基于小波包變換和時(shí)變頻率的結(jié)構(gòu)地震損傷評(píng)估

何浩祥， 陳　奎， 閆維明

(1．北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京　100124;2．首都世界城市順暢交通北京市協(xié)同創(chuàng)新中心，北京　100124)

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基于小波包變換和時(shí)變頻率的結(jié)構(gòu)地震損傷評(píng)估

何浩祥1,2， 陳奎1， 閆維明1,2

(1．北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124;2．首都世界城市順暢交通北京市協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100124)

摘要：基于頻率變化的結(jié)構(gòu)地震損傷評(píng)估方法具有機(jī)理明確和精度較高等特點(diǎn)，但傳統(tǒng)信號(hào)分析方法在時(shí)頻分辨率上不能同時(shí)滿足精度要求，導(dǎo)致時(shí)變頻率不能直接從響應(yīng)信號(hào)中精確獲取，影響頻率法損傷評(píng)估的應(yīng)用。依據(jù)時(shí)頻邊緣條件提出時(shí)頻譜分析精度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，通過對(duì)比不同的信號(hào)分析方法，確認(rèn)具有特定基函數(shù)的小波包變換是獲取精確時(shí)變功率譜的有效工具;提出基于小波包脊的時(shí)變頻率提取方法，在此基礎(chǔ)上依據(jù)結(jié)構(gòu)頻率的變化可計(jì)算結(jié)構(gòu)時(shí)變損傷指標(biāo)，并最終實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)多維地震損傷評(píng)估。算例表明基于小波包變換和時(shí)變頻率的結(jié)構(gòu)地震損傷評(píng)估方法可以較準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)的整體損傷演變過程和最終損傷程度;應(yīng)用該方法時(shí)僅需結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析、抗震驗(yàn)算及實(shí)際結(jié)構(gòu)的震害評(píng)估中均具良好的適用性。

關(guān)鍵詞：地震；損傷評(píng)估；小波包變換；時(shí)變頻率；時(shí)變功率譜

結(jié)構(gòu)損傷可定義為結(jié)構(gòu)整體或某些部分在材料和幾何性能上的變化，工程結(jié)構(gòu)在長(zhǎng)期使用過程中會(huì)因各種自然及人為因素的作用而不可避免地發(fā)生損傷。由于環(huán)境變化和構(gòu)件退化疲勞銹蝕等因素導(dǎo)致結(jié)構(gòu)損傷具有緩慢積累的特點(diǎn)，通?？赏ㄟ^長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)其演變實(shí)現(xiàn)損傷評(píng)估。地震等自然災(zāi)害在很短時(shí)間內(nèi)就會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)造成較嚴(yán)重?fù)p傷，具有顯著的時(shí)變性和非平穩(wěn)性。地震中結(jié)構(gòu)一般將進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，且其動(dòng)力性能不斷退化和波動(dòng)，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)既包含結(jié)構(gòu)自身動(dòng)力特性，同時(shí)又蘊(yùn)含豐富的地震動(dòng)時(shí)頻信息[1]。目前，結(jié)構(gòu)地震損傷的評(píng)估很難在地震過程中在線實(shí)現(xiàn)，通常只能通過現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查或?qū)Φ卣甬?dāng)時(shí)及隨后的響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行動(dòng)力特性分析完成，并不能充分反映結(jié)構(gòu)的損傷過程和細(xì)節(jié)，因此評(píng)估結(jié)構(gòu)地震損傷及評(píng)定的研究意義重大且仍需不斷發(fā)展和完善。目前，構(gòu)件層次上的損傷評(píng)估模型主要包括基于滯回耗能、變形以及變形和耗能雙變量的模型。結(jié)構(gòu)整體層次上的損傷評(píng)估模型主要包括基于整體變形、整體剛度或自振周期以及整體耗能模型。目前大部分損傷評(píng)估模型均存在以下問題[2-4]：① 大部分模型是性能參數(shù)的簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)疊加或經(jīng)驗(yàn)組合，缺乏明確的物理意義；② 合理的損傷指標(biāo)應(yīng)該嚴(yán)格控制在[0，1]，但由大部分模型計(jì)算得到的損傷指標(biāo)>1，這影響了震害較嚴(yán)重的結(jié)構(gòu)評(píng)估精度；③ 震害模型考慮的性能參數(shù)不能只在模擬分析中獲得，應(yīng)通過實(shí)測(cè)信號(hào)獲取且反映結(jié)構(gòu)在地震過程的時(shí)變損傷特征，且計(jì)算應(yīng)簡(jiǎn)便可靠；④ 研究適合整體結(jié)構(gòu)損傷程度評(píng)估的震害指標(biāo)實(shí)用計(jì)算模型將更具工程實(shí)踐意義，基于整體結(jié)構(gòu)剛度退化或模態(tài)變化的震害指標(biāo)模型將更具優(yōu)越性, 但尚未得到地震工程界足夠的重視。

近年來(lái)，隨著結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別理論和現(xiàn)代信號(hào)分析技術(shù)的發(fā)展，通過時(shí)變參數(shù)在線識(shí)別或非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)頻分析直接獲得結(jié)構(gòu)時(shí)變頻率從而判斷結(jié)構(gòu)損傷程度的方法不斷成熟和發(fā)展?；趶V義卡爾曼濾波、序貫非線性最小二乘法和貝葉斯估計(jì)等算法可實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的線性響應(yīng)預(yù)測(cè)、反演和參數(shù)實(shí)時(shí)識(shí)別[5-6]，但限于算法能力以及計(jì)算規(guī)模，此類方法暫時(shí)不能完全實(shí)現(xiàn)多自由度結(jié)構(gòu)的動(dòng)力參數(shù)快速變化識(shí)別。在時(shí)頻分析法中，比較常用的是通過對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換，之后利用小波系數(shù)模極大值提取小波脊從而識(shí)別時(shí)變頻率[7]。但由于結(jié)構(gòu)響應(yīng)是典型的窄帶隨機(jī)過程，頻帶干擾較嚴(yán)重，傳統(tǒng)的小波變換也較難同時(shí)滿足時(shí)頻兩域的分辨率要求，導(dǎo)致識(shí)別結(jié)果中常出現(xiàn)只能識(shí)別某階頻率、部分時(shí)刻識(shí)別值缺失或頻率增大等現(xiàn)象。盡管諸如基于小波傳遞函數(shù)和基于小波能量傳遞函數(shù)譜識(shí)別時(shí)變頻率的改進(jìn)方法被提出[8]，但效果仍不明顯。一些研究者提出了利用以Hilbert-Huang變換(Hilbert-Huang Transform,HHT)為基礎(chǔ)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解識(shí)別結(jié)構(gòu)瞬時(shí)頻率的方法[9-10]，但經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，頻率分辨率不均勻，且不能保證其各分量嚴(yán)格正交，因此該方法一般只能實(shí)現(xiàn)特定信號(hào)或特定頻段的頻率識(shí)別。

鑒此，提出了基于小波包變換獲得時(shí)頻譜，并通過提取指定頻域內(nèi)時(shí)頻脊線從而確定結(jié)構(gòu)頻率變化時(shí)程的方法。相比目前其它時(shí)頻分析法，該方法更滿足時(shí)間和頻率邊緣條件，因此具備更高的準(zhǔn)確性。在上述方法的基礎(chǔ)上，提出了考慮多維地震作用下，結(jié)構(gòu)地震損傷指標(biāo)和評(píng)估方法。算例結(jié)果表明本方法能夠較準(zhǔn)確地識(shí)別結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震下低階頻率的時(shí)變過程，從而可對(duì)結(jié)構(gòu)整體損傷進(jìn)行較精確的評(píng)估，且該方法機(jī)理明確，簡(jiǎn)單實(shí)用。

1基于小波包分解的時(shí)變功率譜

結(jié)構(gòu)震害響應(yīng)蘊(yùn)含著結(jié)構(gòu)在時(shí)域和頻域上損傷演變的特性和過程，可利用信號(hào)分析技術(shù)提取其損傷信息。然而，地震動(dòng)記錄及結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)本身只能在時(shí)域上表征損傷信息的非平穩(wěn)性，通過Fourier變換獲得的信號(hào)功率譜只能從頻域上表征信號(hào)的頻帶能量分布。基于現(xiàn)代信號(hào)分析技術(shù)的時(shí)變功率譜能夠從時(shí)間、頻率和幅值三個(gè)方面描述非平穩(wěn)隨機(jī)過程的時(shí)頻局部特性，特別適合在結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)的時(shí)變識(shí)別中應(yīng)用。

目前的計(jì)算信號(hào)時(shí)變功率譜的方法主要有短時(shí)Fourier變換(Short-time Fourier transform,STFT)、WVD(Wigner-Ville Distribution)分解、S變換、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解以及小波和小波包變換等[11-14]。由不同信號(hào)分析法得到的時(shí)變功率譜的數(shù)值及表現(xiàn)形式均有所差異，究其原因是目前的各種信號(hào)分析法均存在理論或?qū)嶋H運(yùn)算的不足。WVD分解雖然時(shí)頻分辨率高，但存在明顯的頻帶交叉項(xiàng)，且其時(shí)移不變性和頻移不變性特點(diǎn)限制其應(yīng)用。STFT雖然無(wú)交叉項(xiàng)干擾，但時(shí)頻分辨率低。S變換在高頻分辨率上的精度有明顯降低。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)和普適性。小波分解在高頻段的頻率分辨率較差，而在低頻段的時(shí)間分辨率較差。小波包分解是小波分解的推廣，具有更高的時(shí)頻分辨率和精度。對(duì)一個(gè)給定的正交小波函數(shù)，可以生成一組小波包基。每一個(gè)小波包基里提供一種特定的信號(hào)分析法，它可以保存信號(hào)的能量并根據(jù)特征進(jìn)行精確的重構(gòu)。在多分辨率分析中，對(duì)于給定的基本尺度函數(shù)φ(t)和基本小波函數(shù)ψ(t)，有雙尺度方程

(1)

式中:hk和gk為多分辨分析中定義的一組共軛鏡像濾波器。

推廣上述雙尺度方程，令u0(t)=φ(t)，u1(t)=ψ(t)，定義式(2):

(2)

稱{un(t)}為相對(duì)于φ(t)的正交小波包。將un(t)進(jìn)行二進(jìn)伸縮、平移可得小波包函數(shù)

(3)

式中:j為尺度參數(shù)，k為平移參數(shù)，n為頻率參數(shù)。

則，信號(hào)的小波包分解可表示為

(4)

(5)

對(duì)不同的窄帶信號(hào)分別進(jìn)行時(shí)頻分析，經(jīng)整合得到信號(hào)整體的時(shí)變功率譜或時(shí)頻譜。由上述分析可知，小波包采用正交小波將信號(hào)分解成各尺度上的正交小波包分量，再對(duì)各分量用其相應(yīng)的小波包基函數(shù)為窗函數(shù)進(jìn)行時(shí)頻變換。小波包分解機(jī)理明確，由此得到的時(shí)變功率譜從理論表達(dá)上是準(zhǔn)確的，且分辨率高，與前述信號(hào)分析技術(shù)相比是一種更精細(xì)的時(shí)頻分析法。

需要指出的是，小波包分解中對(duì)高頻部分進(jìn)行濾波和抽樣時(shí)由于不滿足Nyquist定理將產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象，即小波包分解的自然序列與信號(hào)頻帶排列順序不一致。在時(shí)頻譜分析中，有必要將小波包分解產(chǎn)生的Paley序子頻帶按升頻序列進(jìn)行重新排列。此外，選用不同的小波包基函數(shù)及分解層數(shù)產(chǎn)生的時(shí)頻譜也有差異，應(yīng)當(dāng)通過調(diào)試選取正交性、緊支撐性和近似對(duì)稱性較好的小波包基函數(shù)。一般認(rèn)為，只有離散Meyer(dmey)小波以及ReverseBior小波系和Coiflets小波系中小部分基函數(shù)可較準(zhǔn)確地描述模擬地震動(dòng)和結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)頻變化特征。

2時(shí)頻譜分析精度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)頻功率譜的目的是在堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上建立合理、可靠、便捷的時(shí)頻分布，以便準(zhǔn)確地同時(shí)反映結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)在時(shí)間和頻率上的能量或強(qiáng)度。根據(jù)已有研究成果提出的一系列信號(hào)時(shí)頻分析法可建立不同形式和精度的時(shí)頻功率譜，采用時(shí)域分辨率、頻域分辨率、交叉項(xiàng)強(qiáng)弱、抗噪性等定性的指標(biāo)對(duì)由不同分析法獲得的時(shí)頻譜的有效性和準(zhǔn)確性進(jìn)行大致的評(píng)判，但如何實(shí)現(xiàn)量化評(píng)判一直缺乏具體而深入的探討。

根據(jù)Parseval定理可得到非平穩(wěn)信號(hào)y(t)的時(shí)間和頻率邊緣條件如下

(6)

式中：Sy(t,ω)為非平穩(wěn)信號(hào)y(t)的時(shí)變功率譜;SFT(t)為信號(hào)的Fourier變換幅值譜。式(6)表明：信號(hào)某一特定時(shí)間的所有頻帶能量分布之和等于其瞬時(shí)能量；信號(hào)某一特定頻帶的能量分布在全部時(shí)間上的總和等于能量密度頻譜。由精確的時(shí)頻分析法計(jì)算得到的時(shí)變功率譜應(yīng)嚴(yán)格滿足上述條件。然而，利用實(shí)際的時(shí)頻分析法得到的時(shí)變功率譜很難具有足夠的精度，如何量化評(píng)價(jià)不同方法的準(zhǔn)確性雖然重要但相關(guān)的研究并不深入。考慮到上述邊緣條件，且一般分析中主要注重時(shí)變功率譜時(shí)頻分布特征而通常忽略其幅值的準(zhǔn)確性，本文提出利用時(shí)域和頻域歸一化邊緣值的誤差標(biāo)準(zhǔn)差量化評(píng)判時(shí)變功率譜的精度(見式(7))。

(7)

式中：Syn(ti,ω)為時(shí)變功率譜在時(shí)域上邊緣值(瞬時(shí)能量向量)Sn(ti,ω)的歸一化值；yn(ti)為非平穩(wěn)信號(hào)y(ti)的歸一化值；Syn(t,ωj)為時(shí)變功率譜在頻域上邊緣值(能量密度頻譜向量)Sy(t,ωj)的歸一化值；SFn(ωj)為信號(hào)Fourier幅值譜的歸一化值。

為了比較由不同時(shí)頻分析法獲得的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)頻譜的精度，選取了某5層鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在El Centro(EW)地震波作用下頂層前20 s加速度響應(yīng)作為分析對(duì)象，信號(hào)采樣頻率為50 Hz。值得指出的是，利用HHT或經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解獲得的時(shí)頻譜概念不嚴(yán)密，且其各IMF(Intrinsic Mode Function)分量不正交，頻帶分布不清晰。雖然近年來(lái)有研究者提出通過采用IMF分量正交化技術(shù)對(duì)HHT時(shí)頻譜進(jìn)行修正[15]，但仍不是真正意義上的時(shí)變功率譜，不予討論。此外，基于S變換或Chirplet變換的時(shí)頻譜不能保證頻域上的分辨率，效果不佳，也不予深入研究。上述舍棄的時(shí)頻方法各具特色，但更適合在某些具體信號(hào)的時(shí)變特征分析方面應(yīng)用而不能作為建立準(zhǔn)確時(shí)變功率譜的通用工具。采用STFT、修正WVD分解、小波分解和小波包分解等獲得的最佳時(shí)變功率譜(見圖1)，其中小波分解所用函數(shù)為11層Morlet復(fù)小波，小波包基函數(shù)為10層離散Meyer小波。對(duì)應(yīng)的頻域邊緣值和時(shí)域邊緣值分別見圖2和圖3。

圖1　不同時(shí)頻分析方法的時(shí)變功率譜Fig.1 Power spectra based on different methods

圖2　不同時(shí)頻分析方法的頻域邊緣值Fig.2 Frequency marginal based on different methods

圖3　不同時(shí)頻分析方法的時(shí)域邊緣值Fig.3 Time marginal based on different methods

從以上結(jié)果可知：結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)的時(shí)變功率譜復(fù)雜多變，僅依靠三維譜圖表觀上無(wú)法直接判斷其準(zhǔn)確度，必須結(jié)合時(shí)頻域邊緣值進(jìn)行量化分析才能比較和評(píng)價(jià)。由于STFT、修正WVD變換和小波變換不能兼顧時(shí)頻域的分辨率，因而也不作為獲得時(shí)變功率譜的可靠工具。以目前的時(shí)頻分析技術(shù)水平，只有利用具有適合的基函數(shù)及分解層次的小波包分解才能獲得相對(duì)精確的時(shí)變功率譜。根據(jù)式(7)計(jì)算得到的時(shí)頻域邊緣數(shù)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差(見圖4)，進(jìn)一步驗(yàn)證了上述結(jié)論。由此，后文將只討論由小波包變換獲得的結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)時(shí)變功率譜的特征及規(guī)律。

圖4　時(shí)頻域邊緣數(shù)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差Fig.4 Comparison of SD of the errors in marginal

3基于小波包脊的時(shí)變頻率提取及結(jié)構(gòu)地震損傷評(píng)估

由前文可知，j水平的小波包可通過帶通濾波器將結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)分解為2j個(gè)窄帶信號(hào)。在時(shí)頻譜中的各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上作切片并選取能量最大值，即求解時(shí)頻譜中的頻率突變點(diǎn)(局部極值點(diǎn))便能夠獲得頻率的時(shí)變過程，從而可以全面地反映結(jié)構(gòu)損傷的時(shí)間、頻譜和幅值變化特征。上述方法可視為以時(shí)間為走向的時(shí)頻山脈脊線的提取過程，也可稱為小波包脊的提取。結(jié)構(gòu)在地震作用下進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，不同階的頻率都將有所減小，為了避免頻率相互干擾，可針對(duì)結(jié)構(gòu)不同階頻率選取相應(yīng)的頻帶范圍，然后在指定頻帶的小波包時(shí)頻譜中提取小波包脊從而識(shí)別頻率的時(shí)變值。

由于頻率主要反映了結(jié)構(gòu)整體的動(dòng)力特性和損傷情況，評(píng)估結(jié)構(gòu)在單向水平地震下的損傷時(shí)可將結(jié)構(gòu)等效為具有雙線形力與變形關(guān)系的單自由度體系并研究其頻率變化特性(見圖5)。設(shè)等效體系彈性階段的剛度為k0，后屈服剛度為αk0；屈服強(qiáng)度和屈服位移分別為fy和uy。若在t時(shí)刻結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性狀態(tài)且位移達(dá)到ue時(shí)，等效力為fe(t)，等效剛度為ke(t)，時(shí)變延性系數(shù)為μe(t)=ue(t)/uy。假定結(jié)構(gòu)的損傷是結(jié)構(gòu)等效剛度損失造成的，則等效線性體系的時(shí)變損傷指標(biāo)D(t)可表示為:

(8)

式中：T0和f0為結(jié)構(gòu)彈性周期和頻率;Te(t)和fe(t)

為結(jié)構(gòu)塑性時(shí)變等效周期和時(shí)變等效頻率。利用小波包分解可獲得結(jié)構(gòu)某階時(shí)變頻率，再根據(jù)式(8)便可計(jì)算出時(shí)變損傷指標(biāo)，通?？扇〗Y(jié)構(gòu)動(dòng)力時(shí)程末段中較穩(wěn)定的損傷值或整體時(shí)程中最大損傷值作為綜合等效損傷。根據(jù)震后結(jié)構(gòu)的破壞程度和修復(fù)水平，可將震害劃分為基本完好、輕微破壞、中等破壞、嚴(yán)重破壞和倒塌5個(gè)等級(jí)。參考已有研究成果并結(jié)合上述損傷評(píng)估方法的特點(diǎn)[16]，定義對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)不同破壞等級(jí)的損傷指標(biāo)范圍(見表1)。通過式(8)和表1便可較便捷地實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)整體或其在某一方向的損傷評(píng)估。

圖5　結(jié)構(gòu)單自由度等效體系示意圖Fig.5 Scheme of equivalent system with SDOF

損傷程度破壞描述損傷指標(biāo)基本完好承重構(gòu)件完好,個(gè)別非承重構(gòu)件輕微損壞,附屬構(gòu)件有不同程度破壞0.00～0.10輕微損傷個(gè)別承重構(gòu)件有輕微殘余變形,個(gè)別非結(jié)構(gòu)構(gòu)件明顯破壞,附屬構(gòu)件有不同程度破壞0.10～0.20中等破壞多數(shù)承重構(gòu)件有輕微殘余變形,部分有明顯殘余變形,個(gè)別非結(jié)構(gòu)構(gòu)件嚴(yán)重破壞0.20～0.40嚴(yán)重破壞多數(shù)承重構(gòu)件嚴(yán)重破壞或部分倒塌0.40～0.70倒塌多數(shù)承重構(gòu)件倒塌0.70～1.0

然而，式(8)并不能完全反映結(jié)構(gòu)局部損傷狀態(tài)以及不同方向和振型的綜合損傷情況，因此，對(duì)于多維復(fù)雜結(jié)構(gòu)的時(shí)變綜合損傷指標(biāo)Dg可在式(8)的基礎(chǔ)上擴(kuò)展為

(9)

式中:x,y和z為結(jié)構(gòu)三個(gè)主軸方向;m,n和p分別為相應(yīng)方向參與損傷評(píng)估的振型數(shù)量;ρ為相應(yīng)的歸一化振型參與系數(shù);Dxi為x方向第i個(gè)振型對(duì)應(yīng)的損傷指標(biāo)，γxi為x向振型參與權(quán)重，可按下式計(jì)算

(10)

這樣，根據(jù)式(8)～式(10)的計(jì)算結(jié)果可實(shí)現(xiàn)多維復(fù)雜結(jié)構(gòu)的綜合損傷評(píng)估。

4算例

為了驗(yàn)證本文提出的基于小波包脊的時(shí)變頻率提取及結(jié)構(gòu)地震損傷評(píng)估方法的有效性，選取一座5層鋼筋混凝土偏心框架結(jié)構(gòu)作為算例，結(jié)構(gòu)所在場(chǎng)地類型為Ⅱ類，抗震設(shè)防烈度為8度(見圖6)，結(jié)構(gòu)平面尺寸為30 m×6 m，各層層高均為3 m。底部角柱截面600 mm×600 mm，其他柱截面300 mm×300 mm，配筋率為1.2%。梁截面分別為200 mm×500 mm和300 mm×600 mm，配筋率為0.8%。樓板厚120 mm，混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C35，鋼筋采用HRB400。結(jié)構(gòu)在x向和y向的偏心距分別為3 m和0.5 m。結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為5.2×105kg。

圖6　算例結(jié)構(gòu)三維示意圖Fig.6 Three-dimensional scheme for example structure

采用非線性有限元軟件Opensees建立模型，在El Centro、Taft和Loma Prieta地震記錄中分別選用一組典型的三向地震波進(jìn)行多維彈塑性時(shí)程分析。為考慮地震動(dòng)幅值對(duì)損傷程度的影響，依據(jù)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范要求將每一組地震動(dòng)X向的加速度幅值分別調(diào)至0.11 m/s2、0.22 m/s2和0.51 m/s2，并使X向、Y向和Z向的地震動(dòng)幅值比例為1∶0.85∶0.65，從而分別作為小震、中震和大震下的地震動(dòng)輸入。

利用Opensees里的時(shí)變剛度和頻率求解功能提取每一時(shí)間子步的各階頻率從而得到時(shí)變頻率時(shí)程，經(jīng)過適當(dāng)?shù)亩帱c(diǎn)平滑處理后可作為數(shù)值解以備參考。由于結(jié)構(gòu)的頂層響應(yīng)已經(jīng)蘊(yùn)含結(jié)構(gòu)多階模態(tài)信息和結(jié)構(gòu)整體損傷特征，因此選取頂層中間節(jié)點(diǎn)的兩水平向位移時(shí)程分別進(jìn)行小波包分解，其中小波包基函數(shù)為11層離散Meyer小波，從而獲得時(shí)變功率譜。之后選取適當(dāng)?shù)念l率范圍并基于小波包脊提取結(jié)構(gòu)的時(shí)變頻率，如果頻率時(shí)程中存在突變點(diǎn)可采用多點(diǎn)平滑算法處理。該結(jié)構(gòu)的前兩階初始彈性周期為1.074 s和0.754 s，分別為X向和Y向第一階水平振型。振型參與系數(shù)分別為0.408和0.329，考慮到豎向振型階數(shù)較高，且相應(yīng)的損傷較輕，因此可只識(shí)別兩水平的第一階頻率并用式(8)～式(10)進(jìn)行單向和綜合損傷評(píng)估。

圖7為El Centro波大震作用下，由頂層中間節(jié)點(diǎn)X向水平位移獲得的時(shí)變功率譜，頻率范圍為0.55～0.96 Hz?？梢娦〔ò咕哂忻黠@的時(shí)變特征，表明結(jié)構(gòu)的第一階頻率發(fā)生了較大變化，損傷較嚴(yán)重。圖8中，圖8(a)為由有限元計(jì)算得到的時(shí)變頻率時(shí)程和相應(yīng)的基于小波包脊提取的時(shí)變頻率，圖8(b)為結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)絕對(duì)值。兩種時(shí)變頻率均逐漸減少，二者變化趨勢(shì)一致、終值接近且和響應(yīng)幅值具有明顯的相關(guān)性，表明兩種方法均能夠較真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)損傷的過程、程度和細(xì)節(jié)，但后者具有突出的應(yīng)用性。由于在較嚴(yán)重?fù)p傷時(shí)結(jié)構(gòu)中較多構(gòu)件已發(fā)生屈服，有限元計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)時(shí)變剛度更多地反映了后屈服剛度特征，因此對(duì)應(yīng)的時(shí)變頻率一般比真實(shí)值偏低，這可通過以上兩種方法得到的時(shí)變頻率存在一定差異提供解釋。

圖7　結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)時(shí)變功率譜Fig.7 Time-frequency power spectrum of response

圖8　時(shí)變頻率和位移響應(yīng)對(duì)比Fig.8 Comparison for time-varying frequencies and response

圖9　時(shí)變頻率的對(duì)比Fig.9 Instantaneous frequency and time-frequency

圖9為X向大震下Taft波和Loma Prieta波作用時(shí)結(jié)構(gòu)的時(shí)變頻率的對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文的論述。圖10為按式(8)計(jì)算得到大震下三組地震的X向損傷指標(biāo)時(shí)程，可見基于時(shí)變頻率的損傷評(píng)估具有良好的通用性和精度。

圖11為El Centro波小震和中震下時(shí)變頻率的對(duì)比，結(jié)果相對(duì)更接近，表明該方法同樣適用于中小震害的評(píng)估，并具有較高的精度。圖12為El Centro大震下按式(8)計(jì)算得到的X向和Y向損傷指標(biāo)時(shí)程，以及按式(9)計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)綜合損傷指標(biāo)時(shí)程。參考表1以及有限元分析結(jié)果，進(jìn)一步確定結(jié)構(gòu)發(fā)生了嚴(yán)重?fù)p傷，驗(yàn)證了本方法的有效性和準(zhǔn)確性。

圖10　大震下X向損傷指標(biāo)時(shí)程Fig.10 Damage index history in x direction under rare earthquake

圖11　小震和中震下時(shí)變頻率的對(duì)比Fig.11 Instantaneous frequency and time-frequency

確定結(jié)構(gòu)綜合等效損傷值可采用損傷指標(biāo)時(shí)程末段中較穩(wěn)定的數(shù)值，表2列出了不同地震及幅值下的綜合等效損傷值?？烧J(rèn)為該建筑結(jié)構(gòu)在不同地震下均能實(shí)現(xiàn)小震下完好，中震下輕微損傷，在大震下發(fā)生嚴(yán)重破壞但仍有較強(qiáng)的抗倒塌能力。

表2　不同震害等級(jí)對(duì)應(yīng)的損傷指標(biāo)范圍

圖12　各向損傷指標(biāo)和綜合損傷指標(biāo)Fig.12 Damage index in different directions and overall index

綜上所述，本文提出的基于小波包變換和時(shí)變頻率的結(jié)構(gòu)地震損傷評(píng)估法可以較準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)的整體損傷演變過程和最終損傷程度，可在今后的結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析和驗(yàn)算以及安有地震記錄儀和傳感器的震后實(shí)際結(jié)構(gòu)損傷評(píng)估中廣泛應(yīng)用。

5結(jié)論

目前大部分工程結(jié)構(gòu)的地震損傷評(píng)估方法存在著機(jī)理不夠明確、指標(biāo)范圍不嚴(yán)格以及性能參數(shù)較難實(shí)際測(cè)試等不足?；陬l率或周期變化的損傷評(píng)估可以較準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)整體損傷特性，利用現(xiàn)代時(shí)頻分析等方法能夠獲取結(jié)構(gòu)響應(yīng)的時(shí)變功率譜，為研究地震下結(jié)構(gòu)頻率時(shí)變特性提供了有力工具。但由于地震動(dòng)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)均是典型的窄帶隨機(jī)過程，頻帶干擾較嚴(yán)重，傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法較難同時(shí)滿足時(shí)頻兩域的分辨率要求。本文將滿足時(shí)間和頻率邊緣條件的程度作為時(shí)頻譜分析精度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)并從機(jī)理上論述了基于特定基函數(shù)的小波包變換相對(duì)具有更高的時(shí)頻分辨率和精度?；谛〔ò儞Q獲得時(shí)變功率譜，并通過提取指定頻域內(nèi)時(shí)頻脊線可較精確地提取結(jié)構(gòu)低階頻率變化的時(shí)程。在此基礎(chǔ)上，依據(jù)結(jié)構(gòu)時(shí)變頻率的變化可計(jì)算出結(jié)構(gòu)的時(shí)變損傷程度指標(biāo)，進(jìn)而可評(píng)估多維地震作用下結(jié)構(gòu)的綜合損傷。

算例表明本文提出的基于小波包變換和時(shí)變頻率的結(jié)構(gòu)地震損傷評(píng)估方法，可以較準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)整體損傷演變過程和最終損傷程度。應(yīng)用本方法時(shí)僅需結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程，對(duì)結(jié)構(gòu)時(shí)程分析與驗(yàn)算以及實(shí)際結(jié)構(gòu)的震害評(píng)估均具有良好的適用性和精度，簡(jiǎn)單實(shí)用。

值得指出的是，小波基函數(shù)將顯著影響小波包變換的精度，如何針對(duì)地震動(dòng)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性選擇乃至建立小波基函數(shù)需要更深入的探究。目前的小波包變換只能提取差別較明顯的低階頻率，如何準(zhǔn)確提取高階頻率和密集頻率，從而改進(jìn)基于頻率變化評(píng)估結(jié)構(gòu)地震損傷方法以使其適合高層復(fù)雜結(jié)構(gòu)也需要進(jìn)一步的研究。

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Structural seismic damage assessment based on wavelet packet transformation and time-varying frequencies

HEHao-xiang1,2,CHENKui1,YANWei-ming1,2(1．Beijing Municipal Key Lab of Earthquake Engineering and Structural Retrofit，Beijing University of Technology, Beijing 100124，China; 2．Beijing Collaborative Innovation Center for Metropolitan Transportation, Beijing 100124，China)

Abstract:The structural seismic damage assessment method based on frequency changes has the advantages, such as, clear mechanism and high precision, but the time-frequency resolution for the traditional methods of signal analysis can not accurately meet the requirements of precision. Hence, the time-varying frequencies cannot be obtained directly from the response signals and the application of this damage assessment method is affected. Here, accuracy evaluation criteria for different signal analysis methods were presented based on marginal conditions in time-frequency domain, and the wavelet packet decomposition method with special wavelet basis functions was verified as an efficient tool to establish time-varying power spectrum on the basis of theoretical and computational analyses. The time-varying frequency extraction method based on wavelet packet ridge was proposed, and the structural time-varying seismic damage index was calculated according to structural frequency changes, furthermore, the structural multi-dimensional seismic damage assessment was realized. The examples showed that the seismic damage assessment method based on wavelet packet transformation and time-varying frequencies can accurately reveal the overall damage evolution process and the eventual damage level of a structure; this method only requires structural displacement histories, and has a good applicability for structural dynamic analysis, seismic design verification and seismic damage assessment of actual structures.

Key words:earthquake; damage assessment; wavelet packet transformation; time-varying frequency; time-varying power spectrum

中圖分類號(hào):TU362; TN911. 6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.004

收稿日期：2015-01-13修改稿收到日期：2015-04-19

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51478024); 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室重點(diǎn)項(xiàng)目(USDE201403)

第一作者 何浩祥 男，博士，副研究員，1978年生

E-mail: hhx7856@163.com