到兩點(diǎn)的距離和最短問(wèn)題的應(yīng)用

廖華彬

[摘 要]到兩點(diǎn)距離和最短問(wèn)題，在生產(chǎn)生活和學(xué)習(xí)中都有著廣泛的應(yīng)用。解決到兩點(diǎn)距離和最短問(wèn)題，在培養(yǎng)學(xué)生的“四基”、創(chuàng)新思維和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題方面有著不可替代的作用。

[關(guān)鍵詞]矩離和最短；軸對(duì)稱(chēng)；最小值；應(yīng)用

例1：如圖1-1所示，直線(xiàn)l的同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，在直線(xiàn)l上求作一點(diǎn)P，使AP+BP值最小。

[簡(jiǎn)析]這個(gè)問(wèn)題，我們把它簡(jiǎn)稱(chēng)為“到兩點(diǎn)的矩離和最短問(wèn)題”。要求AP+BP最小值，很容易聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”。如何使AP和BP在一條線(xiàn)上呢？可以嘗試通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換達(dá)到目的。

[略解]如圖1-2，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接CB交直線(xiàn)l于P；則點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)。這種方法，我們稱(chēng)它為“軸對(duì)稱(chēng)法”。

[略證]如圖1-2，在直線(xiàn)l上另任取一點(diǎn)D，連接AD、CD、BD，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”易知，AP+BP值最小。

[概括]這道題可概括為一個(gè)數(shù)學(xué)模型：到一直線(xiàn)同側(cè)兩點(diǎn)矩離和最短的點(diǎn)，就是其中一點(diǎn)關(guān)于這條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線(xiàn)和這條直線(xiàn)的交點(diǎn)。此模型是圖形與幾何中的到兩點(diǎn)的矩離和最短問(wèn)題，解這類(lèi)問(wèn)題的思想和方法在生產(chǎn)生活和學(xué)習(xí)中都有著廣泛的應(yīng)用。解決到兩點(diǎn)距離和最短問(wèn)題，在培養(yǎng)學(xué)生的“四基”、創(chuàng)新思維和解決實(shí)際問(wèn)題方面有著不可替代的作用。

一、基礎(chǔ)應(yīng)用

例2：（2005南充中考題）點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，MP+MP的最小值是（ ）

[簡(jiǎn)析]根據(jù)題意畫(huà)出圖2-1來(lái)，由圖2-1很容易想到這實(shí)際上是在A(yíng)C上求點(diǎn)P使到點(diǎn)M、N的矩離和最短；從而用軸對(duì)稱(chēng)法，由圖2-2易求得MP+MP的最小值是1，所以選B。

例3：（2007湖北荊門(mén)中考題）如圖1-1，要在河邊 修建一個(gè)水泵站，分別向A、B兩村送水，水泵站應(yīng)修建在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？

[簡(jiǎn)析]這是生活中的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們可以把它提煉概括為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：實(shí)際上就是在直線(xiàn) 上求作一點(diǎn)，使它到點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的矩離和最小。因此我們可用“軸對(duì)稱(chēng)法”求解，如圖1-2。

[小結(jié)]這些基礎(chǔ)應(yīng)用，不僅有利于學(xué)生掌握必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度等方面都得到發(fā)展。

二、拓展應(yīng)用

例4：如圖4，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個(gè)油庫(kù)，設(shè)為點(diǎn)P，如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車(chē)從油庫(kù)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫(kù)所走的路程最短.

[簡(jiǎn)析]這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。經(jīng)過(guò)分析，我們明白此題是要求作兩點(diǎn)，使其與點(diǎn)P所圍成的三角形的周長(zhǎng)最小。于是我們很容易聯(lián)想到“軸對(duì)稱(chēng)法”。

[略解]如圖4，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)OA和OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2 ，連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，C、D兩點(diǎn)就是使運(yùn)油車(chē)所走路程最短，而建加油站的地點(diǎn)。那么是不是最短的呢？我們可以用三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)行說(shuō)明。

例5：（2011內(nèi)江市中考模擬卷三）在直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn)A（-8，3），B（-4，5），C（0，n），D（m，0），當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，m/n的值是

[簡(jiǎn)析]這實(shí)際上是要在坐標(biāo)軸上求作兩點(diǎn)，使它們與A、B兩點(diǎn)所圍成的四邊形的周長(zhǎng)最小。從而我們可以想到用“軸對(duì)稱(chēng)法”來(lái)解。

[略解]如圖3，分別作點(diǎn)A、B關(guān)于橫軸、縱軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M、N，連接MN分別與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)C、D。顯然點(diǎn)M（-8，-3）、N（4，5），易求得直線(xiàn)MN關(guān)系式：y=2/3x+7/3，從而點(diǎn)C（0，7/3）、D（-7/2，0），因此m/n=-3/2。

[小結(jié)]這兩道題都是一個(gè)兩次應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)變換的復(fù)合問(wèn)題。到兩點(diǎn)的矩離和最短問(wèn)題的拓展應(yīng)用，不僅促使學(xué)生對(duì)知識(shí)和技能的理解更加深刻，而且也鼓勵(lì)了學(xué)生思維的創(chuàng)新。

三、綜合應(yīng)用

[解析]這是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)和平移的復(fù)合問(wèn)題，也是一個(gè)關(guān)于到兩點(diǎn)矩離和最短問(wèn)題。我們觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，線(xiàn)段PN=2其值是確定的，可以將其平移；然后再通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換，可求四邊形PABN周長(zhǎng)的最小值。

[略解]用軸對(duì)稱(chēng)法解：如圖6-1，過(guò)B作BF∥x軸且BF=2，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EF交x軸于P，在x軸截取PN=2。連接BN、AP，顯然四邊形PFBN是平行四邊形。顯然點(diǎn)E（1，3），F(xiàn)（2，-1），易求得直線(xiàn)EF關(guān)系式：y=-4x+7，從而點(diǎn)P（7/4，0），因此a=7/4。

也可用數(shù)形結(jié)合的方法解：由兩點(diǎn)間的矩離公式可得四邊形PABN的周長(zhǎng)為 ，當(dāng) 值最小時(shí)，四邊形PABN的周長(zhǎng)最小。如圖6-2，作BD=1，過(guò)B作AB⊥BD，過(guò)E作DE⊥BD，使AB=3，DE=1，連接AE交BD于C，則BC=2-a，CD=a-1，線(xiàn)段AE= 的長(zhǎng)即為代數(shù)式 的最小值。易知△ABC∽△EDC，從而有 ，解得a=7/4。

[小結(jié)]通過(guò)對(duì)到兩點(diǎn)矩離和最短綜合應(yīng)用問(wèn)題的解答，使學(xué)生了解所學(xué)過(guò)的數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何知識(shí)之間的關(guān)系，加深對(duì)有關(guān)知識(shí)的理解；進(jìn)一步體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展綜合應(yīng)用意識(shí)和能力。

通過(guò)對(duì)到兩點(diǎn)距離和最短問(wèn)題的應(yīng)用，有利于學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程；有利于學(xué)生掌握必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成必需的數(shù)學(xué)基本技能、領(lǐng)悟基本的數(shù)學(xué)思想、積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)；有利于學(xué)生在情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)等方面全面、協(xié)調(diào)地發(fā)展。