一種圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率的計(jì)算方法

嚴(yán)日明， 劉德福,2， 陳　濤， 佘亦曦

(1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長沙　410083; 2. 高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙　410083)

?

一種圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率的計(jì)算方法

嚴(yán)日明1， 劉德福1,2， 陳濤1， 佘亦曦1

(1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長沙410083; 2. 高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙410083)

摘要：提出了一種圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率的計(jì)算方法;先忽略剪切變形和慣性矩作用，基于Euler-Bernoulli桿理論求解出固有頻率初值，再計(jì)入二者的作用進(jìn)行彎曲振動固有頻率的修正。應(yīng)用有限元分析法和模態(tài)實(shí)驗(yàn)測試對該方法進(jìn)行驗(yàn)證，理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，誤差<5%?；谠摲椒ň帉懗绦?，實(shí)現(xiàn)了彎曲振動變幅桿結(jié)構(gòu)的主動設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：圓錐形變幅桿；超聲彎曲振動；固有頻率

近年來，超聲振動在脆硬材料精密加工中的應(yīng)用越來越廣泛。由于彎曲振動模式具有更好的聲匹配性，在超聲加工裝置中采用彎曲振動模式，或者彎曲振動和縱向、扭轉(zhuǎn)復(fù)合振動模式，加工效率高且質(zhì)量更好，正成為超聲加工領(lǐng)域的重要發(fā)展趨勢之一[1]。清華大學(xué)對藍(lán)寶石襯底進(jìn)行了超聲彎曲振動輔助化學(xué)機(jī)械拋光(UFV-CMP)加工，提高了表面粗糙度、平面度和材料去除率[2]。Norikazu SUZUKI等[3]采用雙向彎曲振動實(shí)現(xiàn)橢圓振動對脆硬性材料進(jìn)行了微細(xì)加工，得到了1.9 μm深的無脆性斷裂的微小槽，且提高了表面質(zhì)量和臨界切削深度。Xun Li等[4]采用縱彎復(fù)合橢圓振動系統(tǒng)對SI235進(jìn)行了切削加工，大幅降低了切削力、軸向力和表面粗糙度。諸多研究表明，帶彎曲振動模式的超聲裝置對于超聲加工至關(guān)重要。超聲變幅桿作為超聲振動裝置的核心部件，其縱向和扭轉(zhuǎn)振動研究目前已趨于成熟，而彎曲振動由于其振動規(guī)律的復(fù)雜性，使得該技術(shù)不夠完善和系統(tǒng)，導(dǎo)致其實(shí)際應(yīng)用受到限制[5]。

超聲變幅桿是功率超聲設(shè)備中的關(guān)鍵部件，主要實(shí)現(xiàn)能量的傳輸和聚能[6]，按其結(jié)構(gòu)一般分為階梯形桿和連續(xù)變截面桿。對于大多數(shù)具有較高的工作穩(wěn)定性和較大的抗彎剛度要求的場合，連續(xù)變截面桿應(yīng)用更普遍。在放大系數(shù)要求不高時(shí)，又以圓錐形變幅桿最為適用，其彎曲振動固有頻率的計(jì)算對于其在超聲加工中的應(yīng)用至關(guān)重要。對于階梯形桿的彎曲振動，通過求解簡單的常系數(shù)微分方程可求得其固有頻率的精確值[7]，并且已研制出階梯形變幅桿縱彎復(fù)合超聲振動系統(tǒng)[8]。對于連續(xù)變截面桿的彎曲振動固有頻率計(jì)算方法的研究，目前只見到半精密解法[9]和矩陣解法[10]，其原理都是基于分段思想把一段變截面桿近似看成若干段等截面桿的組合，利用等截面桿的固有頻率計(jì)算方法通過矩陣傳遞求出整段桿的固有頻率。此法適用于各種類型的變截面桿，可以得到一定精確度的固有頻率近似值，但計(jì)算過程很復(fù)雜，計(jì)算量龐大。在超聲振動系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中，也往往需要根據(jù)特定邊界條件和給定的振動頻率設(shè)計(jì)變幅桿的結(jié)構(gòu)尺寸，即主動設(shè)計(jì)。目前有限元分析法在給定結(jié)構(gòu)尺寸的模態(tài)分析方面較精確，但在設(shè)計(jì)給定彎曲振動頻率的桿件尺寸時(shí)一般只能通過試湊法。作為一種被動設(shè)計(jì)過程，該方法顯得過程繁瑣且工作量龐大。

以Euler-Bernoulli桿理論為基礎(chǔ)，通過研究連續(xù)變截面桿的彎曲振動方程，并以圓錐形超聲變幅桿為例，直接求解四階變系數(shù)線性微分方程，得到桿的彎曲振動方程通解，從而得到不同邊界條件下的圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率。通過對比分析Euler-Bernoulli桿理論和Timoshenko桿理論，對所求的彎曲振動固有頻率初值提出了修正公式，可用于不同材料、不同尺寸、不同階次下的彎曲振動固有頻率求解。在得到精確度較高的彎曲振動固有頻率解的同時(shí)，為彎曲振動、縱彎復(fù)合、扭彎復(fù)合振動圓錐形變幅桿的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)，拓寬了圓錐形變幅桿在超聲加工中的應(yīng)用。

1圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率

1.1基于Euler-Bernoulli桿理論的變截面桿彎曲振動固有頻率

基于Euler-Bernoulli桿理論，已知長為l，截面面積為A(x)的任意桿，橫截面形心的連線為x軸，推導(dǎo)變截面桿在主慣性軸方向上彎曲振動的波動方程。

設(shè)桿在xoy平面上的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩及剪力分別為Y(x,t)、θ(x,t)、M(x,t)和Q(x,t)，其正方向(見圖1)。假設(shè)振動發(fā)生在的彎曲桿的一個(gè)主平面上，其橫截面尺寸與桿的長度比較小，上述物理量滿足如下關(guān)系：

(1)

式中：E為材料彈性模量；I(x)為桿任意橫截面對中性軸的慣性矩。

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理：

(2)

式中：ρ為材料密度；A(x)為桿任意橫截面的截面面積。

圖1　任意變截面桿彎曲示意圖Fig.1 Bend of bar with vari-cross-section

聯(lián)立式(1)和式(2)，得到任意變截面桿的彎曲波動方程為：

(3)

將式(3)左邊括號內(nèi)的項(xiàng)對x進(jìn)行二次微分計(jì)算，則方程展開得到：

(4)

在簡諧振動中，設(shè)任一點(diǎn)x處的彎曲振動為

Y(x,t)=y(x)ejwt

(5)

式中：y(x)為桿彎曲振動的振型函數(shù)；ω=2πf，為桿彎曲振動角頻率；f為桿的彎曲振動頻率。將(5)式代入式(4)可得基于Euler-Bernoulli桿理論的通用變截面桿彎曲波動方程：

(6)

針對不同橫截面形狀的變截面桿，只要將其慣性矩I(x)、截面面積A(x)代入式(6)即可得到該變截面桿的彎曲波動方程。求解該方程，并利用特定的邊界條件，可求得該桿基于Euler-Bernoulli桿理論的各階彎曲振動固有頻率fEi。

1.2圓錐形桿彎曲振動方程及其求解

在超聲領(lǐng)域，圓錐形變幅桿由于彎曲勁度較大，工作穩(wěn)定性高，且機(jī)械加工成本低，在不要求特別大的放大系數(shù)的條件下，得到了非常廣泛的應(yīng)用[11]。故以圓錐形桿為例，求解其彎曲振動方程，并得到其在不同邊界條件下的彎曲振動固有頻率，從而為彎曲振動圓錐形變幅桿的設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。

圓錐形變幅桿結(jié)構(gòu)見圖2，大端直徑為D1，小端直徑為D2，桿長為l，在任意位置x處，其直徑D(x)、橫截面面積A(x)、桿任意橫截面對中性軸的慣性矩I(x)滿足式(7)。

圖2　圓錐形變幅桿結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Conical horn

(7)

將式(7)代入式(6)，化簡得到：

(8)

式中：α=(D1-D2)/l，則D(x)=D1-αx，從而有：

(9)

將式(9)代入式(8)得到圓錐形桿的彎曲振動的波動方程：

(10)

令λ2=16ρω2/Eα4=64π2ρf2/Eα4，則式(10)有如下形式通解[12]：

(11)

將D(x)=D1-αx代入式(11)式即可得到歸一化的圓錐形桿的彎曲振動振型函數(shù)。

式中：J2(x)、Y2(x)為二階第一類貝塞爾函數(shù)、二階第二類貝塞爾函數(shù)。其定義為[13]：

(12)

為了便于推導(dǎo)頻率方程，將式(11)等效變形為：

(13)

分別令：

得到：

(14)

從而得到：

(15)

式中：根據(jù)兩類貝塞爾函數(shù)求導(dǎo)的性質(zhì)[13]：

(16)

從而得到：

(1) 一階導(dǎo)數(shù)：

(17)

(2) 二階導(dǎo)數(shù)：

(18)

(3) 三階導(dǎo)數(shù)：

在不同的邊界條件下，位移函數(shù)y有不同的物理特性。以通解為基礎(chǔ)，通過分析這些特性，可以建立對應(yīng)邊界條件下的物理特征方程組，從而得到頻率方程，即可求解出桿件的固有頻率。

1.3圓錐形變幅桿在不同邊界條件下的彎曲振動固有頻率

(1) 邊界自由時(shí)，彎矩和剪力分別為0，即：

(20)

可解得在自由邊界條件下，有：

(21)

(2) 邊界固定時(shí)，其撓度和轉(zhuǎn)角分別為0，即：

(22)

可解得在固定邊界條件下，有：

(23)

(3) 邊界鉸支時(shí)，其撓度和彎矩分別為0，即：

(24)

可解得在鉸支邊界條件下，有：

(25)

由以上推導(dǎo)可知，在變幅桿兩端的不同邊界條件下，可以推導(dǎo)出頻率方程。在圓錐形變幅桿兩端自由邊界條件下，有：

(26)

結(jié)合彎曲振動振型函數(shù)式(11)和邊界條件式(26)，得到：

(27)

從而轉(zhuǎn)為求解系數(shù)矩陣行列式為0的方程：

(28)

可解得彎曲振動固有頻率f與圓錐形變截面桿尺寸l、D1、D2之間的關(guān)系，式(28)即為在兩端自由邊界條件下，圓錐形變幅桿彎曲振動頻率方程。

同理，可以推導(dǎo)其他邊界條件下的頻率方程(見表1)。此外，還可根據(jù)該過程推導(dǎo)出其他特殊的邊界條件和頻率方程。

解上述頻率方程，分別按照解的大小順序求得各圓錐形桿對應(yīng)邊界條件下的各階彎曲振動固有頻率初值fEi。

1.4圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率的修正模型

由于Euler-Bernoulli桿理論沒有考慮剪切變形和慣性矩的作用，計(jì)算結(jié)果對于細(xì)長桿適用，但是對于長徑較小的桿的計(jì)算誤差偏大，此時(shí)用計(jì)入剪切變形和慣性矩作用的Timoshenko桿理論計(jì)算更加精確。

本節(jié)對Euler-Bernoulli桿理論和Timoshenko桿理論的振動微分方程進(jìn)行對比探討，在等截面桿理論基礎(chǔ)上計(jì)入桿件形狀、剪切變形和慣性矩作用對Euler-Bernoulli桿理論計(jì)算所得彎曲振動固有頻率初值fEi進(jìn)行修正。

與Euler-Bernoulli桿理論相比，Timoshenko桿理論仍然采用平剖面假設(shè)，但放松了剖面始終垂直于桿撓度曲線的假設(shè)，因此剖面轉(zhuǎn)角不再與撓度曲線的一階導(dǎo)數(shù)相等，即桿可以發(fā)生剪切變形。該理論將撓度Y(x,t)和轉(zhuǎn)角θ(x,t)視為兩個(gè)獨(dú)立的變量，分別建立振動微分方程[14]：

(29)

式中：G=E/2(1+ν)，為桿件的剪切模量；k為不同截面下的剪切系數(shù)。對于圓形橫截面，k=6(1+ν)/(7+ν)，ν為泊松比。

同理，基于簡諧振動，令：

Y(x,t)=y(x)ejwt,θ(x,t)=φ(x)ejwt

(30)

將式(30)代入式(29)可得基于Timoshenko桿理論的通用變截面桿彎曲波動方程：

(31)

式中：ω為桿彎曲振動角頻率，慣性矩I(x)、截面面積A(x)仍然為沿x方向連續(xù)變化的函數(shù)，其關(guān)于x微分展開和求解非常復(fù)雜，目前還不能得到二階二元微分方程式(31)的解析解，所以很難求解基于Timoshenko桿理論的變截面桿的彎曲振動固有頻率。對于等截面桿，Euler-Bernoulli桿理論有：

(32)

根據(jù)式(31)，在均勻等截面桿條件下消去φ，則對Timoshenko桿理論有：

表1　各邊界條件下圓錐形變幅桿彎曲振動頻率方程

(33)

式中：超聲變幅桿一般基于自由振動狀態(tài)進(jìn)行設(shè)計(jì)，在計(jì)算頻率時(shí)可對等截面桿振型函數(shù)取近似：

(34)

對振動頻率計(jì)算結(jié)果影響不大[15]。對式(34)求二階導(dǎo)數(shù)可得：

(35)

對式(33) 忽略微小量系數(shù)的第四項(xiàng)，結(jié)合式(35)，可得到：

(36)

將式(32)代入式(36)可得：

(37)

化簡式(37)，并結(jié)合式(7)中I和A的關(guān)系得到：

(38)

為了基于等截面桿對圓錐形桿進(jìn)行修正，提出形狀系數(shù)：

(39)

式中：β越大，桿越粗短，反之越細(xì)長。以此將(見圖2所示圓錐形桿近似成計(jì)入形狀系數(shù)的等截面桿，并代入式(38)得到計(jì)入形狀系數(shù)、剪切變形和慣性矩的修正公式為：

(40)

式中：fFi為修正計(jì)算所得i階彎曲振動固有頻率，單位為Hz；fEi為上節(jié)所述基于Euler-Bernoulli桿理論計(jì)算所得i階彎曲振動固有頻率初值，單位為Hz；i為彎曲振動階次。

1.5實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證圓錐形桿彎曲振動固有頻率計(jì)算方法，加工了三根不同尺寸的圓錐形桿，材料為6061鋁合金，其彈性模量E=69 GPa，泊松比ν=0.33，材料密度ρ=2 700 kg/m3。變幅桿尺寸見表2。加工所得實(shí)驗(yàn)工件見圖3。

表2　圓錐形變幅桿尺寸

圖3　圓錐形變幅桿Fig.3 Conical horns

為了最大程度減少外界作用對桿件的干擾，且超聲變幅桿一般基于自由振動狀態(tài)進(jìn)行設(shè)計(jì)，故對各桿分別進(jìn)行自由邊界條件下的彎曲振動固有頻率的計(jì)算及驗(yàn)證。

基于表2所示圓錐形變幅桿的尺寸參數(shù)和彎曲振動頻率方程， 應(yīng)用Matlab數(shù)值解法求解得到前4階彎

振頻率初值fE，基于式(40)算得彎曲振動固有頻率fF?；谟邢拊B(tài)分析法，得到彎曲振動各階固有頻率有限元計(jì)算結(jié)果。最后加工圓錐形桿，采用動態(tài)信號測試分析系統(tǒng)，通過敲擊法進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)測量，測試原理見圖4。

經(jīng)敲擊法模態(tài)實(shí)驗(yàn)測試得到50 kHz內(nèi)錐形桿的固有頻率，通過分析模態(tài)測量的振形結(jié)果可得到固有頻率中彎曲振動頻率值。三根桿彎曲振動固有頻率的計(jì)算結(jié)果、有限元分析結(jié)果和模態(tài)實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果見表3。

圖4　敲擊法測量變幅桿的彎曲振動固有頻率Fig.4 Measurement of flexural vibration frequency of horn using striking method

表3的數(shù)據(jù)表明本文提出的變截面桿彎曲振動固有頻率計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果與有限元分析、彎曲振動模態(tài)測試結(jié)果均吻合較好。

表3　自由狀態(tài)下各桿前4階彎曲振動固有頻率的理論計(jì)算與驗(yàn)證

2給定彎曲振動頻率的圓錐形變幅桿的設(shè)計(jì)

基于本文提出的圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率計(jì)算方法，介紹圓錐形變幅桿在超聲彎曲振動應(yīng)用中的設(shè)計(jì)過程。

為了研究圓錐形變幅桿固有特性，減少其他外在條件的影響，結(jié)合彎曲振動變幅桿設(shè)計(jì)時(shí)的一般邊界條件，選擇兩端自由的邊界條件進(jìn)行設(shè)計(jì)?；诒疚乃龇椒?，在超聲換能器的設(shè)計(jì)過程中，可以根據(jù)任一端直徑和形狀系數(shù)設(shè)計(jì)另一端直徑。在此以給定圓錐形變幅桿小端尺寸D2和形狀系數(shù)β的設(shè)計(jì)為例，探討基于給定的彎曲振動頻率要求進(jìn)行超聲變幅桿設(shè)計(jì)的思路。

本文要求設(shè)計(jì)出在20 kHz 、25 kHz 和30 kHz下分別實(shí)現(xiàn)1階、2階、3階的自由彎曲振動的圓錐形變幅桿。其設(shè)計(jì)過程與彎曲振動固有頻率計(jì)算過程相反：通過修正式(40)求得各階彎曲振動頻率fFi對應(yīng)的頻率初值fEi，結(jié)合對應(yīng)邊界條件下的頻率方程和形狀系數(shù)β，算得大端直徑D1和桿長l。

表3證明了有限元模態(tài)分析結(jié)果與實(shí)際測試結(jié)果十分吻合，故可用有限元模態(tài)分析結(jié)果近似代替實(shí)驗(yàn)結(jié)果來對變幅桿桿設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果見表4。由表4可知，本文提出的圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率計(jì)算方法非常可靠。

表4　彎曲振動圓錐形變幅桿設(shè)計(jì)結(jié)果及有限元驗(yàn)證

3結(jié)論

本文基于Euler-Bernoulli桿理論建立了圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率計(jì)算方法?？傻玫饺缦轮饕Y(jié)論：

(1) 基于Euler-Bernoulli桿理論，推導(dǎo)了任意變截面桿的彎曲振動方程，并以圓錐形桿為例，得到了圓形截面的變截面桿的彎曲振動方程，并求得了四階微分方程的通解，分別建立了不同邊界條件下彎曲振動頻率方程。

(2) 在Euler-Bernoulli桿理論基礎(chǔ)上，計(jì)入形狀系數(shù)、剪切變形和慣性矩作用，得到了圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率的修正公式，并在自由邊界條件下分別進(jìn)行了有限元模態(tài)分析驗(yàn)證和模態(tài)實(shí)驗(yàn)測試驗(yàn)證。本文提出的圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率計(jì)算方法所得計(jì)算結(jié)果與模態(tài)實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果和有限元分析結(jié)果的誤差均<5%。

(3) 基于本文提出的圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率計(jì)算方法，在給定彎曲振動頻率的條件下設(shè)計(jì)了三種錐形變幅桿。有限元模態(tài)分析結(jié)果表明，圓錐形變幅桿彎曲振動固有頻率與設(shè)計(jì)要求偏差很小，實(shí)現(xiàn)了基于給定彎曲振動頻率和階數(shù)的彎曲振動圓錐形變幅桿的主動設(shè)計(jì)。

參 考 文 獻(xiàn)

[ 1 ] 張雄,焦鋒. 超聲加工技術(shù)的應(yīng)用及其發(fā)展趨勢[J]. 工具技術(shù),2012(1):3-8.

ZHANG Xiong, JIAO Feng.Applications and development trends of ultrasonic machining technology[J]. Tool Technology,2012(1):3-8.

[ 2 ] Xu W, Lu X, Pan G, et al. Ultrasonic flexural vibration assisted chemical mechanical polishing for sapphire substrate[J]. Applied Surface Science, 2010, 256(12): 3936-3940.

[ 3 ] Suzuki N, Masuda S, Haritani M, et al. Ultraprecision micromachining of brittle materials by applying ultrasonic elliptical vibration cutting[C]//Micro-Nanomechatronics and Human Science, 2004 and The Fourth Symposium Micro-Nanomechatronics for Information-Based Society, 2004. Proceedings of the 2004 International Symposium on. IEEE, 2004: 133-138.

[ 4 ] Li X, Zhang D. Ultrasonic elliptical vibration transducer driven by single actuator and its application in precision cutting[J]. Journal of Materials Processing Technology, 2006, 180(1): 91-95.

[ 5 ] 林書玉. 超聲換能器的原理與設(shè)計(jì)[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2004.

[ 6 ] 潘巧生,劉永斌,賀良國,等. 一種大振幅超聲變幅桿設(shè)計(jì)[J]. 振動與沖擊,2014,33(9):1-5.

PAN Qiao-sheng, LIU Yong-bin, HE Liang-guo, et al.Design of an ultrasonic horn with high amplitude of longitudinal vibration[J]. Journal of Vibration And Shock, 2014,33(9):1-5.

[ 7 ] Timoshenko S. Vibration problems in engineering[M].2nd.D. Van Nostrand Company, Inc. New York, 1937.

[ 8 ] Watanabe Y, Tsuda Y, Mori E. A longitudinal-flexural complex-mode ultrasonic high-power transducer system with one-dimensional construction[J]. Japanese Journal of Applied Physics, 1993, 32(5S): 2430.

[ 9 ] 崔燦,李映輝. 變截面鐵木辛柯梁振動特性快速計(jì)算方法[J]. 動力學(xué)與控制學(xué)報(bào),2012,(3):258-262.

CUI Can, LI Yin-hui, A solution for vibration characterist of timoshenko beam with variable cross-section[J].Journal of Vibration and Shock,2012,(3):258-262.

[10] Zhou Guang-ping, Li Ming-xuan, A study on ultrasonic solid horns for flexural mode[J]. Journal of Acoustical Society of American, 2000,107(3):1358-1362.

[11] 曹鳳國.超聲加工[M]. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社, 2013.

[12] Kamke E. Handbook of ordinary differential equations[M]. Chelsea Publ, 1976.

[13] 奚定平.貝塞爾函數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社,1998.

[14] 邢譽(yù)峰,李敏. 計(jì)算固體力學(xué)原理與方法[M]. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2011.

[15] 方同, 薛璞. 振動理論及應(yīng)用[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,1998.

A calculation method for flexural vibration frequencies of a conical horn

YANRi-ming1,LIUDe-fu1,2,CHENTao1,SHEYi-xi1(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;2. State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract:A method for calculation of flexural vibration frequencies of a conical horn was presented. Firstly, its initial flexural frequency values ignoring effects of shear deformation and moment of inertia were solved based on Euler-Bernoulli beam theory, and then they were corrected considering both of the effects. The FEM and the modal test showed that the results obtained from calculation agree well with those of tests, the error is within 5%. The active design of a flexural vibration horn was realized with the code based on the proposed method.

Key words:conical horn; ultrasonic flexural vibration; natural frequency

中圖分類號:TH122；TH113.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.030

通信作者劉德福 男，教授，博士生導(dǎo)師，1971年生

收稿日期：2015-03-05修改稿收到日期：2015-04-15

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51275534)；湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015JJ2153)

第一作者 嚴(yán)日明 男，碩士，1992年生