最優(yōu)應(yīng)力波形下的沖擊機(jī)械沖錘部件的反演設(shè)計(jì)及參數(shù)優(yōu)化

趙翼飛， 白爭鋒， 楊斌久

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 飛行器動力學(xué)與仿真研究所，山東 威?！?64209)

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最優(yōu)應(yīng)力波形下的沖擊機(jī)械沖錘部件的反演設(shè)計(jì)及參數(shù)優(yōu)化

趙翼飛， 白爭鋒， 楊斌久

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 飛行器動力學(xué)與仿真研究所，山東 威海264209)

摘要：受空間環(huán)境下月壤采樣機(jī)構(gòu)能源供給的限制，立足于一般的沖擊機(jī)械模型，假定巖土動態(tài)加載剛度一定的情況下分析比較了不同形式入射波形對巖土介質(zhì)作功過程中能量傳遞效率情況。以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)指數(shù)應(yīng)力波形為目標(biāo)，基于一維波動力學(xué)理論及δ(t)函數(shù)法對沖錘部件的波阻抗進(jìn)行反演設(shè)計(jì)，并使用正解計(jì)算和有限元仿真的方法驗(yàn)證反演設(shè)計(jì)的正確性。運(yùn)用假設(shè)脫離法分析了沖錘與擊桿之間的受力及運(yùn)動狀態(tài)，分析了沖錘幾何外形無量綱參數(shù)影響下能量傳遞效率和沖錘沖擊效率的變化規(guī)律并計(jì)算相關(guān)的最優(yōu)參數(shù)。

關(guān)鍵詞：沖擊；應(yīng)力波；傳遞效率；反演設(shè)計(jì)；沖錘；月壤采樣機(jī)構(gòu)

沖擊機(jī)械是利用強(qiáng)度極大的力流，以一定的速度直接或間接地撞擊工作對象，使其發(fā)生位移和破壞。由于其結(jié)構(gòu)緊湊，在工業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用[1]。我國探月三期工程規(guī)劃中的鉆取采樣機(jī)構(gòu)便是基于此并針對特殊的工作環(huán)境而演化出一種沖擊機(jī)械系統(tǒng)，并且機(jī)構(gòu)的輕量化、低功耗、高效率、高可靠特性等相關(guān)要求較地球上廣泛使用的沖擊機(jī)械更加嚴(yán)格苛刻，尤其是機(jī)構(gòu)的能量傳遞效率是評價(jià)沖擊鉆進(jìn)機(jī)構(gòu)性能的最主要指標(biāo)。研究沖擊機(jī)構(gòu)能量傳遞的變化規(guī)律及傳遞效率，將對月壤采樣機(jī)構(gòu)乃至于地球上其他形式的沖擊機(jī)械設(shè)計(jì)提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，有助于提高工作系統(tǒng)的性能和效率。

與以往的以振動理論為基礎(chǔ)的動力學(xué)分析不同，沖擊機(jī)械系統(tǒng)傳遞效率的研究必須考慮彈性介質(zhì)的微元體受沖擊載荷作用下,在極短暫的時(shí)間尺度上發(fā)生運(yùn)動參量的顯著變化，從而導(dǎo)致應(yīng)力波傳播的研究[2]。由于大多數(shù)的機(jī)械機(jī)構(gòu)都局限在以剛體零部件動態(tài)響應(yīng)為主的研究內(nèi)容，可不考慮波動過程，因此以波動力學(xué)為基礎(chǔ)的應(yīng)力波及其能量傳播過程研究相對于以振動理論為內(nèi)容的動力學(xué)研究少之又少。基于月壤采樣機(jī)構(gòu)與其他沖擊機(jī)械在結(jié)構(gòu)上的相似性，本文將基于簡化后的結(jié)構(gòu)模型(見圖1)，總結(jié)國內(nèi)外該領(lǐng)域內(nèi)的研究成果，以一維波動力學(xué)為理論依據(jù)，圍繞系統(tǒng)的能量傳遞效率，對以應(yīng)力波形式的能量傳遞過程展開分析及計(jì)算，以最優(yōu)波形的實(shí)現(xiàn)為目標(biāo)，反演求解沖錘部件的波阻抗，并對相關(guān)參數(shù)對系統(tǒng)能量傳遞效率的影響特性進(jìn)行分析、比較及優(yōu)化，這是力學(xué)范疇內(nèi)的基礎(chǔ)性研究。

圖1　回轉(zhuǎn)-沖擊鉆進(jìn)機(jī)構(gòu)模型及簡化示意圖Fig.1 Model of rotation-percussion and drilling mechanism and simplified diagram

反演設(shè)計(jì)工作的開展離不開對實(shí)現(xiàn)特定形式應(yīng)力波問題的研究，而不同形式應(yīng)力波與沖擊系統(tǒng)的能量傳遞效率密切相關(guān)。劉德順[3]曾對該問題進(jìn)行過相關(guān)的研究與討論，并設(shè)計(jì)了一套反演求解的數(shù)值程序。由于沒有采用解析求解的形式，經(jīng)設(shè)計(jì)后的沖錘部件因撞擊所產(chǎn)生的應(yīng)力波形較預(yù)期的結(jié)果有一定的誤差[4]。Nygren等[5-6]首次使用δ函數(shù)法反演設(shè)計(jì)沖錘的波阻抗，文中在20世紀(jì)所采用的數(shù)學(xué)方法值得借鑒，其不完善之處是沒能結(jié)合沖錘兩端的邊界條件及初始條件，進(jìn)而分析沖錘在整個時(shí)間范圍內(nèi)的運(yùn)動狀態(tài)，也沒能結(jié)合相關(guān)參數(shù)對系統(tǒng)的能量傳遞效率和沖擊效率展開分析。Jansson等[7-8]圍繞壓電式功率放大器實(shí)現(xiàn)的特定波形問題展開了相關(guān)研究。

1最優(yōu)應(yīng)力波形的分析求解

1.1應(yīng)力波理論基礎(chǔ)

如圖2所示的等截面均質(zhì)直桿在忽略阻尼效應(yīng)條件下受到一端沖擊激勵后會產(chǎn)生沿軸線方向的縱振動，其控制方程可表示為

(1)

圖2　等截面均質(zhì)桿微元體Fig.2 Element of uniform material and cross section rod

式(1)解析解可表示為

u(x,t)=φ1(x-ct)+φ2(x+ct)

(2)

令

(3)

Q(x+ct)=-AEφ12(x+ct)

(4)

可得到

(5)

(6)

式中:

Z=ρcA

(7)

為波阻抗，表征桿對波的傳播能力。

(8)

為波速。沿x軸正向傳播的力波P稱之為順波，沿x軸負(fù)向傳播的力波Q稱之為逆波。由于假定的是等截面均質(zhì)桿，因此ρ、A都為常數(shù)；如果ρ(x)、A(x)是隨x變化的函數(shù)，那么式(1)就會更復(fù)雜。

1.2巖土介質(zhì)的加載力學(xué)特性

根據(jù)月壤采樣機(jī)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)要求，動力源將采用高頻激振單元，因此沖擊機(jī)構(gòu)對土壤產(chǎn)生循環(huán)加載作用。基于巖石與土壤力學(xué)特性的相似性，可將工作介質(zhì)的動態(tài)循環(huán)加、卸載特性表示成如圖3所示的形式。

巖土受到?jīng)_擊載荷后所表現(xiàn)出的加載剛度K值是一個重要的參數(shù)。實(shí)際情況下，不同載荷周期所對應(yīng)的K值是不同的。隨著載荷周期的循環(huán)進(jìn)行，K值也隨之增大，且K與作用速率等因素也有著密切的聯(lián)系。為了后文分析的方便，這里暫且將動態(tài)加載剛度K值視作常數(shù)。從圖3可知，卸載剛度K1相對于加載剛度K要大得多，該情況可近似認(rèn)為是剛性卸載，即可視K1=∞。加、卸載特性曲線經(jīng)簡化后可重新表示成圖4的形式。

圖3　循環(huán)載荷作用下巖土加、卸載特性曲線Fig.3 Rock-soil’s loading and uploading characteristic under cyclicinteraction

圖4　簡化后循環(huán)載荷的加、卸載特性曲線Fig.4 Simplified loading and unloading characteristic curves

1.3最優(yōu)應(yīng)力波形的參數(shù)確定

真實(shí)的固體材料在力學(xué)性能上總是顯示出速率相關(guān)性或時(shí)間相關(guān)性，即材料本構(gòu)關(guān)系上表現(xiàn)出一定的黏性，黏性微元體簡化后可得到常見的Maxwell體、標(biāo)準(zhǔn)線性固體等。這會導(dǎo)致應(yīng)力波能量在固體材料傳播的過程中以其他形式損耗掉。由于材料本身所表現(xiàn)的黏性并非人力所能改變的，加上實(shí)際工作環(huán)境下動力裝置的工作效率及部件之間因干涉與摩擦所造成的能量損失無法預(yù)知，因此若能減小應(yīng)力波的傳遞歷程(表現(xiàn)在傳播時(shí)間和傳播距離上)，讓應(yīng)力波以一定的形式最大地通過巖土介質(zhì)并對其作功，就能有效地提高工作效率。黏性巖土介質(zhì)受力后的模型可表示為

(9)

式中：F為巖土介質(zhì)或擊桿的受力，以壓力為正；J為巖土介質(zhì)的黏性阻尼系數(shù)；u為軸向位移；A為等截面擊桿橫截面積。

由應(yīng)力波的理論可知，在擊桿與巖土之間相互作用過程中會有正、逆兩個方向的應(yīng)力波產(chǎn)生。設(shè)P為擊桿中傳播的入射波(正向力波)，Q為反射波(逆向力波)，由作用力及速度的平衡條件可得到式(10)：

(10)

式中：Z桿的波阻抗。由于擊桿等截面且質(zhì)地均勻，所以Z為常數(shù)。定義反射波能量與入射波的能量之間的比值為能量傳遞效率目標(biāo)函數(shù)ηr，從而使

(11)

由式(11)可知，要尋找一個未知的入射力波函數(shù)P(t)使得式(11)在式(10)約束條件下取得最大值，屬于泛函條件求最值的問題。由于式(11)中的分子與分母同時(shí)含有未知的表達(dá)式，求解會有很大的難度。Lundberg等及劉德順[9-10]通過分析都曾指出指數(shù)波形相對于其他波形在能量傳遞效率上的優(yōu)勢。因此不妨引入?yún)?shù)δ，通過代入特定數(shù)值的方法比較不同形式指數(shù)波間的能量傳遞效率ηr，從而確定最優(yōu)參數(shù)。

設(shè)入射P(t)的表達(dá)式為:

(12)

式中L：C為常系數(shù)。當(dāng)ε=0時(shí)，P(t)為矩形波；當(dāng)ε<0時(shí)P(t)為負(fù)指數(shù)形波；當(dāng)ε>0，P(t)為正指數(shù)形波。將式(12)代入式(10)，由初始條件t=0時(shí)，u=0可得到0

Q(t)=

(13)

(14)

由剛性卸載特性易知，t>T時(shí)，由P(t)=0必有Q(t)=0。由ηr的定義及式(14)、式(12)可得到

(15)

ηr=2(e-τT-1)2/τT

(16)

同理可得δ>0取其它數(shù)值時(shí)函數(shù)ηr的變化規(guī)律。利用數(shù)值軟件將δ=0、δ=0.1、δ=1、δ=2、δ=3及δ=10的ηr函數(shù)曲線繪制在同一張函數(shù)圖像中(見圖5)； 當(dāng)δ<0時(shí)，可取δ=-0.1、δ=-1、δ=-2、δ=-3、δ=-10，這時(shí)ηr的變化曲線見圖6。

圖5　δ≥0時(shí)ηr函數(shù)曲線Fig.5 Curves of functionηr when δ≥0

圖6　δ<0時(shí)ηr函數(shù)曲線Fig.6 Curves of function ηr when δ<0

2沖錘部件反演設(shè)計(jì)及參數(shù)優(yōu)化

由應(yīng)力波的理論可知，兩個恒波阻抗的沖錘與擊桿相互撞擊只會產(chǎn)生矩形波。由上面的分析得知正指數(shù)波形在能量傳遞效率上的優(yōu)勢，若擊桿是恒波阻抗部件，則完全可通過反演設(shè)計(jì)具有特定Z(x)形式的沖錘，通過與擊桿之間的撞擊來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)入射波形。

2.1反演求解概述及方法步驟

若彈性部件的密度ρ和彈性模量E是恒定的，由式(7)可知波阻抗的反演設(shè)計(jì)等價(jià)為橫截面積A(x)的反演設(shè)計(jì)。變截面沖錘部件(見圖7)，在x=0處受到激勵F(0,t)的作用，x=0處的速度響應(yīng)為v(0,t)。

圖7　沖錘部件受力及速度響應(yīng)Fig.7 Response of impactor’s force and velocity

引入光坐標(biāo)變量

(17)

ξ=ξ(x)，表示應(yīng)力波以一定的波速c傳播到桿長坐標(biāo)為x處所對應(yīng)的時(shí)間，與常提到的光年物理含義類似。從而式(1)可重新寫成

(18)

(19)

(20)

(21)

設(shè)：

(22)

圖與δ(t)之間的關(guān)系Fig.8 Relationship between (t) and δ(t)

(23)

(24)

圖9　沖錘與擊桿撞擊示意圖Fig.9Impaction between impactor and rod

求得，而函數(shù)式f(ξ,ξ)又必須要滿足:

(25)

借助于Sondhi等[11]的研究，將在附錄中就式(24)及式(25)的正確性給出證明過程。

2.2指數(shù)波形下的沖錘部件反演求解

由圖9可知，波阻抗彈性部件時(shí)，Z桿(ξ)=Z1，顯然有

(26)

設(shè)正指數(shù)應(yīng)力波形的一般表達(dá)式為:

F(t)=F0et/t0

(27)

將式(22)，式(26)，式(27)代入式(23)中，并同時(shí)對等號兩邊進(jìn)行二次求導(dǎo)可得到G′(t)=0，設(shè)G(t)=A，可得到

(28)

(29)

式(29)代入式(25)

f(ξ,t)=1/(1-ξ/ξ0)

(30)

式中:

(31)

再根據(jù)式(24)便可得到正指數(shù)波形下沖錘部件波阻抗的解析表達(dá)式

(32)

2.3沖錘部件正問題求解及運(yùn)動狀態(tài)的分析

(33)

(34)

(35)

(36)

同理撞擊端ξ=0處存在

ξ=0

(37)

φ(t)為沖錘撞擊端ξ=0受力表達(dá)式。由式(36)可得到

(38)

從而有

(39)

(40)

Laplace反變換可得到

(41)

仔細(xì)比較式(22)、式(29)和式(31)會發(fā)現(xiàn)它們的表達(dá)形式與式(41)等號右邊前半部分表達(dá)式是相互一致的。將式(41)、式(26)代入式(23)可得到:

(42)

當(dāng)t<0時(shí)，F(xiàn)(t)=0。

(43)

將t=0代入

(44)

式(43)等號兩邊同時(shí)微分求解得到

(45)

式中:

(46)

(47)

利用有限元仿真程序同樣可以得到?jīng)_錘與擊桿因撞擊產(chǎn)生的應(yīng)力波形。該模型是經(jīng)反演設(shè)計(jì)后的沖錘與等截面擊桿撞擊運(yùn)動的有限元模型(見圖10)。

圖10　沖錘與擊桿撞擊有限元模型Fig.10 Impacting FEM model between impactor and rod

圖11　沖錘撞擊端受力曲線Fig.11 Impactor’s stress curves at impacting end

圖12　沖錘自由端受力曲線Fig.12 Impactor’s stress curves at free end

(48)

對式(48)等號兩邊同時(shí)微分，并利用式(45)計(jì)算結(jié)果可得到

F(t)=Cexp(t/t0)-

(49)

式中：F0、t0為式(46)、式(47)的表達(dá)形式，C的表達(dá)形式較復(fù)雜。

(50)

(51)

(52)

(53)

2.4沖錘的參數(shù)設(shè)計(jì)及優(yōu)化

由最優(yōu)應(yīng)力波形式

(54)

可知

(55)

當(dāng)F0和t0為已知參數(shù)時(shí)，可知

(56)

ξ與桿長變量x之間的關(guān)系可表示成

x=cξ

(57)

由于采用相同材料且質(zhì)地均勻，因此波速c為常量。引入無量綱參數(shù)λ

λ=F0/Z1V

(58)

由式(56)ξ0>0可知0<λ<1。若沖錘與擊桿由同種材料制成，利用c及t0的表達(dá)式可得到?jīng)_錘的理論長度l0

(59)

(60)

引入另一個無量綱參數(shù)

(61)

顯然0<β<1。針對β適當(dāng)?shù)娜≈捣秶M(jìn)行討論：

就沖錘幾何尺寸而言，由于

(62)

由圖5可知，通過上一節(jié)針對不同波形能量傳遞效率ηr展開的分析可知τT較小時(shí)，不同波形間的ηr曲線幾乎重合，隨著τT增大(τT≥0.8)，δ=1的最優(yōu)指數(shù)形波相對于矩形波在效率ηr上的優(yōu)勢就體現(xiàn)得更加明顯。由式(63)可知:

(63)

要想使τT變得大，λ越小越好，而β越大越好。

由式(58)可知，如果λ過小，F(xiàn)0一定的情況下會導(dǎo)致Z1或V過大，致使激勵裝置無法實(shí)現(xiàn)預(yù)定的初速度。將λ代入式(28)，可得到:

(64)

(65)

(66)

圖13　η(β,λ)三維函數(shù)圖像Fig.13η(β,λ) 3-D function image

圖14　η(β,λ)平面等值線圖像Fig.14 η(β,λ) contour lines

圖15　(η,λ)與(η,β)坐標(biāo)二維視圖Fig.15 (η,λ) and (η,β) coordinate graphs

通過數(shù)值計(jì)算軟件得到如圖13所示η(β,λ)三維圖像和圖14的平面圖像，從圖13中可知，函數(shù)存在最大極值點(diǎn)。結(jié)合圖15所示的二維視圖可得到當(dāng)β≈0.7，λ≈0.3時(shí)，η取得最大值ηmax=0.55。將相應(yīng)的β與λ代入式(63)計(jì)算τT并參照圖5可得到ηr≈0.86；同理λ=0.1，β=0.8時(shí)有τT=1.44，ηr≈0.93，而沖錘的沖擊效率η≈0.35。僅就沖錘的沖擊效率而言，β≈0.7，λ≈0.3為最佳參數(shù)。

3結(jié)論

通過引入?yún)⒆兞喀谋容^不同形式入射波的能量傳遞效率ηr后得出結(jié)論：δ=1的指數(shù)函數(shù)是使能量傳遞效率最高的入射應(yīng)力波函數(shù)。然而通過圖5，圖6的對照發(fā)現(xiàn)傳遞效率函數(shù)ηr不僅取決于δ值，參數(shù)τT的大小也決定了效率的高低：當(dāng)τT較小時(shí)，不同形式入射應(yīng)力波條件下的傳遞效率曲線幾乎重合，且處于較低的數(shù)值范圍內(nèi)；隨著τT的增大，δ=1的最優(yōu)指數(shù)波形逐漸體現(xiàn)出了效率上的優(yōu)勢，ηr(t)以遞增函數(shù)的形式≈1。實(shí)際工程設(shè)計(jì)中可結(jié)合現(xiàn)實(shí)巖土的力學(xué)特性首先計(jì)算與加載剛度K緊密相關(guān)的參數(shù)τT。當(dāng)τT較小時(shí)，由于等波阻抗沖錘加工制造較為方便，可選取δ=0的矩形波為最優(yōu)波形；當(dāng)τT較大且對能量傳遞效率要求較高時(shí)，δ=1的指數(shù)波形無疑是最優(yōu)方案。

通過文中的計(jì)算及分析可知，以撞擊端產(chǎn)生指數(shù)波形為目標(biāo)經(jīng)反演設(shè)計(jì)后的沖錘幾何外形是受到兩個無量綱參數(shù)β及λ控制的。從兩者的表達(dá)式可知，參數(shù)λ決定了沖錘的理論長度，β決定了沖錘的實(shí)際長度，β一定時(shí)，λ反應(yīng)了沖錘橫向外形的“胖瘦”關(guān)系，β則反應(yīng)了軸向“高矮”關(guān)系。僅就沖錘的沖擊效率η而言，β≈0.7，λ≈0.3是使其達(dá)到最大化的最優(yōu)參數(shù)。由式(63)可知β及λ同時(shí)決定著τT和能量傳遞效率ηr的大小，因此在實(shí)際工程應(yīng)用中可以結(jié)合以上分析進(jìn)行綜合考慮從而合理設(shè)計(jì)β及λ的數(shù)值。

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附錄：

式(24)、式(25)證明

證明：

如圖16所示的是ξ-t坐標(biāo)圖，沖錘開始處于靜止?fàn)顟B(tài)并在ξ=0處，及t>0時(shí)間范圍內(nèi)受到激勵，由式(18)可知，系統(tǒng)方程的特征線方程為

dξ/dt=±1

(a)

圖16　ξ-t坐標(biāo)圖Fig.16 ξ-t coordinate graph

(b)

(c)

如果將a變換成ξ，且等號兩邊同時(shí)對ξ微分可得到

(d)

(e)

(f)

(g)

式(71)中ξ=0時(shí)，可由式(73)得到

(h)

由式(72)可知f(a,t)=f(a,-t)，從而式(74)可寫成

(j)

證畢。

Impactor’s inverse design and parametric optimization of an impact machinery based on optimal stress waveform

ZHAOYi-fei,BAIZheng-feng,YANGBin-jiu(Institute of Aircraft Dynamics and Simulation Research, Harbin Institute of Technology, Weihai 264209, China)

Abstract:The energy supply to a moon soil sampling machinery is limited under space environment. Here, energy transfer efficiencies were analyzed and compared under different stress waveforms and a constant rock-soil’s dynamic stiffness based on a general impact machinery model. The impactor’s wave impedance was designed inversely based on one-dimensional wave mechanics and Dirac delta function δ(t) in order to achieve the optimal waveform. The correctness of the impactor’s inverse design was verified with the forward solution and FEM. The motion state and stress between the impactor and rod were analyzed with the assuming separation method. The energy transfer efficiency and impactor’s impaction efficiency influenced by impactor’s geometry dimensionless parameters were analyzed and the optimal parameters were also calculated.

Key words:impact; stress wave; transfer efficiency; inverse design; impactor; moon soil sampling machinery

中圖分類號:TU113.1；V57

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.016

通信作者白爭鋒 男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，1982年生

收稿日期：2014-12-16修改稿收到日期：2015-04-03

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51305093)；中國博士后科學(xué)基金特別資助(2014T70317)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2013EEQ004)

第一作者 趙翼飛 男，碩士，1986年生

E-mail：baizhengfeng@126.com