.

[ 6 ] 鄒劍，陳進(jìn)，董廣明. 裂紋轉(zhuǎn)子過亞臨界轉(zhuǎn)速瞬態(tài)響應(yīng)特性[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報，2003,37(7): 1106-1109.

ZOU Jian, CHEN Jin, DONGGuang-ming. Research on transient response characteristics of a cracked rotor passage through subcritical speed[J].Journal of Shanghai Jiaotong University, 2003,37(7):1106-1109.

[ 7 ] 何成兵，顧煜炯，楊昆. 裂紋轉(zhuǎn)子彎扭耦合振動瞬態(tài)分析[J]. 振動、測試與診斷，2006,26(3):226-231.

HECheng-bing, GU Yu-jiong, YANG Kun. Transient analysis on coupled flexural and torsional vibration of cracked rotor[J].Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2006,26(3):226-231.

[ 8 ] Darpe A K, Gupta K, Chawla A. Transient response and breathing behaviour of a cracked Jeffcott rotor[J].Journal of Sound and Vibration, 2004, 272:207-243.

[ 9 ] 高建民，朱曉梅. 轉(zhuǎn)軸上裂紋開閉模型的研究[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，1992,9(1):108-112.

GAO Jian-min, ZHU Xiao-mei. Study on the model of the shaft crac opening and closing[J].Chinese Journal of Applied Mechanics, 1992,9(1):108-112.

[10] 王宗勇，林偉，聞邦椿. 開閉裂紋轉(zhuǎn)軸剛度的解析研究[J]. 振動與沖擊，2010,29(9):69-73.

WANG Zong-Yong, LIN Wei, WEN Bang-chun. Analysis on stiffness of rotor system with a switching crack[J].Journal of Vibration and Shock, 2010,29(9): 69-73.

[11] 林言麗. 斜裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性[D]. 北京：清華大學(xué)，2009.

[12] 楊丹，甘春標(biāo)，楊世錫，等. 含橫向裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子剛度及動力學(xué)特性研究[J]. 振動與沖擊，2012, 31(15):121-126.

YANG Dan, GAN Chun-biao, YANGShi-xi, et al. Stiffness and dynamical behavior of Jeffcott rotor with cross crack[J].Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(15):121-126.

[13] Hassenpflug H L, Flack R D, Gunter E J. Influence of acceleration on the critical speed of a jeffcott rotor[J].J. Eng. Gas Turbines Power,1981,103(1):108-113.

Transient vibration characteristics of a rotor with breathing crack

LIUZheng,WANGJian-jun(School of Energy and Power Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)

Abstract:When a crack emerges on a rotor of rotating machineries, time-varying rotation-whirl phase difference makes crack open and close periodically, it causes the transient vibration of the rotor being different from its steady vibration. The neutral axis method was adopted to determine if the crack is opening or closing. The transient vibration response caused by crack breathing of a single disc rotor passing its critical speed was calculated numerically, and the influences of crack depth, orientation angle and gravity on the transient vibration of the rotor with a linear rotation acceleration, and the transient vibration characteristics and the stability of the system accelerated with a constant power were analyzed. The results showed that under the transient condition, the sub-harmonic resonance of the breathing crack rotor is not obvious; the deeper the crack, the larger the transient vibration amplitude passing its critical speed; when the crack opens near the critical speed, larger transient vibration is excited; when the crack rotor is accelerated with a constant power and the power is not enough to make the rotor smoothly pass its critical speed, the energy coupling between the outside torque and the transient vibration occurs, a big crack may cause the transient vibration of the rotor to be chaos.

Key words:neutral axis method; breathing crack; critical speed; single rotor; transient vibration

中圖分類號:TH113.1; V231.96

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.036

通信作者王建軍 男，教授，1956年生

收稿日期：2015-01-23修改稿收到日期：2015-04-09

第一作者 劉政 男，碩士生，1991年生