基于GRACE衛(wèi)星數(shù)據(jù)的高精度全球靜態(tài)重力場模型

陳秋杰，沈云中，張興福，陳　武，許厚澤

1. 同濟大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092； 2. 香港理工大學(xué)土地測量及地理資訊學(xué)系，香港； 3. 同濟大學(xué)空間信息與可持續(xù)發(fā)展應(yīng)用中心，上海 200092； 4. 廣東工業(yè)大學(xué)測繪工程系，廣東 廣州 510006； 5. 大地測量與地球動力學(xué)國家重點實驗室，湖北 武漢 430077

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基于GRACE衛(wèi)星數(shù)據(jù)的高精度全球靜態(tài)重力場模型

陳秋杰1,2,3，沈云中1，張興福4，陳武2，許厚澤5

1. 同濟大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092； 2. 香港理工大學(xué)土地測量及地理資訊學(xué)系，香港； 3. 同濟大學(xué)空間信息與可持續(xù)發(fā)展應(yīng)用中心，上海 200092； 4. 廣東工業(yè)大學(xué)測繪工程系，廣東 廣州 510006； 5. 大地測量與地球動力學(xué)國家重點實驗室，湖北 武漢 430077

摘要：應(yīng)用GRACE衛(wèi)星數(shù)據(jù)反演高精度靜態(tài)地球重力場是大地測量學(xué)界的熱點之一?？紤]到經(jīng)典動力學(xué)法線性化誤差隨弧長拉長而迅速增長，本文以GRACE衛(wèi)星軌道觀測值為初值的線性化方法，建立了應(yīng)用GRACE衛(wèi)星軌道和星間距離變率反演地球重力場的改進動力學(xué)法理論模型。利用2003年1月至2010年12月的GRACE衛(wèi)星姿態(tài)、軌道、星間距離變率和非保守力加速度等觀測數(shù)據(jù)，解算了一個180階次的無約束全球靜態(tài)重力場模型Tongji-Dyn01s和一個采用Kaula規(guī)則約束的全球重力場模型Tongji-Dyn01k。與國際不同機構(gòu)最新發(fā)布的純GRACE數(shù)據(jù)解算的重力場模型(包括AIUB-GRACE03S、GGM05S、ITSG-Grace2014k和Tongji-GRACE01)進行比較，并利用DTU13海洋重力異常和GPS/水準高程異常進行外部檢核，結(jié)果表明，Tongji-Dyn01s與國際最新模型精度處于同一水平，然而Tongji-Dyn01k模型總體上更加靠近EIGEN6C2重力場模型。

關(guān)鍵詞：GRACE靜態(tài)重力場；動力學(xué)法；線性化；正則化

地球重力場的分布源于地球質(zhì)量、密度分布以及質(zhì)量的重新分布(包括地球內(nèi)部運動、大氣運動、水循環(huán)、潮汐)。地球內(nèi)部物質(zhì)的質(zhì)量分布可劃分為穩(wěn)態(tài)分布與非穩(wěn)態(tài)分布，穩(wěn)態(tài)分布決定了靜態(tài)地球重力場，非穩(wěn)態(tài)的質(zhì)量重分布決定了時變地球重力場的特性。CHAMP(Challenging Mini-satellite Payload)[1]、GRACE(Gravity Recovery and Climate Experiment)[2]和GOCE(Gravity Field and Steady State Ocean Circulation Explorer)[3]是當(dāng)今衛(wèi)星重力探測的3類典型重力衛(wèi)星。其中，CHAMP主要探測低階地球重力場[1]；GRACE的最大貢獻在于探測非穩(wěn)態(tài)地球重力場并用于全球氣候時變監(jiān)測[4]；GOCE的主要目標(biāo)是探測高階靜態(tài)地球重力場信號[5]，尤其是100階后的重力場信息。對于探測前100階的重力場信號，GRACE衛(wèi)星的優(yōu)勢仍然明顯大于GOCE衛(wèi)星。盡管GARCE衛(wèi)星的預(yù)期壽命為5 a，但該衛(wèi)星自2002年3月發(fā)射后，至今仍在運行，已經(jīng)提供了約12 a的觀測數(shù)據(jù)，因此可利用GRACE衛(wèi)星的長時間數(shù)據(jù)序列反演高精度的靜態(tài)地球重力場。目前國際上有多個研究機構(gòu)利用GRACE衛(wèi)星長時間觀測序列反演靜態(tài)地球重力場模型。其中，用純GRACE數(shù)據(jù)解算的最新無約束重力場模型包括GGM05S[6]、AIUB-GRACE03S[7]、ITSG-Grace2014s[8]以及Tongji-GRACE01[9]，約束重力場模型僅僅只有ITSG-Grace2014k[8]。我國很多學(xué)者對應(yīng)用衛(wèi)星重力數(shù)據(jù)反演靜態(tài)地球重力場作出了卓有成效的工作與貢獻，取得了許多研究成果[9-18]。如文獻[18]利用經(jīng)典動力學(xué)法恢復(fù)了100階次的GRACE靜態(tài)重力場模型。

動力學(xué)法是衛(wèi)星重力反演的常用方法[19]，其核心思想是根據(jù)衛(wèi)星初始狀態(tài)參數(shù)、先驗重力場模型以及其他力模型確定的參考軌道為初值，對衛(wèi)星重力反演的非線性觀測方程進行線性化。動力學(xué)法的線性化觀測方程的設(shè)計矩陣需通過變分方程數(shù)值積分，且需多次迭代解算。文獻[20]提出以衛(wèi)星軌道觀測值為初值的線性化方法，然而涉及四重積分計算，模型比較復(fù)雜。文獻[21]采用類似的思想改進加速度法，并利用GRACE衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)反演重力場。本文將該線性化方法用于改進動力學(xué)法，并利用2003年1月至2010年12月共8 a的GRACE衛(wèi)星軌道、星間距離變率、姿態(tài)和非保守力加速度數(shù)據(jù)，解算一個180階次的Tongji-Dyn01s全球靜態(tài)重力場模型。為改善高階位系數(shù)精度，進一步使用Kaula規(guī)則約束位系數(shù)，解算了一個180階次的靜態(tài)重力場模型Tongji-Dyn01k。利用現(xiàn)有的高精度重力場模型，GPS水準和DTU13海洋重力異常數(shù)據(jù)對Tongji-Dyn01s和Tongji-Dyn01k靜態(tài)重力場模型的精度進行了檢核，結(jié)果表明Tongji-Dyn01s模型與國際最新的純GRACE重力場模型精度相當(dāng)，而且Tongji-Dyn01k模型總體上優(yōu)于國際最新的純GRACE重力場模型。

1理論方法

(1)

(2)

式中，a(t″)為t″時刻衛(wèi)星單位質(zhì)量所受合力，可由相鄰歷元加速度的K階多項式內(nèi)插而得

(3)

式中，λj為多項式系數(shù)。將式(3)代入式(1)和式(2)，可將式(1)和式(2)離散化為

(4)

(5)

(6)

式中，保守力ag是衛(wèi)星軌道位置r(ti)和重力位系數(shù)u的函數(shù)；非保守力與衛(wèi)星姿態(tài)qi和星固系下非保守力加速度觀測值facc有關(guān)；C為星固系到慣性系間的轉(zhuǎn)換矩陣。由于加速度計觀測值為有偏觀測量，一般需要估計加速度計尺度S和偏差p。由于尺度參數(shù)與重力場位系數(shù)存在較強相關(guān)性，因此本文與GFZ一樣，只估計偏差參數(shù)p。將式(4)—式(6)中的衛(wèi)星軌道以幾何軌道rk與為初值展開

(7)

i=1,2,…,N

(8)

i=1,2,…,N

(9)

(10)

i=1,2,…,N

(11)

假設(shè)有M個弧段，對于第k個弧段，為聯(lián)合衛(wèi)星軌道與星間距離變率數(shù)據(jù)求解重力場，該弧段所有歷元的衛(wèi)星軌道和星間距離變率的觀測方程可用矩陣形式表示為

Akδxk+Bkvk=lkk=1,2,…,M

(12)

(13)

式中，Qk為軌道和星間距離變率觀測值方差-協(xié)方差陣，可根據(jù)軌道和星間距離變率觀測值先驗精度確定(軌道精度約為2 cm;星間距離變率精度約為0.2 μm/s)[23]。消去局部參數(shù)γk后得到只與位系數(shù)有關(guān)的法方程，進一步累加各個弧段與位系數(shù)有關(guān)的法方程并求得重力場參數(shù)，具體解算方法可參考文獻[21—23]。當(dāng)解算的重力位模型達到180階次時，其法方程嚴重病態(tài)。為改善法方程的病態(tài)性，本文采用Kaula約束的正則化方法進行位系數(shù)解算，相關(guān)算法參見文獻[24]。

2靜態(tài)地球重力場模型反演

本文采用2003年1月至2010年12月共8a的GRACE衛(wèi)星A和B的觀測數(shù)據(jù)反演了180階次的Tongji-Dyn01s靜態(tài)地球重力場。所用的數(shù)據(jù)包括由JPL提供的K波段星間距離變率、衛(wèi)星姿態(tài)、非保守力加速度數(shù)據(jù)以及武漢大學(xué)GNSS研究中心提供的約化動力學(xué)軌道[25]。幾何軌道直接由GNSS觀測值確定，不受先驗重力場制約，更適合于重力場反演；而約化動力學(xué)軌道無疑會受先驗重力場模型影響，但若與距離變率數(shù)據(jù)一起組合求解，先驗重力場的影響就大為減少[22]，因此本文反演重力場時以約化動力學(xué)軌道作為觀測值，且在線性化時也以約化動力學(xué)軌道為初值。原始觀測數(shù)據(jù)需進行預(yù)處理，比如衛(wèi)星姿態(tài)和非保守力加速度數(shù)據(jù)存在數(shù)據(jù)間斷，尤其是衛(wèi)星姿態(tài)的間斷十分頻繁，需進行內(nèi)插處理；距離變率數(shù)據(jù)為GRACE衛(wèi)星最重要的觀測量，對中長波重力信號十分敏感，然而其存在數(shù)據(jù)間斷和粗差，本文直接忽略掉間斷的距離變率數(shù)據(jù)；約化動力學(xué)軌道十分平滑，不存在數(shù)據(jù)間斷和粗差，可用于剔除星間距離變率數(shù)據(jù)粗差。此外，還需顧及日月等行星三體擾動、海潮、海洋極潮、固體潮、固體極潮、大氣與海洋的非潮汐變化和相對論效應(yīng)等保守力以及非保守力攝動,具體參見文獻[23]。

圖1　不同弧長所得重力場解相對于EIGEN6C2大地水準面階誤差Fig.1　Geoid degree errors of solutions computed by using different arc lengths with respect to EIGEN6C2

圖2　不同正則化因子所對應(yīng)的MSE的跡(取對數(shù))Fig.2　Trace of MSE (log10 scale) from different regularized factors

3Tongji-Dyn01s與Tongji-Dyn01k靜態(tài)地球重力場的精度分析

為了檢核Tongji-Dyn01s和Tongji-Dyn01k模型的精度水平，本文將Tongji-Dyn01s、Tongji-Dyn01k與最新發(fā)布的GGM05S、AIUB-GRACE03S、ITSG-Grace2014k、Tongji-GRACE01等純GRACE重力場模型進行比較分析。其中，GGM05S為美國德克薩斯大學(xué)空間中心(CSR)利用經(jīng)典動力學(xué)法基于10a的GRACE數(shù)據(jù)所解算的180階次無約束模型；AIUB-GRACE03S為瑞士伯尼爾大學(xué)基于天體力學(xué)方法(其本質(zhì)是動力學(xué)法，區(qū)別在于采用了不同的參數(shù)化方法，如采用開普勒軌道根數(shù)并引入經(jīng)驗加速度參數(shù))利用6a的GRACE數(shù)據(jù)所解算的160階次無約束模型；ITSG-Grace2014k為德國波恩大學(xué)基于經(jīng)典短弧長積分法利用約10.5a的GRACE數(shù)據(jù)所解算的200階次正則化約束模型；Tongji-GRACE01為同濟大學(xué)利用改進的短弧長積分法基于4aGRACE數(shù)據(jù)所解算的160階次無約束模型。GFZ推出的EIGEN6C2模型采用多種觀測數(shù)據(jù)求得，包括GRACE、GOCE、Lageos(LaserGeodynamicsSatellite)[29]、海洋測高、地面重力以及航空重力數(shù)據(jù)，具有非常高的精度，本文將其作為基準模型評價不同GRACE重力場模型內(nèi)符合精度。

各模型相對于EIGEN6C2的大地水準面階誤差如圖3所示。由圖3可見，Tongji-Dyn01s和Tongji-Dyn01k在前100階次比當(dāng)前其他所有的GRACE重力場模型更加靠近EIGEN6C2。尤其是在前60階，Tongji-Dyn01s和Tongji-Dyn01k的大地水準面誤差比GGM05S、AIUB-GRACE03S、ITSG-Grace2014k和Tongji-GRACE01等模型約小一個量級。Tongji-Dyn01s在100階次后與GGM05S、AIUB-GRACE03S和Tongji-GRACE01等模型非常接近。Tongji-Dyn01k在101到160階次間大地水準面誤差稍大于ITSG-Grace2014k。然而在161到180階次之間，Tongji-Dyn01k大地水準面誤差小于ITSG-Grace2014k。

圖3　不同模型相對于EIGEN6C2大地水準面階誤差Fig.3　The geoid degree errors of different models with respect to EIGEN6C2

為了進一步比較Tongji-Dyn01s和Tongji-Dyn01k模型與其他GRACE重力場模型間的內(nèi)符合精度，本文利用這些模型截斷到不同階次計算全球重力異常信號。圖4給出了不同模型扣除EIGEN6C2系數(shù)后截斷至180階次的重力異常信號。由于EIGEN6C2使用了GOCE梯度數(shù)據(jù)，高階次系數(shù)精度優(yōu)于純GRACE模型，因此圖4反映不同純GRACE模型高階位系數(shù)的誤差。圖4表明，無約束解GGM05S和Tongji-Dyn01s模型高階位系數(shù)誤差均大于正則化解ITSG-GRACE2014k和Tongji-Dyn01k，且高緯度地區(qū)的誤差明顯大于低緯度地區(qū)；其主要原因是衛(wèi)星重力反演模型是病態(tài)的，且GRACE軌道在兩極存在1°左右空白，導(dǎo)致高階次位系數(shù)和高緯度區(qū)域的誤差偏大；正則化解能夠抑制高階次位系數(shù)的誤差，因此正則化解的結(jié)果要明顯優(yōu)于無約束解。Tongji-Dyn01k的誤差小于所有模型，其180階次位系數(shù)與EIGEN6C2重力異常差值標(biāo)準差僅為3.6mGal(1Gal=10-2m/s2)。為了分析Tongji-Dyn01s和Tongji-Dyn01k的外部精度，筆者利用丹麥技術(shù)大學(xué)發(fā)布的DTU13產(chǎn)品(分辨率為2′×2′，精度約為2mGal)[30-31]中太平洋中部64 980個海洋重力異常數(shù)據(jù)，對上述不同模型在太平洋中部海洋重力異常進行檢核。具體區(qū)域為([17°S,23°S],[314°E,326°E])[32]，面積約為83.8萬km2。各模型分別截斷至120、150和180階次，并由EIGEN6C2填補高階次系數(shù)(完全至1949階)，依次計算太平洋中部重力異常。表1給出了不同模型截斷至不同階次的重力異常差值統(tǒng)計結(jié)果?？梢钥闯?，無論是截斷到120還是150階次，不同模型所計算的重力異常與DTU13海洋重力異常差值的標(biāo)準差均十分接近，可以說這些模型在前150階次的精度水平相當(dāng)。對于截斷到180階次的結(jié)果，GGM05S精度最差，其次是Tongji-Dyn01s，Tongji-Dyn01k表現(xiàn)最好，其截斷到180階所計算的太平洋中部海洋重力異常與DTU13重力異常之差標(biāo)準差僅為4.1mGal，與截斷到120和150階次所計算的標(biāo)準差差別不大，然而其他模型截斷到180階次與截斷到120或150相比，其標(biāo)準差均發(fā)生突變，有力地說明了Tongji-Dyn01k模型180階次位系數(shù)的可靠程度?？梢哉f，截斷至180階次計算重力異常差值能夠有效區(qū)分GRACE高階重力位系數(shù)的可靠程度。

圖4　不同純GRACE模型相對于EIGEN6C2的全球重力異常(截斷至180階次)Fig.4　The difference of global gravity anomalies between GRACE-only models and EIGEN6C2 (truncated to degree and order 180)

表1不同模型截斷至不同階次的重力異常差值統(tǒng)計結(jié)果

Tab.1Statistics of the differences of gravity anomaly from DTU13 and that computed by 6 models truncated to different degrees

mGal

為了進一步客觀評價Tongji-Dyn01s與Tongji- Dyn01k模型的精度水平，本文采用美國、墨西哥和江西3個地區(qū)的GPS/水準網(wǎng)觀測數(shù)據(jù)進行外部檢核。其中美國和墨西哥數(shù)據(jù)可從網(wǎng)站(http:∥www.ngs.noaa.gov/GEOID/GEOID12)下載，其水準點數(shù)據(jù)本文分別選取8006個和536個，江西選取117個。各模型分別截斷至90、120、150和180階，并采用EIGEN6C2填補高階位系數(shù)(完全至1949階)，依次計算美國、墨西哥和江西等地區(qū)的大地水準面高程異常。統(tǒng)計計算值與實測值的最大值、最小值與標(biāo)準差，結(jié)果如表2所示。表2中，對于截斷至相同階次(90和120)，從所計算的模型高程異常與實測結(jié)果之差的標(biāo)準差來看，所有模型在美國、墨西哥和江西的表現(xiàn)相當(dāng)。對于截斷到150階次，Tongji-Dyn01s的表現(xiàn)僅僅略遜于ITSG-Grace2014k，然而Tongji-Dyn01k優(yōu)于其他模型。尤其對于截斷到180階次，無論是利用美國、墨西哥還是江西的數(shù)據(jù)進行外部檢核，Tongji-Dyn01k模型精度均遠優(yōu)于其他GRACE重力場模型。

4結(jié)論

本文以衛(wèi)星軌道觀測值為初值對經(jīng)典動力學(xué)法衛(wèi)星重力反演的非線性觀測方程進行線性化，建立了衛(wèi)星軌道和星間距離變率反演地球重力場的線性化觀測模型。與傳統(tǒng)動力學(xué)法相比，本文所建立的動力學(xué)法不需要解算變分方程與迭代計算，且不依賴于先驗重力場模型。利用2003年1月至2010年12月GRACE衛(wèi)星的姿態(tài)、軌道、星間距離變率和非保守力加速度等觀測數(shù)據(jù)，解算了一個180階次的Tongji-Dyn01s全球靜態(tài)重力場模型；進一步對重力位系數(shù)進行了Kaula規(guī)則約束，通過正則化解法求得了Tongji-Dyn01k模型。利用多種方法與數(shù)據(jù)對Tongji-Dyn01s和Tongji-Dyn01k模型和國際不同機構(gòu)最新的純GRACE重力場模型AIUB-GRACE03S、ITSG-Grace2014k、GGM05S和Tongji-GARCE01的精度進行了分析。

從模型的大地水準面誤差看，Tongji-Dyn01s和Tongji-Dyn01k前100階位系數(shù)比國際不同機構(gòu)的最新GRACE重力場模型更加靠近EIGEN6C2。從全球重力異?？?，Tongji-Dyn01s僅次于ITSG-Grace2014k，而Tongji-Dyn01k相比于其他GRACE無約束模型更加靠近EIGEN6C2。DTU13太平洋中部海洋重力異常以及美國、墨西哥和江西區(qū)域GPS/水準點的檢核結(jié)果，證實了Tongji-Dyn01s和Tongji-Dyn01k模型在前150階次與國際不同機構(gòu)最新的GRACE重力場模型精度處于同一水平，然而Tongji-Dyn01k在180階次的位系數(shù)精度優(yōu)于當(dāng)前所有GRACE數(shù)據(jù)反演的重力場模型，其所計算的太平洋海洋中部重力異常與DTU13數(shù)據(jù)之差標(biāo)準差僅為4.1 mGal?？傮w來說，本文所建立的軌道與星間距離變率理論模型能夠有效地提取重力場信號，Kaula規(guī)則約束的正則化解法能夠顯著改善高階位系數(shù)解算精度。

致謝：感謝美國JPL和德國GFZ所提供的GRACE Level-1b觀測數(shù)據(jù)以及武漢大學(xué)GNSS研究中心趙齊樂教授所提供的約化動力學(xué)軌道數(shù)據(jù)。

表2　各模型高程異常與實測GPS/水準結(jié)果之差統(tǒng)計結(jié)果

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

修回日期： 2015-12-31

First author： CHEN Qiujie(1987—), male, PhD candidate, majors in satellite gravimetry.

E-mail： chenqiujie2009@163.com

GRACE Data-based High Accuracy Global Static Earth’s Gravity Field Model

CHEN Qiujie1,2,3,SHEN Yunzhong1,ZHANG Xingfu4,CHEN Wu3,XU Houze5

1. College of Surveying and Geo-Informatics, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Department of Land Surveying and Geo-Informatics, Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong,China; 3. Center for Spatial Information Science and Sustainable Development, Shanghai 200092, China; 4. Departments of Surveying and Mapping, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China; 5. State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics, Institute of Geodesy and Geophysics, Wuhan 430077, China

Abstract：To recover the highly accurate static earth’s gravity field by using GRACE satellite data is one of the hot topics in geodesy. Since linearization errors of dynamic approach quickly increase when extending satellite arc length, we established a modified dynamic approach for processing GRACE orbit and range-rate measurements in this paper, which treated orbit observations of the twin GRACE satellites as approximate values for linearization. Using the GRACE data spanning the period Jan. 2003 to Dec. 2010, containing satellite attitudes, orbits, range-rate, and non-conservative forces, we developed two global static gravity field models. One is the unconstrained solution called Tongji-Dyn01s complete to degree and order 180; the other one is the Tongji-Dyn01k model computed by using Kaula constraint. The comparisons between our models and those latest GRACE-only models (including the AIUB-GRACE03, the GGM05S, the ITSG-Grace2014k and the Tongji-GRACE01) published by different international groups, and the external validations with marine gravity anomalies from DTU13 product and height anomalies from GPS/levelling data, were performed in this study. The results demonstrate that the Tongji-Dyn01s has the same accuracy level with those of the latest GRACE-only models, while the Tongji-Dyn01k model is closer to the EIGEN6C2 than the other GRACE-only models as a whole.

Key words：GRACE static gravity field; dynamic approach; linearization; regularization

第一作者簡介：陳秋杰(1987—)，男，博士生，主要從事衛(wèi)星重力方面的研究。

收稿日期：2015-08-13

基金項目：國家973計劃(2012CB957703)；國家自然科學(xué)基金(41474017；41274035)；大地測量與地球動力學(xué)國家重力實驗室開放基金(SKLGED2014-1-3-E)；地理信息工程國家重點實驗室開放基金(SKLGIE2014-M-1-2)

中圖分類號：P223

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-1595(2016)04-0396-08

Foundation support： The National Basic Research Program of China (973 Program) (No. 2012CB957703)；The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41474017; 41274035)； State Key Laboratory of Geodesy and Earth's Dynamics (No. SKLGED2014-1-3-E)； State Key Laboratory of Geo-information Engineering (No. SKLGIE2014-M-1-2)

引文格式：陳秋杰，沈云中，張興福,等.基于GRACE衛(wèi)星數(shù)據(jù)的高精度全球靜態(tài)重力場模型[J].測繪學(xué)報，2016,45(4)：396-403. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150422.

CHEN Qiujie,SHEN Yunzhong,ZHANG Xingfu,et al.GRACE Data-based High Accuracy Global Static Earth’s Gravity Field Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(4):396-403. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150422.