考慮橋面隨機(jī)不平順的橋梁動態(tài)響應(yīng)研究

張建波， 廖敬波， 唐光武， 徐文濤

(1.重慶交通科研設(shè)計院 橋梁工程結(jié)構(gòu)動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗室，重慶　400067；2.鄭州大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，鄭州　450001)

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考慮橋面隨機(jī)不平順的橋梁動態(tài)響應(yīng)研究

張建波1,2， 廖敬波1， 唐光武1， 徐文濤2

(1.重慶交通科研設(shè)計院 橋梁工程結(jié)構(gòu)動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗室，重慶400067；2.鄭州大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，鄭州450001)

摘要：基于隨機(jī)振動理論研究橋面不平順影響下，車橋耦合振動作用時的中小橋梁動態(tài)響應(yīng)曲線;通過建立車橋耦合振動方程，基于虛擬激勵法對重力引起的確定性激勵和橋面不平順引起的隨機(jī)激勵求解，得到橋梁跨中撓度和應(yīng)力響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。運(yùn)用3σ法則定義隨機(jī)激勵的確定值值域，分析橋梁跨中位移和應(yīng)力響應(yīng)在不同車速和橋面不平順等級作用下的特性，并討論了動態(tài)響應(yīng)曲線與準(zhǔn)靜態(tài)影響線的差異。結(jié)果表明：橋梁跨中撓度和應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差受車速和橋面不平順等級變化的影響很大；橋梁動態(tài)響應(yīng)值域范圍很大，具有較強(qiáng)的隨機(jī)性；相比準(zhǔn)靜態(tài)影響線，動態(tài)響應(yīng)曲線更能體現(xiàn)車橋之間激勵的耦合隨機(jī)作用。

關(guān)鍵詞：車橋耦合振動； 橋面不平順； 虛擬激勵法； 動態(tài)響應(yīng)

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，交通運(yùn)輸日益繁忙，橋梁作為道路交通的咽喉，其承載能力評定、結(jié)構(gòu)安全性以及疲勞壽命的分析就顯得至關(guān)重要。作為研究橋梁承載能力和結(jié)構(gòu)安全性的一種有效工具，影響線由于可以避開針對力學(xué)方程的反復(fù)求解而提高計算效率已經(jīng)獲得許多專家的認(rèn)可[1-3]。由于計算方法和工具的限制，傳統(tǒng)影響線的研究是基于結(jié)構(gòu)準(zhǔn)靜態(tài)移動載荷基礎(chǔ)上提出來的，并沒有考慮結(jié)構(gòu)的動態(tài)效應(yīng)。然而在橋梁實(shí)際運(yùn)營中，由于橋面不平順的影響，行駛車輛與橋梁之間會產(chǎn)生較強(qiáng)的隨機(jī)振動。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，需要將移動載荷的準(zhǔn)靜態(tài)影響線推廣到橋梁動態(tài)響應(yīng)曲線范圍以滿足橋梁設(shè)計和結(jié)構(gòu)分析的需求。

近年來，隨著橋梁結(jié)構(gòu)損傷識別、橋梁承載能力評定以及橋梁移動載荷識別等研究方向的深入，相比準(zhǔn)靜態(tài)影響線，橋梁動態(tài)響應(yīng)時程曲線能真實(shí)反映行駛車輛作用下橋梁的實(shí)際狀態(tài)，因此更加受到人們的關(guān)注[4-5]。但有些文獻(xiàn)僅把移動載荷作為動態(tài)影響的主要原因[6]，而忽略了其中復(fù)雜的隨機(jī)作用；而有些文獻(xiàn)雖然考慮了橋面的隨機(jī)激勵，但大多將橋面不平順模擬為幾條樣本曲線的疊加，或采用有限的幾條樣本作為輸入，忽略了隨機(jī)問題的統(tǒng)計特性[7-8]。事實(shí)上，橋梁隨機(jī)響應(yīng)與橋面不平順有密切的關(guān)系[9]，僅靠幾條樣本曲線，很難保證隨機(jī)問題本質(zhì)的體現(xiàn)，但大量的樣本曲線又會使計算成本增加，計算效率降低。

虛擬激勵法是近年提出的一套簡潔、精確和高效的隨機(jī)響應(yīng)計算方法，在地震工程、結(jié)構(gòu)風(fēng)振分析、列車-軌道-橋梁的隨機(jī)振動等多個方面取得了豐碩成果[10]，尤其在處理大規(guī)模隨機(jī)振動數(shù)值分析方面具有明顯優(yōu)勢。但由于其基于譜分析的計算，輸出結(jié)果形式對于橋梁、土建等工程領(lǐng)域所需要的確定性結(jié)果尚需探討結(jié)合的方法。

本文將移動車輛與中小橋梁模型看作動態(tài)的隨機(jī)振動耦合體系，在充分考慮橋面隨機(jī)不平順的激勵作用情況下，研究了橋梁的動態(tài)響應(yīng)曲線?；谔摂M激勵法對車輛與橋梁的非平穩(wěn)隨機(jī)振動進(jìn)行分析，并針對工程所需的內(nèi)力、位移、撓度等確定性工程量值進(jìn)行3σ法轉(zhuǎn)換，計算了橋梁跨中撓度和應(yīng)力的動態(tài)響應(yīng)，并研究了車速和橋面不平順等級對其的影響，分析了橋梁準(zhǔn)靜態(tài)影響線與動態(tài)響應(yīng)曲線的差異。

1車橋系統(tǒng)計算模型

將多軸移動車輛模型與中小橋梁模型的相互作用形式看作動態(tài)車橋耦合隨機(jī)振動系統(tǒng)，建立整體的動力學(xué)方程，其中隨機(jī)因素為橋面存在的高低不平順。

1.1多軸車輛-橋梁耦合隨機(jī)振動模型

以簡支梁和四自由度二分之一車輛模型為研究對象(見圖1)。其中：m0為車體質(zhì)量；z0為車體的豎向位移；θ為車體繞橫向軸的轉(zhuǎn)角；Iz為車體轉(zhuǎn)動慣矩；m1、m2為車輛前后輪的質(zhì)量；z1、z2為前后輪的豎向位移；Ks1、Ks2、Cs1和Cs2為前后懸掛裝置的彈簧剛度和阻尼系數(shù)；Kt1、Kt2、Ct1和Ct2為前后輪胎的剛度和阻尼系數(shù)；L1、L2為車輛前后軸到車體重心的距離。

圖1　車輛與簡支梁橋模型Fig.1 The model of vehicle andsimply-supported beam

1.2車輛振動方程

車身假設(shè)為剛體，前后輪視為集中質(zhì)量，并假設(shè)輪胎與橋面始終保持接觸狀態(tài)，利用達(dá)朗貝爾原理可以推導(dǎo)出車輛系統(tǒng)的振動方程

(1)

式中：Μv、Κv、Cv分別為車輛的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣；F1、F2分別為橋梁對車輛前后輪的作用力；zb1、zb2為前后車輪與橋梁接觸點(diǎn)處的橋梁位移；zw1、zw2為接觸點(diǎn)處的橋面不平順位移。

由式(1)可知，車輛振動是由車輪與橋梁接觸點(diǎn)處的橋梁位移和橋面不平順共同作用引起的。

1.3橋梁振動方程

橋梁采用Bernoulli-Euler梁，通過有限元離散，可得其振動方程

(2)

(3)

式中：N1、N2為前后車輪與橋梁接觸點(diǎn)處的單元形函數(shù)列向量。

1.4車橋耦合振動方程

通過車輪與橋梁接觸點(diǎn)處的位移協(xié)調(diào)條件和車橋相互作用力之間的平衡關(guān)系，可將車輛與橋梁兩個子系統(tǒng)的方程聯(lián)系起來，利用單元形函數(shù)N1、N2將車輛前后輪與橋梁接觸點(diǎn)處的作用力和位移轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)載荷和節(jié)點(diǎn)位移，然后按有限元法的對號入座方法組裝車橋系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度和載荷矩陣，則可得車橋耦合系統(tǒng)的時變方程

(4)

式中:

由式(4)可知，車橋時變系統(tǒng)的激勵項分為由車輛重力引起的確定性激勵Fg和由橋面不平順引起的隨機(jī)激勵Fw。

2車橋耦合系統(tǒng)的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)

2.1橋面隨機(jī)激勵源

作為車橋耦合振動輸入的橋面不平順激勵，采用與路面相同的功率譜密度函數(shù)描述其統(tǒng)計特性。擬合表達(dá)式如下[11]：

(5)

式中：n為空間頻率(m-1)，它是波長λ的倒數(shù)，表示每米長度中包括幾個波長；n0為參考空間頻率，n0=0.1 m-1；Gqq(n0)為參考空間頻率n0下的路面功率譜密度函數(shù)值，稱為路面不平度系數(shù)；W為頻率指數(shù)，通常取W=2。根據(jù)我國公路實(shí)際情況，按路面功率譜密度把路面的不平程度分為8級，高等公路路面譜基本在A級、B級、C級三個級別范圍內(nèi)，其中B級、C級占的比重較大。通過時域、頻域轉(zhuǎn)換，可以得到路面不平順激勵Gqq(n)與Gqq(f)的換算式：

(6)

將式(5)代入式(6)得到時間路面功率譜Gqq(f)×(m2s)的表達(dá)式

(7)

由圓頻率ω(rad/s)與時間頻率f的轉(zhuǎn)換關(guān)系ω=2πf可得圓頻率表達(dá)式

(8)

2.2隨機(jī)響應(yīng)的均值

在橋面不平順作用下，車輛與橋梁之間會產(chǎn)生較強(qiáng)的非平穩(wěn)隨機(jī)振動，利用虛擬激勵法可將其轉(zhuǎn)化為確定性的時間歷程進(jìn)行分析，從而使計算量大大減少。橋面不平順假設(shè)為均勻調(diào)制演變隨機(jī)過程

w(x)=g(x)q(x)

(9)

(10)

g(x)為確定性慢變調(diào)制函數(shù)，q(x)為以空間坐標(biāo)x為自變量的零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度函數(shù)Gqq(n)已知。

將橋面不平順由空間域轉(zhuǎn)換到時間域，即

w(t)=g(t)q(t)

(11)

式中：q(t)是以時間坐標(biāo)t為自變量的零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度函數(shù)為Gqq(ω)。

車橋耦合系統(tǒng)方程的解可表示為[12]

(12)

式中：H(t-τ,τ)為脈沖響應(yīng)矩陣。根據(jù)式(12)，系統(tǒng)響應(yīng)的均值為

(13)

由于q(t)是零均值高斯過程，則式(13)可化為

(14)

由式(14)可知，車橋系統(tǒng)響應(yīng)的均值是由確定性載荷Fg引起的。

2.3構(gòu)造虛擬激勵

根據(jù)式(11),車輛前后輪與橋梁接觸點(diǎn)處的橋面不平順可表示為

zw1=g(t)q(t)，zw2=g(t-Δt)q(t-Δt)

(15)

Δt=(L1+L2)/v

(16)

式中:Δt為車輛前后輪通過橋面同一點(diǎn)的時間差。

對zw1、zw2求導(dǎo)可得其速度項

(17)

由于g(t)為慢變函數(shù)，故不對其求導(dǎo)。則車橋系統(tǒng)方程中的隨機(jī)激勵Fw1和Fw2可表示為

(18)

Fw2=Kt2g(t-Δt)q(t-Δt)+

(19)

則可將隨機(jī)激勵Fw改寫為

Fw=[Nk1Nk2]G(t)Q(t)+

(20)

式中:

Nk1=Kt1[0010N1]T；

G(t)=diag[g(t),g(t-Δt)]；

根據(jù)隨機(jī)振動理論，橋面不平順及其一階導(dǎo)數(shù)的自功率譜和互功率譜關(guān)系如下

(21)

(22)

根據(jù)維納-辛欽關(guān)系可得

E[{Q(τ1)}{Q(τ2)}T]=

(23)

式中：V*是矩陣V的復(fù)共軛矩陣

V=diag[1,e-iωΔt]

車橋系統(tǒng)響應(yīng)的方差為

E[Fw(τ1)Fw(τ2)]HT(t-τ2,τ2)dτ1dτ2

(24)

聯(lián)立式(20)～式(23)并代入式(24)，系統(tǒng)響應(yīng)的方差矩陣RYY(t)可化為

(25)

其中

G(t)Va0eiωtdτ

(26)

根據(jù)式(26)，構(gòu)造如下虛擬激勵

(27)

則其引起的響應(yīng)為

(28)

響應(yīng)的功率譜矩陣為

(29)

3車橋時變系統(tǒng)方程求解

(30)

(31)

(32)

(33)

橋面不平順是平穩(wěn)高斯過程，由概率理論知，高斯過程在線性運(yùn)算下性質(zhì)保持不變，所以橋梁的動態(tài)響應(yīng)也是高斯型隨機(jī)變量，3σ準(zhǔn)則是適用的，將橋梁跨中撓度和應(yīng)力響應(yīng)的均值加減三倍標(biāo)準(zhǔn)差可得其確定值值域。

4算例分析

車橋模型見圖1，簡支梁橋參數(shù)：橋長Lb=40 m，抗彎剛度EI=1.28×1011N·m2，單位長度質(zhì)量m=1.20×104kg·m-1；車輛模型參數(shù)：m0=24 790 kg，L1=1.838 m，m1=m2=4 330 kg，L2=1.787 m，Ks1=Ks2=2.54×106N·m-1，Cs1=1.96×106N·s·m-1,Cs2=1.96×106N·s·m-1,Kt1=4.28×106N·m-1，Kt2=4.28×106N·m-1，Ct1=9.8×105N·s·m-1，Ct2=9.8×105N·s·m-1，Iz=3.258×106kg·m2。

分別考慮車輛行駛速度v為30 km/h、60 km/h、90 km/h、120 km/h和橋面不平順A級、B級、C級、D級四個等級，從A級到D級橋面不平順等級提高，路況逐漸變差，時間頻率范圍0.3～30 Hz，頻率增量為0.3 Hz?；贛atlab軟件對算例進(jìn)行編程求解，獲得了不同車速下橋梁跨中撓度和應(yīng)力響應(yīng)的均值，并得到了橋面不平順等級為B級時不同車速下的橋梁跨中撓度和應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差時程曲線和車速為60 km/h時不同橋面不平順等級下的橋梁跨中撓度和應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差曲線。

4.1橋梁跨中撓度響應(yīng)

由圖2～圖4可知，橋梁跨中撓度的標(biāo)準(zhǔn)差受車速和橋面不平順等級變化的影響很大，隨著橋面不平順等級的提高而成倍增加，但并不隨著車速的提高而單調(diào)遞增。車速變化對橋梁跨中撓度的均值影響不大，這是由于均值主要是由車輛前后軸重引起的。

由3σ法則知，橋梁跨中撓度的實(shí)際響應(yīng)在均值加減三倍標(biāo)準(zhǔn)差的帶狀區(qū)域內(nèi)。車速設(shè)置為60 km/h，橋面不平順等級為B級，計算可得橋梁跨中撓度動態(tài)響應(yīng)的上下限，并與車速為1 km/h時的橋梁跨中準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)進(jìn)行對比(見圖5)。由圖5可知，橋梁跨中撓度的實(shí)際響應(yīng)隨機(jī)性很強(qiáng)，并且隨著橋面不平順等級的提高，帶狀區(qū)域?qū)挾葧龃?。相比較橋梁的動態(tài)響應(yīng)，橋梁跨中撓度的準(zhǔn)靜態(tài)影響線變化趨勢平緩，未能體現(xiàn)出車橋之間的相互作用。

圖6和圖7是不同車速和不同橋面不平順等級下橋梁撓度動態(tài)響應(yīng)的最大值，圖6中橋面不平順等級為B級，圖7中車速為60 km/h。由圖6和圖7可知，橋梁撓度動態(tài)隨機(jī)響應(yīng)受車速和橋面不平順等級變化的影響很大，相比較車速變化，橋面不平順等級變化的影響更加顯著。

圖2 不同車速下的橋梁跨中撓度均值Fig.2Meanvalueofdeflectioninthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity圖3 不同車速下的橋梁跨中撓度標(biāo)準(zhǔn)差Fig.3Standarddeviationofdeflectioninthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity圖4 不同橋面不平順等級下的橋梁跨中撓度標(biāo)準(zhǔn)差Fig.4Standarddeviationofdeflectioninthemidspanofbridgeunderdifferentstandardofbridgesurfaceroughness

圖5 橋梁跨中撓度的準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)響應(yīng)Fig.5Quasi-staticresponseanddynamicresponseofdeflectioninthemidspanofbridge圖6 不同車速下的橋梁跨中撓度動態(tài)響應(yīng)Fig.6Dynamicresponseofdeflectioninthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity圖7 不同橋面不平順等級下的橋梁跨中撓度動態(tài)響應(yīng)Fig.7Dynamicresponseofdeflectioninthemidspanofbridgeunderdifferentstandardofbridgesurfaceroughness

4.2橋梁跨中應(yīng)力響應(yīng)

由圖8～圖10可知，橋梁跨中應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差受車速和橋面不平順等級變化的影響很大，其均值曲線受車速變化的影響不大。車輛行駛到橋梁中點(diǎn)前后時，橋梁跨中應(yīng)力均值未有太大變化，這是由于車輛前后軸重相近。隨著橋面不平度等級的提高，橋梁跨中應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差成倍增加。圖中標(biāo)準(zhǔn)差時程曲線呈現(xiàn)波浪狀，且隨著車速和橋面不平順等級的提高而愈加明顯，這是由橋面不平順作用下的隨機(jī)激勵引起的。

圖8 不同車速下的橋梁跨中應(yīng)力均值Fig.8Meanvalueofstressinthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity圖9 不同車速下的橋梁跨中應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差Fig.9Standarddeviationofstressinthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity圖10 不同橋面不平順等級下的橋梁跨中應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差Fig.10Standarddeviationofstressinthemidspanofbridgeunderdifferentstandardofbridgesurfaceroughness

由圖11可知，橋梁跨中應(yīng)力響應(yīng)的隨機(jī)性比其撓度響應(yīng)的隨機(jī)性更強(qiáng)，說明橋面不平順引起的隨機(jī)激勵對橋梁跨中應(yīng)力的影響比對撓度的影響顯著。與撓度準(zhǔn)靜態(tài)影響線相似，橋梁跨中應(yīng)力準(zhǔn)靜態(tài)影響線變化平緩，未能體現(xiàn)車橋之間的相互作用。

圖12工況設(shè)置與圖6一致，圖13工況設(shè)置與圖7一致。由圖12和圖13可知，橋梁應(yīng)力隨機(jī)響應(yīng)受車速和橋面不平順等級變化的影響很大。

圖11 橋梁跨中應(yīng)力的準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)響應(yīng)Fig.11Quasi-staticresponseanddynamicresponseofstressinthemidspanofbridge圖12 不同車速下的橋梁跨中應(yīng)力動態(tài)響應(yīng)Fig.12Dynamicresponseofstressinthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity圖13 不同橋面不平順等級下的橋梁跨中應(yīng)力動態(tài)響應(yīng)Fig.13Dynamicresponseofstressinthemidspanofbridgeunderdifferentstandardofbridgesurfaceroughness

5結(jié)論

本文采用虛擬激勵法和Newmark-β積分法對橋面不平順作用下車輛與橋梁的隨機(jī)振動方程進(jìn)行求解，系統(tǒng)的分析了車速變化和橋面不平順等級變化對橋梁跨中撓度和應(yīng)力的影響，并對隨機(jī)振動作用下準(zhǔn)靜態(tài)影響線與動態(tài)響應(yīng)時程曲線的差異進(jìn)行了分析，結(jié)論如下：

(1) 對橋梁影響線的關(guān)注應(yīng)考慮車輛-橋梁系統(tǒng)的動態(tài)效應(yīng)及隨機(jī)振動因素。

(2) 橋梁動態(tài)響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差對車輛速度變化具有較強(qiáng)的敏感性，這些區(qū)別在以準(zhǔn)靜態(tài)方法為主的研究中不易被體現(xiàn)，而在動力學(xué)分析中能夠得到充分考慮。

(3) 橋梁表面高低不平順的隨機(jī)特性對橋梁的動態(tài)響應(yīng)具有顯著的影響，并且有較大的貢獻(xiàn)。相比僅考慮車輛移動效應(yīng)的研究，其響應(yīng)增大了20%多，說明橋梁影響線的研究不應(yīng)忽略橋面不平順造成的效應(yīng)。

(4) 橋梁動態(tài)響應(yīng)由于隨機(jī)作用的存在，其結(jié)果應(yīng)是一個值域，準(zhǔn)靜態(tài)影響線只是其中的一條曲線。

參 考 文 獻(xiàn)

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Dynamic response of a bridge considering its surface random roughness

ZHANGJian-bo1,2,LIAOJing-bo1,TANGGuang-wu1,XUWen-tao2(1. State Key Laboratory of Bridge Engineering Structural Dynamics,Chongqing Communications Research & Design Institute, Chongqing 400067, China;2. School of Mechanics & Engineering Science, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

Abstract:Based on the random vibration theories, dynamic response curves of short and medium-span girder bridges considering vehicle-bridge coupling and bridge surface rough ness were studied. The dynamic equations of the vehicle-bridge coupled system were solved using the pseudo-excitation method (PEM), and the mean values and standard deviations of the deflection and stress of the bridge’s were calculated. Based on the 3σ method, the statistical solutions were converted into deterministic value ranges, attracted by attention of engineering researchers. The results showed that the standard deviations of the deflection and stress at the mid span of the bridge are greatly affected by vehicle velocity and bridge surface roughness level; the value range for the bridge’s dynamic response is large and more strongly random; compared with the quasi-static influence line, the dynamic response curves reflect the interaction of vehicle-bridge more evidently.

Key words:vehicle-bridge coupling vibration; bridge surface roughness; pseudo-excitation method; dynamic response

中圖分類號:U441.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.033

通信作者徐文濤 男，博士，副教授，1980年生

收稿日期：2014-12-18修改稿收到日期：2015-04-14

基金項目：橋梁工程結(jié)構(gòu)動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗室開放基金資助(201403)

第一作者 張建波 男，碩士，1992年生