單個(gè)移動(dòng)集中荷載下簡(jiǎn)支梁的彈性臨界彎矩

褚昊，郭兵，管海龍

（山東建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101）

單個(gè)移動(dòng)集中荷載下簡(jiǎn)支梁的彈性臨界彎矩

褚昊，郭兵*，管海龍

（山東建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101）

簡(jiǎn)支梁的臨界彎矩計(jì)算公式都有其特定的適用范圍，其中單個(gè)集中荷載下的計(jì)算公式只能適用于荷載作用于特殊位置的情況，當(dāng)荷載作用在其他位置時(shí)計(jì)算結(jié)果偏差較大。文章基于Bleich的總勢(shì)能公式，假設(shè)了可以模擬任意彎扭變形及彎矩圖的函數(shù)，圍繞單個(gè)集中荷載作用于任意位置時(shí)簡(jiǎn)支梁的臨界彎矩展開(kāi)研究，通過(guò)瑞利—里茲法，分析了單個(gè)集中荷載處于簡(jiǎn)支梁任意位置時(shí)臨界彎矩的計(jì)算公式，并通過(guò)函數(shù)擬合，提出了公式中相關(guān)參數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，同時(shí)進(jìn)行算例分析，驗(yàn)證所給公式的精確性。結(jié)果表明：文章所給的臨界彎矩計(jì)算公式能夠計(jì)算單個(gè)集中荷載作用于簡(jiǎn)支梁任意位置時(shí)的臨界彎矩；公式形式與傳統(tǒng)公式一致，但公式中參數(shù) C1、C2、C3不再是具體數(shù)值，改用計(jì)算公式表達(dá)，適用范圍更廣；文章算例中，所給公式的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)計(jì)算方法所得結(jié)果最大偏差僅為5.4%。

簡(jiǎn)支梁；單個(gè)移動(dòng)荷載；彈性臨界彎矩；瑞利—里茲法

0 引言

受彎構(gòu)件的整體穩(wěn)定問(wèn)題一直存在爭(zhēng)議，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者都曾對(duì)簡(jiǎn)支梁的彎扭屈曲問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究［1－6］。GB 50017－2003《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》在計(jì)算及彎構(gòu)件的整體是系數(shù)時(shí)用到了彈性臨界彎矩［7－8］。但其給出的 Mcr計(jì)算方法不能涵蓋所有的受荷情況。

推導(dǎo)臨界彎矩的總勢(shì)能公式主要有 Bleich公式［9］、童根樹(shù)公式［10］和 呂 烈 武 公 式［11］。目 前，計(jì) 算彈性臨界彎矩的方法很多，Kirby提出橫向荷載作用于剪心時(shí) Mcr的計(jì)算公式［12］，陳紹蕃提出荷載作用于上、下翼緣時(shí)Mcr的計(jì)算方法［13］，但二者都有其特定的適用范圍，而使用等效彎矩系數(shù)法，是將非均勻受彎等效成均勻受彎的近似方法；周緒紅等［14］和劉占科等［15］提出了荷載作用在任意位置時(shí) Mcr的通用計(jì)算公式，但其采用的變形函數(shù)相對(duì)簡(jiǎn)單，只能適用于對(duì)稱荷載，當(dāng)荷載非對(duì)稱時(shí)，計(jì)算結(jié)果偏差較大。Clark等提出三參數(shù)法，通過(guò) C1、C2、C3三個(gè)參數(shù)綜合考慮各因素對(duì)彈性臨界彎矩值的影響，計(jì)算精度較高。文章將依據(jù)Bleich的總勢(shì)能公式，采用可以模擬任意彎扭變形的位移函數(shù)和彎矩表達(dá)式，通過(guò)瑞利—里茲法和三參數(shù)法，推導(dǎo)單個(gè)移動(dòng)集中荷載作用下簡(jiǎn)支梁的 Mcr計(jì)算公式。

1 基本假設(shè)

對(duì)于單個(gè)集中荷載 P作用下的單向受彎簡(jiǎn)支梁，由 Bleich總勢(shì)能公式可得構(gòu)件的總勢(shì)能，由式（1）表示為

式中：П為總勢(shì)能，J；l為簡(jiǎn)支梁的跨度，m；E、G分別為彈性模量和剪切模量，N／mm2；Iy、It分別為繞y軸的慣性矩、自由扭轉(zhuǎn)慣性矩，mm4；Iω為繞y軸的翹曲慣性矩，mm6；βy為截面不對(duì)稱參數(shù)；M為z坐標(biāo)處的截面彎矩，kN·m；u為 z坐標(biāo)處的剪心側(cè)向位移，mm；θ為z坐標(biāo)處的截面扭轉(zhuǎn)角；a為荷載P作用點(diǎn)到剪心S的距離，mm；荷載作用點(diǎn)位于受壓區(qū)時(shí)a取負(fù)值，反之取正值；θP為P作用處的截面扭轉(zhuǎn)角；如圖1所示。圖1中，P代表集中荷載，kN；zP表示荷載作用點(diǎn)距簡(jiǎn)支梁端的距離，m；S、O分別為截面的剪心和形心；S′、O′分別為構(gòu)件發(fā)生位移后截面的剪心和形心。

圖1 構(gòu)件坐標(biāo)、荷載及截面?zhèn)认驈澟の灰茍D

1.1 彎扭變形函數(shù)

假設(shè)構(gòu)件的側(cè)向位移 u、扭轉(zhuǎn)角θ分別由式（2）～（5）表示為

式中：A、B、C分別為獨(dú)立的廣義坐標(biāo)；ψ、ζ分別為基函數(shù)。

則 P作用處的截面扭轉(zhuǎn)角由式（6）表示為

1.2 彎矩表達(dá)式

單個(gè)集中荷載作用下，簡(jiǎn)支梁的最大彎矩由式（7）表示為

則構(gòu)件上任意z坐標(biāo)處的彎矩M分別由式（8）～（9）表示為

穩(wěn)定分析時(shí)還需建立P與Mmax的式（10）關(guān)系，引入等效力臂e，令

將式（7）代入式（10）可得式（11）為

2 簡(jiǎn)支梁臨界彎矩的通用公式

2.1 臨界彎矩公式及參數(shù)表達(dá)式

將式（2）～（11）帶入總勢(shì)能公式（1），并逐項(xiàng)分解由式（12）～（17）表示為

為方便表達(dá)，引入?yún)?shù)由式（18）～（25）表示為

總勢(shì)能由式（26）表示為

在式（26）中，根據(jù)勢(shì)能駐值原理 ?Π／?A＝0、?Π／?B＝0、?Π／?C＝0可得線性方程組由式（27）～（29）表示為

線性方程組恒成立的條件是系數(shù)行列式（30）為零，即

可得特征方程式（31）為

將 k5、k6、k7的值代入上式可解得 Mmax的最小值，也即臨界彎矩由式（32）表示為

為方便與傳統(tǒng)公式相對(duì)照，將式（32）寫(xiě)成式（33）為

其中，參數(shù) C1、C2、C3的表達(dá)式分別由式（34）～（36）表示為

2.2 典型算例驗(yàn)證

當(dāng)跨中央作用一個(gè)集中荷載時(shí)，zP＝l／2、Mmax＝Pl／4，此時(shí)式（9）簡(jiǎn)化為式（37）為

式（11）簡(jiǎn)化為式（38）為

將上述參數(shù)代入式（18）～（21）可得

再將 k1～k4代入式（34）～（36）可得 C1＝1.42、C2＝0.58，C3＝0.42；傳統(tǒng)公式所得解［17］為 C1＝1.37，C2＝0.55和C3＝0.41，三個(gè)參數(shù)中的最大偏差為5.4%，由此計(jì)算的臨界彎矩也偏差很小。

3 C1、C2、C3的簡(jiǎn)化

3.1 C1、C2、C3的擬合

將式（9）代入式（18）～（20），式（11）代入式（21），可得式（40）～（43）為

由式（40）～（43）可以看出，k1～k4的計(jì)算公式較為復(fù)雜，使得公式（34）～（36）的計(jì)算比較困難，不方便實(shí)際應(yīng)用。為簡(jiǎn)化計(jì)算，文章利用簡(jiǎn)支梁的對(duì)稱性，在（0，l／2］區(qū)間上等分的取十個(gè)點(diǎn)，由式（40）～（43）分別求出每個(gè)點(diǎn)處 C1、C2、C3的具體值，見(jiàn)表1。然后通過(guò)函數(shù)擬合，得出C1、C2、C3簡(jiǎn)化的計(jì)算方法。zP－C1、zP－C2、zP－C3之間的函數(shù)關(guān)系曲線如圖2所示。圖2中的三條曲線分別擬合成式（44）～（46）為

表 1 利用式（40）～（43）計(jì)算的 C1、C2、C3值

圖 2 zP－C1、zP－C2、zP－C3的關(guān)系曲線圖

利用公式（44）～（46）求得的C1、C2、C3的值見(jiàn)表2。

對(duì)比表 1、2可得，相差最大的是 0.4l處C3的值，僅相差4.5%。

表 2 利用式（44）～（46）計(jì)算的 C1、C2、C3值

3.2 典型算例驗(yàn)證

如圖3（a）所示簡(jiǎn)支梁，l為 9.0 m；采用雙軸對(duì)稱工字型截面，材料為Q235鋼，截面尺寸如圖3（b）所示。簡(jiǎn)支梁僅在 l／4處承擔(dān)一個(gè)集中荷載 P，荷載作用于剪心 S，即 a＝0。圖3中，zP表示荷載作用點(diǎn)距簡(jiǎn)支梁端的距離，m；l表示簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)度，m；S、O分別為截面的剪心和形心。

圖3 l／4處作用一個(gè)集中荷載的單向受彎簡(jiǎn)支梁

由圖3（b）可得構(gòu)件的截面特性為：Iy＝6.56× 107mm4、Iω＝6.97×1012mm6、It＝6.29×105mm4；而Q235鋼有 E＝2.06×105N／mm2、G＝0.79×105N／mm2；由式（41）～（43）可得C1＝1.52、C2＝0.41、C3＝0.56。將以上數(shù)據(jù)代入式（19）可得 Mcr＝921.95 kN·m。經(jīng)典解［17］為 Mcr＝879.49 kN·m，誤差僅為4.8%。因此，式（41）～（43）較為合理。

4 結(jié)論

文章基于 Bleich的總勢(shì)能公式，通過(guò)瑞利—里茲法進(jìn)行了一系列推導(dǎo)，給出了單個(gè)集中荷載作用于任意位置時(shí)簡(jiǎn)支梁臨界彎矩的計(jì)算方法，并得出以下結(jié)論：

（1）文章所給公式適用于單個(gè)集中荷載作用于簡(jiǎn)支梁任意位置時(shí)的情況，適用范圍相對(duì)較廣。

（2）通過(guò)函數(shù)擬合簡(jiǎn)化了參數(shù) C1、C2、C3的計(jì)算公式，方便使用。

（3）算例中，所給公式的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)計(jì)算方法所得結(jié)果最大偏差僅為5.4%，表明文章所給公式仍具有較高的精度。

文章所給公式也有其局限性：采用 Bleich的總勢(shì)能公式進(jìn)行推導(dǎo)，未考慮童根樹(shù)、呂烈武等對(duì)總勢(shì)能公式的修正；也未能給出多個(gè)集中荷載作用下及復(fù)合荷載作用下簡(jiǎn)支梁臨界彎矩的通用公式，這也是未來(lái)研究工作的方向。

［1］ Andrade A.，Camotimb D..Costa P providência e，on the evaluation of elastic critical moments in doubly and singly symmetric isection cantilevers［J］.Journal of Constructional Steel Research，2007，63（7）：894－908.

［2］ Challamel N.，Wang C.M..Exact lateral-torsional buckling solutions for cantilevered beams subjected to intermediate and end transverse point loads［J］.Thin-Walled Structures，2010，48（1）：71－76.

［3］ 羅金輝，顧強(qiáng)，方有珍.端彎矩及橫向均布荷載共同作用下鋼梁的整體穩(wěn)定研究［J］.鋼結(jié)構(gòu)，2009，24（ST1）：148－152.

［4］ 秦樺，郭成喜.單軸對(duì)稱工字形截面懸臂鋼梁在橫向荷載作用下的整體穩(wěn)定性研究［J］.工程力學(xué)，2009（9）：152－155.

［5］ 楊波.工字梁在彎矩和均布荷載作用下的整體穩(wěn)定［J］.鋼結(jié)構(gòu)，2012，27（11）：23－25.

［6］ 周芬，池云祥，杜運(yùn)興.上下翼緣同時(shí)受荷的工字形鋼梁整體穩(wěn)定性分析［J］.湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，39（11）：7－12.

［7］ GB 50017—2003，鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京：中國(guó)計(jì)劃出版社，2003.

［8］ 童根樹(shù).鋼梁穩(wěn)定性再研究：中國(guó)規(guī)范的演化及其存在問(wèn)題（I）［J］.工業(yè)建筑，2014，44（1）：149－153.

［9］ Bleich F..Buckling Strength of Metal Structures［M］.New York：McGraw－Hill，1952.

［10］童根樹(shù).鋼結(jié)構(gòu)的平面外穩(wěn)定（修訂版）［M］.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2013.

［11］呂烈武，沈世釗，沈祖炎，等.鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件穩(wěn)定理論［M］.北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，1983.

［12］Kirby P.A.，Nethercot D.A..Design for Structural Stability［M］.Suffolk：Constrado Monographs，1979.

［13］陳紹蕃.有約束梁的整體穩(wěn)定［J］.鋼結(jié)構(gòu)，2008，23（8）：20－ 25.

［14］周緒紅，劉占科，陳明，等.鋼梁彎扭屈曲臨界彎矩通用公式研究［J］.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2013，34（5）：80－86.

［15］劉占科，周緒紅，何子奇，等.復(fù)合荷載作用下簡(jiǎn)支鋼梁彈性彎扭屈曲研究［J］.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2014，35（4）：78－85.

［16］Clark J.W.，Hill H.N..Lateral buckling of beams［J］.Journal of Structural Division，The American Society of Civil Engineers，1960，86（ST7）：175－196.

［17］陳驥.鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與設(shè)計(jì)（第6版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2014.

Elastic critical moment of simply supported beams under a moving concentrated load

Chu Hao，Guo Bing*，Guan Hailong
（School of Civil Engineering，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

The critical moment design formula of simply supported beam has its specific scope of application，and the design formula of a single concentrated load is applicable only to special positions，while the result of load acting on other positions is large deviation.Based on Bleich’s total potential formula，the article assumed that any functions of bending and torsion deformation and bending moment diagram can be simulated，conducted the research on the critical moment of simply supported beam focusing on single concentrated load，analyzed critical moment design formula of single concentrated load in any position，put forward simplified calculation method for relevant parameters in formula，meanwhile made illustrative examples and verified accuracy of formula.The result turned out that the given critical moment design formula is capable of calculating critical moment design formula of single concentrated load in any position；the formula is consistent with traditional formula，the parameters C1，C2，C3are not specific values，but expressed in calculation formula，the scope of application is broader.In the case study，the maximum deviation of given formula calculation result and traditional calculation method is simply 5.4%.

simply supported beam；single moving load；elastic critical moment；Rayleigh-Ritz method

TU391

A

1673－7644（2016）05－00466－05

2016－07－01

禇昊（1991－），男，在讀碩士，主要從事鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等方面的研究.E-mail：36510485＠qq.com

*：郭兵（1970－），男，教授，博士，主要從事鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定及抗震等方面的研究.E-mail：sdgb123＠163.com