基于PSO的一類線性系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)方法研究*

李　珍， 魏利勝**， 程運(yùn)昌

(1.安徽工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院,安徽 蕪湖 241000；2.國網(wǎng)霍邱縣供電有限責(zé)任公司,安徽 六安 237400)

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基于PSO的一類線性系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)方法研究*

李珍1， 魏利勝1**， 程運(yùn)昌2

(1.安徽工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院,安徽 蕪湖 241000；2.國網(wǎng)霍邱縣供電有限責(zé)任公司,安徽 六安 237400)

摘要：研究了一種線性系統(tǒng)的參數(shù)精確辨識(shí)方法；首先采用PSO(Particle Swarm Optimization，粒子群優(yōu)化)方法對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化迭代，并選擇合適誤差準(zhǔn)則作為粒子群優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)，以迭代每個(gè)粒子所對(duì)應(yīng)的參數(shù)速度和大??；在此基礎(chǔ)上，尋找最小適應(yīng)度值的粒子，推導(dǎo)出最優(yōu)的適應(yīng)度函數(shù)值，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)的實(shí)時(shí)、精確估計(jì)；最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了基于粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)辨識(shí)法的準(zhǔn)確性和有效性。

關(guān)鍵詞：參數(shù)辨識(shí)；PSO方法；準(zhǔn)則函數(shù)

系統(tǒng)辨識(shí)是一種數(shù)學(xué)表達(dá)式，主要用于建立其狀態(tài)參數(shù)之間及其與外作用的相互作用、相互制約的關(guān)系[1-2]。建立一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，將為后續(xù)的系統(tǒng)控制提供較大的幫助，可以幫助人們對(duì)系統(tǒng)本質(zhì)特征有一個(gè)更加充分的認(rèn)識(shí)。而系統(tǒng)辨識(shí)就是一種利用系統(tǒng)運(yùn)行或試驗(yàn)的輸入輸出數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的理論和方法，被廣泛地應(yīng)用于工業(yè)控制、醫(yī)學(xué)輔助等眾多領(lǐng)域。由于實(shí)際研究對(duì)象通常都非常復(fù)雜，且內(nèi)部激勵(lì)不完全清楚，導(dǎo)致其數(shù)學(xué)模型很難直接獲取。因此，許多科研工作者根據(jù)系統(tǒng)辨識(shí)方法對(duì)對(duì)象模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

朱呈祥等[3]向人們提出了又一種辨識(shí)的方法，針對(duì)線性系統(tǒng)引入一種PIλDμ控制器來實(shí)現(xiàn)辨識(shí)，用被濾波的差值傳遞方程刻畫出一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，控制系統(tǒng)是以差值為狀態(tài)變量，同時(shí)通過解決使用狀態(tài)反饋方法使得誤差系統(tǒng)狀態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定的問題，達(dá)到辨識(shí)誤差的校正與限制。俞林宏等[4]提出了利用遞推空間的辨識(shí)方法，依據(jù)傳播函數(shù)把對(duì)應(yīng)的能觀矩陣進(jìn)行分解，能觀矩陣的更新是依據(jù)遞推的最小二乘法準(zhǔn)則、線性算子以及遞推的估計(jì)傳播函數(shù)。程軼平等[5]研究了關(guān)于形態(tài)空間的辨識(shí)方法，在求出系統(tǒng)中預(yù)估器的馬兒可夫參數(shù)、狀態(tài)序列、預(yù)估器的可觀性矩陣之間的成積矩陣之后，再次依據(jù)多元的線性回歸求出它的各個(gè)矩陣來實(shí)現(xiàn)參數(shù)的辨識(shí)。徐曉龍等[6]運(yùn)用了粒子群的優(yōu)化方法，將最大的似然標(biāo)準(zhǔn)看作適應(yīng)度的函數(shù)，通過粒子群算法將參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)變?yōu)槟繕?biāo)優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[7]中，應(yīng)用了離線的ARX(Auto-Regression with eXog-enous variables，有源自回歸)法和在線遺忘因子的RARX法(Recursive ARX，遞推式有源自回歸)，根據(jù)地震響應(yīng)的記錄數(shù)據(jù)來對(duì)建筑物在地震損傷中時(shí)變與時(shí)不變的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。這些方法都有一定的局限性，有的需要矩陣必須是可觀測的，實(shí)際中ARX模型可能會(huì)出現(xiàn)丟失和虛假模態(tài)的情況，并且在大型或復(fù)雜系統(tǒng)中，RARX法的適用性還有待檢驗(yàn)。

通過對(duì)現(xiàn)有的辨識(shí)方法的比較和分析，并考慮到PSO優(yōu)化方法具有速度非?？臁⒄{(diào)整參數(shù)少，且不要求矩陣的可觀測性與結(jié)構(gòu)是否復(fù)雜等特點(diǎn)[8]，擬將PSO方法引入到系統(tǒng)參數(shù)的實(shí)時(shí)估計(jì)中。在利用PSO方法的參數(shù)具體估計(jì)過程中，將誤差準(zhǔn)則函數(shù)作為該算法的適應(yīng)度函數(shù)，粒子參數(shù)的速度與大小更新根據(jù)該算法的公式來完成。對(duì)于速度與大小的更新，是同時(shí)根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和本次數(shù)據(jù)來計(jì)算得到下次的速度與大小，數(shù)據(jù)可靠性將更高。對(duì)于線性系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)，分別采用該算法與最小二乘遺傳遞推算法，分析其收斂性與準(zhǔn)確性，為以后更多不同系統(tǒng)中的參數(shù)估計(jì)提供辨識(shí)的基礎(chǔ)。

1粒子群優(yōu)化算法基本原理

自1995年P(guān)SO方法首次被提出以來，得到了研究者的青睞。PSO方法屬于進(jìn)化計(jì)算方法中的一種新方法[9-10]，具有系統(tǒng)一開始就要給予每一個(gè)粒子一個(gè)隨機(jī)的速度，同時(shí)保證每個(gè)粒子可以在整個(gè)問題空間流動(dòng)；每一個(gè)粒子都是記憶粒子；粒子的進(jìn)化是經(jīng)過粒子之間的淘汰與協(xié)作來實(shí)現(xiàn)的等特點(diǎn)；同時(shí)，PSO具有手動(dòng)調(diào)整參數(shù)較少，相關(guān)編程簡單等諸多優(yōu)點(diǎn)，致其發(fā)展速度非常迅速[1]。

步驟1：在給定的搜索區(qū)域當(dāng)中，隨機(jī)產(chǎn)生粒子的位置大小與速度來初始化粒子群。

步驟3：對(duì)i=1,2,…,N，求出整個(gè)粒子群中的gbest和pg，即全部粒子中所搜索到的最優(yōu)的適應(yīng)度與全部粒子中所搜索到的最優(yōu)位置。

步驟4：對(duì)i=1,2,…,N，表示出粒子i在當(dāng)前位置xi處的適應(yīng)度值fitnessi。

步驟5：粒子的位置大小與速度按照下面的式子來變換：

(1)

(2)

(3)

(4)

式(4)中，wmax、wmin分別是w的最大與最小值；t、Tmax分別是當(dāng)前進(jìn)化次數(shù)與最大進(jìn)化次數(shù)。

步驟8：當(dāng)算法中的適應(yīng)度值gbest小于了事先設(shè)定好的閾值ε時(shí)或則到達(dá)了最大的循環(huán)次數(shù)Tmax，就終止計(jì)算，不然就轉(zhuǎn)接到步驟4。

2基于粒子群優(yōu)化算法的系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)

在系統(tǒng)辨識(shí)中，主要考慮一類單輸入單輸出動(dòng)態(tài)系統(tǒng)[12]，其參數(shù)辨識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖1中，系統(tǒng)的輸入u(k)與輸出z(k)是都是可以觀測的；系統(tǒng)的模子由G(z-1)來表示，其形容了系統(tǒng)的輸入與輸出的特征，系統(tǒng)的實(shí)際輸出則取y(k)來表達(dá)。而N(z-1)則是噪聲的模型，設(shè)定不相關(guān)的隨機(jī)噪聲v(k)的均值為零。通常情況下：

其中A(k)、B(k)、C(k)和D(k)分別為

當(dāng)系統(tǒng)選取滑動(dòng)模型時(shí)，則

(5)

若假定模型階次na，nb和nd已經(jīng)確定，并令

將式(5)化為最小二乘格式，可得：

(6)

基于PSO系統(tǒng)辨識(shí)的實(shí)質(zhì)問題也就是將辨識(shí)問題作為優(yōu)化問題來考慮。對(duì)于SISO動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模型：

(7)

式(7)中：z(k)表示系統(tǒng)的輸出；u(k)表示系統(tǒng)的輸入信號(hào)；零均值且方差為σ2的高斯白噪聲由v(k)來表示，v(k)與u(k)相互之間是獨(dú)立的。

(8)

從進(jìn)化計(jì)算的角度講，將J(θ)作為粒子群優(yōu)化算法中的適應(yīng)度函數(shù)，基于PSO參數(shù)辨識(shí)的目的是使J(θ)最小，則其對(duì)應(yīng)的位置即為被辨識(shí)的參數(shù)。由于極小化式(8)是屬于在線優(yōu)化問題，可以采用PSO算法求式(8)的極小值及其對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)。

3仿真實(shí)驗(yàn)

依據(jù)被辨識(shí)系統(tǒng)的真實(shí)的輸入-輸出數(shù)據(jù)，從已知的一組類似模型中來選擇出一個(gè)與待辨識(shí)系統(tǒng)等價(jià)的系統(tǒng)模型。然后再利用MATLAB軟件進(jìn)行編程。利用粒子群優(yōu)化算法和最小二乘遺傳遞推算法來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)辨識(shí)的仿真，給出系統(tǒng)辨識(shí)的仿真全過程，可以將其作為實(shí)際的工程中的一個(gè)簡單的基礎(chǔ)知識(shí)[12]。

對(duì)于系統(tǒng)的兩種辨識(shí)方法即粒子群優(yōu)化算法和最小二乘遺傳遞推算法的仿真結(jié)果為

(9)

模型產(chǎn)生的隨機(jī)輸入信號(hào)和隨機(jī)噪聲信號(hào)如圖3所示，圖中噪聲信號(hào)的不同顏色代表了不同的維數(shù)，噪聲信號(hào)是一個(gè)L×L維的信號(hào)。

圖3　模型的輸入信號(hào)圖和噪聲信號(hào)圖Fig.3　Input signal and noise signal of the model

對(duì)于待辨識(shí)參數(shù)而言，比較兩種辨識(shí)算法的仿真圖。圖4是采用粒子群優(yōu)化方法來進(jìn)行系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)，應(yīng)用式(8)作為適應(yīng)度函數(shù)的參數(shù)仿真圖，圖5是采用最小二乘遺傳遞推方法來進(jìn)行系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)。兩圖比較可見，在圖4中辨識(shí)的參數(shù)最早的只需要5次左右的循環(huán)就趨于收斂了，最晚也只需要35次左右的循環(huán)就趨于收斂了，且每個(gè)參數(shù)的波動(dòng)性都比較平緩。而在圖5中辨識(shí)的參數(shù)最早的需要10次左右的循環(huán)才趨于收斂，最晚的需要120次左右的循環(huán)才趨于收斂，且相比而言每個(gè)參數(shù)的波動(dòng)性要大。由圖4可以看得出，參數(shù)a1在循環(huán)次數(shù)達(dá)到20次就開始趨于收斂，循環(huán)次數(shù)達(dá)到40次的時(shí)候，參數(shù)的估計(jì)值就不再抖動(dòng)，保持在-1.5不變了；由圖5可以看得出，參數(shù)a1在循環(huán)次數(shù)達(dá)到40次才開始趨于收斂，循環(huán)次數(shù)達(dá)到170次的時(shí)候，參數(shù)的估計(jì)值就幾乎不再抖動(dòng)，保持在-1.325 7了。同理其他參數(shù)的比較也可以看出。由此可知，粒子群的優(yōu)化算法相比較最小二乘遺傳遞推算法可以更準(zhǔn)確和快速的估計(jì)出參數(shù)。

從圖4、圖5中可得出兩種辨識(shí)方法估計(jì)出來的參數(shù)大小見表1。

圖4　基于粒子群優(yōu)化算法的辨識(shí)參數(shù)Fig.4　Recognition paramther based on PSO

圖5　最小二乘遺傳遞推算法的辨識(shí)參數(shù)[10]Fig.5　Recognition parameter of deduction algorithm of least square

參數(shù)a1a2b1b2d1實(shí)際值-1.50.710.51文獻(xiàn)[10]方法-1.32570.62241.04410.53590.0291方法-1.50.710.51

從表1中可知，PSO方法可以確切的估計(jì)出參數(shù)的大小，a1=-1.5、a2=0.7、b1=1、b2=0.5、d1=1。與最小二乘遺傳遞推算法相比較而言，粒子群優(yōu)化算法具有辨識(shí)精確的特點(diǎn)。

圖6是采用粒子群的優(yōu)化方法來進(jìn)行的參數(shù)估計(jì)，圖7是采用最小二乘遺傳遞推方法來進(jìn)行的參數(shù)估計(jì)。兩圖比較可見，在圖6中有噪聲的系統(tǒng)輸出與模型辨識(shí)輸出的圖形幾乎是90%多的吻合，誤差范圍在-0.5～1.5。在圖8中有噪聲的系統(tǒng)實(shí)際輸出與模型辨識(shí)輸出的圖形有60%左右的吻合度，它們的誤差變化范圍在-10～5之間。相比較而言圖6誤差圖形比圖7誤差圖形的波動(dòng)要平緩得多。由此可見，運(yùn)用粒子群的優(yōu)化算法相比較最小二乘遺傳遞推算法可以使辨識(shí)輸出值與系統(tǒng)的實(shí)際輸出值之間的誤差更小，體現(xiàn)了方法的準(zhǔn)確性更高。

圖6　基于粒子群優(yōu)化算法輸出誤差圖Fig.6　Output deviation chart

圖7　最小二乘遺傳遞推算法輸出誤差圖[11]Fig.7　Deviation chart of LS genetic dedution algorithm

在圖8中是采用的粒子群優(yōu)化算法的性能函數(shù)用Pbest表示，采用最小二乘遺傳遞推算法性能函數(shù)用J表示。性能指標(biāo)由式(8)來表示。從圖8可知，采用粒子群優(yōu)化的方法，進(jìn)化次數(shù)在5次左右，性能函數(shù)就趨于收斂了，而且收斂于8.662 6e-019，它的性能函數(shù)的最大值趨于500。而采用最小二乘遺傳遞推的方法，在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到20次左右時(shí)，性能函數(shù)才趨于收斂，收斂于300左右，它的性能函數(shù)的最大值達(dá)到了4 500多。由此可以得出粒子群的優(yōu)化算法的收斂性更好，收斂速度也是非?？斓?。

圖8　性能指標(biāo)與進(jìn)化次數(shù)的關(guān)系Fig.8　Relation between performance indexand evolution number

4結(jié)論

運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)引用的方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，比較算法的仿真圖與估計(jì)的參數(shù)值可以看出，PSO方法可以解決系統(tǒng)中參數(shù)估計(jì)的難題。算法不但可以解決線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的參數(shù)辨識(shí)問題，相比較其他傳統(tǒng)算法如仿真試驗(yàn)中引用的最小二乘遺傳遞推算法，算法的辨識(shí)效果更好，不管對(duì)于數(shù)據(jù)的收斂速度還是對(duì)于參數(shù)的辨識(shí)精確度；算法的實(shí)現(xiàn)還比較簡單，故可以將此算法進(jìn)一步引用到其他系統(tǒng)中。

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責(zé)任編輯：田靜

Research on Parameter Identification Method fora Class of Linear System Based on PSO

LI Zhen1, WEI Li-sheng1, CHENG Yun-chang2

(1.School of Electrical Engineering, Anhui Polytechnic University, Anhui Wuhu 241000, China;2.State Grid Huoqiu County Electric Power Supply Co., Ltd, Anhui Liuan 237400, China)

Abstract：This paper studies an accurate identification method for the parameters for a class of linear system, firstly uses PSO (Particle Swarm Optimization) to optimize and iterate the model, chooses suitable deviation standard as the fitness function of the PSO algorithm to iterate the relative parameter speed and size of each particle, on the basis of this, seeks the particle with minimum fitness vale, deducts the optimal fitness function value, implements real-time and accurate estimation of systematic parameters and finally uses experiment to test the accuracy and effectiveness of PSO algorithm based parameter identification method.

Key words：parameter identification; PSO algorithm; criterion function

中圖分類號(hào)：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-058X(2016)02-0008-06

作者簡介：李珍(1989-),女,安徽樅陽人,碩士研究生,從事智能化網(wǎng)絡(luò)控制理論、系統(tǒng)仿真研究.**通訊作者：魏利勝(1978-),男,安徽巢湖人,副教授,博士,從事嵌入式儀器儀表及系統(tǒng)、智能化網(wǎng)絡(luò)控制理論、系統(tǒng)仿真研究.E-mail:lshwei_11@163.com.

*基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61203033；61172131；61271377).

收稿日期：2015-10-24；修回日期：2015-11-30.

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0002.003