摻雜單晶硅納米梁的諧振頻率特性?

呂煥玲，王靜

(新疆大學物理科學與技術學院，新疆烏魯木齊830046)

0 引言

單晶硅技術是現(xiàn)代集成電路技術的基礎，同時納米硅也是制造NEMS的主要材料之一．納機電系統(tǒng)（NEMS）已有許多重要的應用，如超大規(guī)模傳感器[1?3]、參數(shù)反饋振蕩器[4]、開關[5,6]等．從長期可靠性的角度來看，這些諧振器的振動特性和機械性能，如楊氏模量和諧振頻率的研究是非常重要的，應該受到研究人員的重視．對于單晶硅材料的力學特性在實驗、理論分析、分子動力學模擬等方面已經做了一些研究．已有的一些實驗研究了硅納米梁、納米線等，基于連續(xù)介質假設方程的共振特性以及共振頻率與楊氏模量之間的關系[7,8]；Park等人[9,10]通過使用Tersof f勢對納米懸臂梁的振動特性進行了分子動力學模擬，并基于連續(xù)介質理論的固有頻率方程推導了單晶硅納米梁的楊氏模量，結果表明楊氏模量隨硅梁厚度尺寸的減小而減?。籖udd等人[11?13]對單晶硅納米線的彈性行為進行了基于Stillinger-Weber勢的經典分子動力學模擬，隨后，他們又運用了第一原理密度泛函理論計算研究了硅納米線的力學性能，并與以前分子動力學模擬方法的結果進行了比較；2013年，Yu等人[14]通過分子動力學方法研究了不同尺寸的硅納米梁的諧振頻率和楊氏模量，結果表明硅納米梁的諧振頻率具有強烈的尺寸效應，隨著厚度尺寸的增加而增加．

摻雜有利于改善硅納米材料的力學特性．而迄今為止關于研究摻雜硅納米材料的動態(tài)諧振特性的研究尚不多見，所以對于相關的理論研究是非常有必要的．本文采用計算機軟件包Material Studio基于分子動力學方法，從守恒原理與動勢能轉換出發(fā)，對納米單晶硅梁的諧振頻率進行了分子動力學模擬，分別研究了摻雜濃度和尺寸對納米單晶硅梁的諧振頻率的影響．這些結果對更好地理解納米單晶硅梁的力學性能特性是有益的．

1 分子動力學模擬納米單晶硅諧振頻率

分子動力學（Molecular Dynamics，簡稱MD）是模擬大量粒子集合體系中單個粒子運用的一種手法，現(xiàn)已成為納米尺度上模擬的典型例子之一．1957年，Alder和wainwright[15]開創(chuàng)了分子動力學方法(Molecular Dynamics Simulation,簡稱MD)，從二十世紀八十年代開始，MD方法開始應用于半導體研究領域．本文主要運用分子動力學模擬方法，模擬改變摻雜濃度和長寬尺寸對納米單晶硅梁的諧振頻率的影響．

1.1 計算模型建立

如圖1所示的一個典型的硅晶胞，可視為由四個處在不同位置的正四面體組成，正四面體的中心原子處在硅晶胞的體對角線的四分之一處，將其中任意一個正四面體平移都可以與其它的正四面體重合．

圖1 硅晶胞示意圖

圖2 (a)硅晶胞四分之一體對角線處摻雜磷元素示意圖，(b)硅晶胞頂角處摻雜磷元素示意圖

本文主要研究在單晶硅晶胞的兩個不等價位置處摻雜一個磷原子，即四分之一對角線位置處和頂點位置，如圖2（a）（b）所示．采用文獻[16]數(shù)據(jù)假設，分別在2個、4個、8個、16個和32個硅晶胞中摻入磷原子，即摻雜濃度分別為30×1020cm?3、15×1020cm?3、7.5×1020cm?3、3.75×1020cm?3、3×1020cm?3．首先模擬摻雜磷的單晶硅納米梁的橫截面為一矩形，尺寸為8A×8A（A為硅晶胞的晶格常數(shù)，A=5.432?A），梁的長度尺寸L分別為12A、16A、20A、24A、28A和32A，研究重摻雜對納米單晶硅梁的諧振頻率的影響．

1.1.1 硅晶胞四分之一對角線處摻雜

用磷原子替換硅晶胞四分之一體對角線處的硅原子，如圖2（a）所示．按照不同的濃度對單晶硅納米梁（尺寸為8A×8A×L）進行摻雜建模．建立好模型后，將所構建的晶體模型放入真空層中，防止晶體與外界進行能量交換．因此，我們需要將構建的晶體模型進行切割并加入真空層，再對納米梁施加應變力，使梁結構產生形變，即沿寬度方向對其兩端的原子進行固定，然后沿固定原子順次向中間的每列原子下移一定距離（設下移距離為0.5?A）并固定．最后，采用分子動力學模擬軟件MS中的Forcite模塊，在常溫、NVE系綜下進行分子動力學模擬，對納米梁進行幾何優(yōu)化，模擬時間步長設為1fs，模擬時間為50ps．圖3為硅晶胞四分之一對角線處摻雜，長度尺寸為32A，摻雜濃度為15×1020cm?3的納米單晶硅梁在模擬過程中動能為零，勢能最大時梁的動態(tài)振動圖．

圖3 單晶硅納米梁的動態(tài)振動圖

通過MS模擬得到的能量隨時間的變化曲線圖，如圖4．通過分析圖4中動勢能能量的轉換關系，可以得到納米單晶硅梁的振動周期T=4.16ps，振動頻率可由式f=1/T，計算得出振動頻率為f=0.24×1012Hz．

同理，通過對不同的摻雜濃度和長度尺寸的納米單晶硅梁進行分子動力學模擬，得到不同摻雜濃度和長度尺寸對應的單晶硅納米梁的諧振頻率，如表1．

圖4 長度為32A，摻雜濃度為30×1020cm?3的單晶硅納米梁的能量隨時間的變化曲線圖

表1 不同摻雜濃度和不同長度的單晶硅納米梁對應的諧振頻率

由表1可以看出，當摻雜濃度相同時，單晶硅納米梁諧振頻率隨長度尺寸的增大而減小，當長度尺寸相同時，硅梁的諧振頻率隨摻雜濃度的減小而減小，但減小的趨勢并不明顯．

1.1.2 硅晶胞頂角處摻雜

通過分子動力學方法模擬了單晶硅納米梁在四分之一對角線處摻雜的諧振頻率，同理，用磷原子替換硅晶胞頂角處的硅原子，如圖2（b）所示，運用分子動力學的方法分別模擬了摻雜濃度和長度對單晶硅納米梁諧振頻率的影響，結果如表2．

表2 不同摻雜濃度和不同長度的梁的諧振頻率

由表2可以看出，當摻雜濃度相同時，單晶硅納米梁諧振頻率隨長度尺寸的增大而減小，當長度尺寸相同時，單晶硅納米梁的諧振頻率隨摻雜濃度的減小而減小，但減小的趨勢并不明顯，這個結果與表1的結果相比，變化趨勢一致．

1.1.3 長度為32A的單晶硅納米梁的諧振頻率

當單晶硅納米梁尺寸固定為32A時，選擇在硅晶胞的四分之一對角線處進行磷元素摻雜，模擬摻雜濃度分別為30×1020cm?3、15×1020cm?3、7.5×1020cm?3、3.75×1020cm?3、3×1020cm?3，梁的厚度分別為2A、4A、8A、12A、16A的單晶硅納米梁的諧振頻率，結果如表3．

表3 單晶硅納米梁長度為32A，不同厚度和摻雜濃度下的諧振頻率

從表3可以看出，當摻雜濃度相同時，硅梁諧振頻率隨厚度尺寸的增大而增大；當厚度尺寸相同時，單晶硅納米梁的諧振頻率隨摻雜濃度的減小而減小，但減小的趨勢也并不明顯．

1.2 摻雜濃度和長度尺寸對單晶硅梁諧振頻率的影響

討論摻雜濃度和長度尺寸對單晶硅納米梁的諧振頻率的影響，以在硅晶胞四分之一對角線處和頂角處摻雜的結果進行對比分析．

圖5 不同長度尺寸和不同摻雜濃度的單晶硅納米梁諧振頻率對比圖，(a)四分之一對角線處摻雜，(b)頂角處摻雜

由表1、表2得到單晶硅納米梁的諧振頻率隨長度尺寸和摻雜濃度變化的曲線圖，如圖5（a）、（b）所示．當納米單晶硅梁的摻雜濃度相同時，梁的諧振頻率會隨著長度尺寸的增加而逐漸減小，并且減小的趨勢逐漸變緩，這個結果與Park等人[9]基于共振頻率表達式擬合的理論曲線，諧振頻率隨長度尺寸的增加而減小的趨勢相同．說明摻雜后的單晶硅納米梁與純單晶硅梁諧振頻率的變化趨勢一致，諧振頻率具有尺寸依賴效應．當長度尺寸不變時，其諧振頻率隨摻雜濃度的增加而增加，但增加的趨勢并不明顯，且諧振頻率的值十分接近，說明摻雜對納米單晶硅梁的諧振頻率影響很?。瑫r，通過圖5（a）（b）對比可以看出，單晶硅納米梁四分之一對角線處摻雜和頂角處摻雜的諧振頻率具有相同的變化趨勢，并且諧振頻率值相差很小．這是因為一個單晶硅的晶胞可將其視為由四個處在不同位置的正四面體組成，正四面體的中心原子處在硅晶胞體對角線的四分之一處，將其中任意一個正四面體平移都可以與其它的正四面體重合．并且磷原子核硅原子的半徑相差十分微小，當硅晶胞中一個磷原子替換硅原子，硅晶胞的結構不會發(fā)生變化，當然硅梁中摻雜更多的P原子也不會使硅梁的結構變化，并且分子動力學模擬是在真空的環(huán)境對硅梁進行優(yōu)化，這時的硅梁更貼近實驗中的硅梁．納米單晶硅梁表面重構的作用相對內部原子的相互作用會對硅梁的諧振頻率的影響更大，當梁尺寸越來越大表面積相對變小，內部原子變多，相互作用就會越明顯，所以納米單晶硅的諧振頻率會隨著尺寸的變化而變化，而摻雜濃度和位置對硅梁的諧振頻率的影響并不明顯．由此可知，摻雜位置不同不會影響單晶硅納米梁的諧振頻率，摻雜濃度也不是影響諧振頻率的主要因素，而影響諧振頻率的主要因素是單晶硅納米梁的長度尺寸．

1.3 摻雜濃度和厚度尺寸對單晶硅梁諧振頻率的影響

討論摻雜濃度和厚度尺寸對單晶硅納米梁的諧振頻率的影響，以在硅晶胞四分之一對角線處摻雜為例，長度固定為32A的單晶硅納米梁諧振頻率隨厚度變化的模擬結果進行分析．

圖6 不同厚度尺寸和不同摻雜濃度的單晶硅納米梁的諧振頻率對比圖

由表3得到單晶硅納米梁的諧振頻率隨厚度尺寸和摻雜濃度變化的曲線圖，如圖6．當納米單晶硅梁的摻雜濃度相同時，硅梁的諧振頻率隨著厚度尺寸的增加而逐漸增加，并且增加的趨勢逐漸變緩，這個結果與Yu等[14]利用分子動力學模擬方法，模擬的橫截面為矩形的單晶硅納米梁的諧振頻率隨厚度尺寸的增加而增大的結果一致，說明摻雜后單晶硅納米梁的諧振頻率也具有尺寸效應；當厚度尺寸不變時，其諧振頻率隨摻雜濃度的增加而增加，但增加的趨勢并不明顯，且諧振頻率的值很接近，說明摻雜濃度對納米單晶硅梁的諧振頻率影響很小．由此可知，摻雜濃度不是影響諧振頻率的主要因素，而影響諧振頻率的主要因素是單晶硅納米梁的厚度尺寸．

2 結論

本文主要在硅晶胞的四分之一對角線處和頂角處進行磷元素摻雜，研究納米單晶硅梁動態(tài)的諧振特性．通過分子動力學模擬方法，研究了摻雜濃度和尺寸對單晶硅納米梁諧振頻率的影響．通過分析和討論，得到結論如下：通過分子動力學的方法模擬了不同摻雜位置處的諧振頻率，當梁的摻雜濃度和厚度尺寸一定時，單晶硅納米梁的諧振頻率隨著長度尺寸的增加逐漸減小，當梁的摻雜濃度和長度尺寸固定時，單晶硅納米梁的諧振頻率隨著厚度尺寸的增加而減小，當梁的長度和厚度尺寸一定時，其諧振頻率隨著摻雜濃度逐漸增大而增加，但是影響并不明顯．由以上結論可知，摻雜濃度會影響單晶硅納米梁的諧振頻率，但是影響很小，而納米單晶硅梁的尺寸才是影響其諧振頻率的主要因素．這些結果對更好地理解納米單晶硅梁的力學性能特性是有益的．

參考文獻：

[1]Yang Y T,Callegari C,Feng X L,et al.Zeptogram-scale nanomechanical mass sensing[J].Nano Letters,2006,6(4):583-586.

[2]Yang Y T,Callegari C,Feng X L,et al.Surface adsorbate f l uctuations and noise in nanoelectromechanical systems[J].Nano Letters,2011,11(4):1753-1759.

[3]Bargatin I,Myers E B,Aldridge J S,et al.Large-scale integration of nanoelectromechanical systems for gas sensing applications[J].Nano Letters,2012,12:1269-1274.

[4]Villanueva L G,Karabalin R B,Matheny M H,et al.A nanoscale parametric feedback oscillator[J].Nano Letters,2011,11:5054-5059.

[5]Arkan E F,Sacchetto D,Yildiz I,et al.Monolithic integration of Si nanowires with metallic electrodes:NEMS resonator and switchapplications[J].Journal of Micromechanics and Microengineering,2011,21:125018.

[6]Feng X L,Matheny M H,Zorman C A,et al.Low voltage nanoelectromechanical switches based on silicon carbide nanowires[J].Nano Letters,2010,10:2891-2896.

[7]Belov M,Quitoriano N J,Sharma S,et al.Mechanical resonance of clamped silicon nanowires measured by optical interferometry[J].Journal of Applied Physics,2008,103:074304.

[8]Feng X L,He R,Yang P,et al.Very high frequency silicon nanowire electromechanical resonators[J].Nano Letters,2007,7(7):1953-1959.

[9]Park S H,Kim J S,Park J H,et al.Molecular dynamic study on size-dependent elastic properties of silicon nanocantilevers[J].Thin Solid Films,2005,492(1-2):285-289.

[10]Kim J S,Park S H,Park J H,et al.Molecular dynamics simulation of elastic properties of silicon nanocantilevers[J].Nanoscale and Microscale Thermophysical Engineering,2006,10(1):55-65.

[11]Rudd R E,Broughton J Q.Atomistic simulation of MEMS resonators through the coupling of length scales[J].Journal of Modeling and Simulation of Microsystems,1999,1(1):29-38.

[12]Rudd R E.Coarse-grained molecular dynamics for computer modeling of nanomechanical systems[J].International Journal on Multiscale Computational Engineering,2004,2:203.

[13]Rudd R E,Lee B.Mechanics of silicon nanowires:size-dependent elasticity from f i rst principles[J].Molecular Simulation,2008,34(1):1-8.

[14]Yu H,Sun C,Zhang W W,et al.Study on Size-Dependent Young’s Modulus of a Silicon Nanobeam by Molecular Dynamics Simulation[J].Journal of Nanomaterials,2013,2013:319302.

[15]Alder B J,Wainwright T E.Phase Transition for a Hand Sphere System[J].The Journal of Chemical Physics,1957,27(5):1208-1209.

[16]呂煥玲,王靜.摻雜單晶硅納米薄膜楊氏模量的多尺度理論模型[J].物理學報,2015,64(23):236103.