模型，想說(shuō)“愛(ài)”你不容易

屠志艷 趙飛

“模型思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）十大核心詞之一。新課標(biāo)指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。

從以上論述中可以看出，建立數(shù)學(xué)模型必須立足于生活情境，對(duì)生活情境中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉，得到能反映問(wèn)題變化的數(shù)量關(guān)系和規(guī)律，即數(shù)學(xué)模型，并且重新進(jìn)入情境驗(yàn)證模型，用模型解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。重視培育和發(fā)展學(xué)生的模型思想對(duì)學(xué)生的后續(xù)發(fā)展是有利的。一方面能使學(xué)生對(duì)知識(shí)追本溯源，深刻理解知識(shí)本質(zhì)；另一方面也能在一定程度上提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

下面，筆者從“乘法運(yùn)算律”的教學(xué)實(shí)際入手，并由此想開(kāi)去，談?wù)剶?shù)學(xué)建模的實(shí)踐與思考。

一、單層級(jí)意義理解，學(xué)生感悟深刻嗎

“乘法運(yùn)算律”是蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，例3、例4、例5分別教學(xué)乘法交換律、結(jié)合律和分配律。

例3的教學(xué)流程一般是這樣的：出示情境圖說(shuō)說(shuō)信息（有3組學(xué)生踢毽子，每組5人）與問(wèn)題（一共有多少人踢毽子）；學(xué)生列式計(jì)算（5×3=15人或3×5=15人），初步感知兩道算式有什么相同和不同；根據(jù)結(jié)果相同，用等號(hào)連接組成等式5×3=3×5；比較等號(hào)兩邊算式的異同，進(jìn)一步感知規(guī)律；小組活動(dòng)舉例驗(yàn)證，說(shuō)說(shuō)發(fā)現(xiàn)；小組展示研究成果，在交流中概括出乘法交換律的意義，并用字母式表示；揭示乘法交換律的名稱(chēng)。

意義理解是模型建構(gòu)的基礎(chǔ)，但是單層級(jí)感知算式意義，會(huì)造成對(duì)運(yùn)算律的理解不夠厚實(shí)，不利于模型建構(gòu)。以上教學(xué)過(guò)程中單層級(jí)感知算式意義表現(xiàn)在：因?yàn)?×3=15人，3×5=15人，結(jié)果相同，所以可以用等號(hào)連接組成等式。這樣單純從得數(shù)上比較算式，忽視了情境圖在理解等式成立上的功能。筆者認(rèn)為，乘法交換律、結(jié)合律的教學(xué)可以從兩個(gè)層級(jí)促進(jìn)意義理解。即從得數(shù)直觀發(fā)現(xiàn)相等，再到結(jié)合情境從數(shù)量關(guān)系的角度說(shuō)明相等，而乘法分配律的教學(xué)可以再多一個(gè)從運(yùn)算意義的角度說(shuō)明相等。多層級(jí)促意義理解，學(xué)生才能感悟深刻，才能為建構(gòu)模型奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

意義理解除了要多層級(jí)感知，還要注意多方式感知。感知意義的方式有：算式、圖形、動(dòng)作提示等。眾多方式中最常用的就是“博喻”，俗稱(chēng)“打比方”。

【乘法分配律教學(xué)片段】

[根據(jù)情境圖抽象出等式（6+4）×24=6×24+4×24，并引導(dǎo)學(xué)生觀察]

師：這些算式有什么特點(diǎn)？

生：等號(hào)左邊是兩個(gè)數(shù)相加，再用它們的和乘第三個(gè)數(shù)。右邊是用這兩個(gè)數(shù)分別與第三個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。

師：老師發(fā)現(xiàn)，這個(gè)算式與我們生活中學(xué)生拜訪(fǎng)老師有點(diǎn)相似。（學(xué)生愕然）

師：“6”和“4”好比是兩個(gè)同學(xué)，他們手拉著手[板書(shū)：（6+4）]一起去拜訪(fǎng)老師“24”[板書(shū)：24]。門(mén)開(kāi)了，老師很高興，伸出手先與第一個(gè)同學(xué)握手[板書(shū)：6×24]，又與第二個(gè)同學(xué)握手[板書(shū)：4×24]，最后一起坐在沙發(fā)上[板書(shū)：6×24+4×24]。

生：真像！真像！

用“老師”和“學(xué)生”比作算式中的數(shù)，由生活場(chǎng)景中的“握手”類(lèi)推至計(jì)算，學(xué)生不費(fèi)吹灰之力就理解了算式的意義。一個(gè)形象的比喻，突破了教學(xué)難點(diǎn)。

二、純模仿符號(hào)表達(dá)，學(xué)生自覺(jué)主動(dòng)嗎

深刻感知算式意義后進(jìn)行情境剝離，在抽象思考的基礎(chǔ)上建立模型，才是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的根本。它是指知識(shí)從具體的情境中分離抽象出來(lái)，從而超越情境成為概括性知識(shí)，也就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。在“乘法結(jié)合律”的教學(xué)中，教者引導(dǎo)學(xué)生抽象完成字母表達(dá)式的過(guò)程一般是這樣的：寫(xiě)一些與（23×5）×6=23×（5×6）一樣的等式，說(shuō)說(shuō)發(fā)現(xiàn)，驗(yàn)證猜想；字母a、b、c分別表示三個(gè)數(shù)，以上等式可以寫(xiě)成（a×b）×c=a×（b×c），板書(shū)字母式完成數(shù)學(xué)建模。上述教學(xué)從一般敘述到抽象化、符號(hào)化表達(dá)的過(guò)程過(guò)于單薄和牽強(qiáng)。這樣的建模過(guò)程是純模仿性的，是被動(dòng)的，學(xué)生缺乏主動(dòng)、自覺(jué)的意識(shí)。因此，筆者認(rèn)為，由具體的實(shí)例抽象出字母式要在學(xué)生充分領(lǐng)悟情境內(nèi)涵，并在積極的內(nèi)驅(qū)下主動(dòng)完成。

【乘法結(jié)合律教學(xué)片段】

板書(shū)學(xué)生舉例的等式。

師：這樣的等式寫(xiě)得完嗎？（寫(xiě)不完）（教師在最后一個(gè)等式的后面加上省略號(hào)）

師：黑板上現(xiàn)在有無(wú)數(shù)個(gè)等式，老師卻能用一個(gè)式子全概括進(jìn)去。相信嗎？

“老師卻能用一個(gè)式子全概括進(jìn)去?！焙?jiǎn)短的一句話(huà)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生積極探究的興趣。從文字表達(dá)，到符號(hào)表達(dá)，再到字母表達(dá)，學(xué)生在自身內(nèi)驅(qū)力的作用下一步步完成模型建立。

由于受年齡特點(diǎn)和知識(shí)基礎(chǔ)的制約，學(xué)生自覺(jué)主動(dòng)建模的意識(shí)不強(qiáng)，實(shí)際教學(xué)中教師也可以用“逼”的方法促進(jìn)主動(dòng)建構(gòu)。如教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”時(shí)，教師快速報(bào)10個(gè)用“第幾列第幾行”描述的位置，學(xué)生來(lái)不及記錄，于是想到用“53”“5-3”“5.3”“（53）”“（5-3）”等簡(jiǎn)單的記錄方法，然后進(jìn)行交流與評(píng)析，最后出示正確規(guī)范的表示方法“（5，3）”。又如教學(xué)“表面涂色的正方體”，棱三等分時(shí)三面、兩面、一面涂色的小正方體各有多少個(gè)？當(dāng)學(xué)生分組切分操作完成后，教師說(shuō)：“你們用時(shí)5分鐘，太慢了。能快一點(diǎn)嗎？”促使學(xué)生根據(jù)三面、兩面、一面涂色的小正方體在大正方體的位置特征進(jìn)行計(jì)算。

此外，在建構(gòu)模型的過(guò)程中還要重視幾何直觀與語(yǔ)言表述，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為形象。曹培英老師認(rèn)為，幾何直觀和語(yǔ)言描述在建模中的作用很大，適當(dāng)?shù)默F(xiàn)實(shí)情境與幾何直觀，即生活經(jīng)驗(yàn)的刺激與視覺(jué)觀察，可以相輔相成。建模的過(guò)程是抽象的、復(fù)雜的，教師要注意找尋方法，多舉措促使學(xué)生自覺(jué)主動(dòng)地完成建模。

三、棄模型追求湊整，利于解釋記憶嗎

完成抽象化、符號(hào)化表達(dá)后就進(jìn)入解釋、應(yīng)用環(huán)節(jié)。此環(huán)節(jié)能促使學(xué)生對(duì)圖形表達(dá)和符號(hào)化的理解。乘法結(jié)合律的課堂練習(xí)有兩道練習(xí)題，學(xué)生分男女生兩組計(jì)算第二題的兩組題。根據(jù)速度的快慢，學(xué)生初步感悟湊整法的優(yōu)越性。在第三題算三數(shù)之積時(shí)，學(xué)生不約而同算成4×5×30=600，教師小結(jié)：用湊整法算三數(shù)之積比較簡(jiǎn)便。筆者認(rèn)為這樣處理習(xí)題，脫離了運(yùn)算律教學(xué)，違背了編者意圖，不利于學(xué)生解釋和記憶模型。運(yùn)算律知識(shí)集中安排在四年級(jí)下冊(cè)，當(dāng)堂的教學(xué)效果貌似可以，但是遇到綜合練習(xí)、特征變式、有隱蔽數(shù)的時(shí)候錯(cuò)誤就會(huì)增多，原因是學(xué)生對(duì)運(yùn)算律的形式結(jié)構(gòu)理解、記憶得不到位。筆者對(duì)運(yùn)算律解釋、應(yīng)用環(huán)節(jié)的教學(xué)有兩點(diǎn)建議：

其一，對(duì)比與直觀，加強(qiáng)模型理解。在實(shí)際教學(xué)中，要強(qiáng)化題組對(duì)比，有不同運(yùn)算律習(xí)題之間的對(duì)比、能簡(jiǎn)算與不能簡(jiǎn)算習(xí)題之間的對(duì)比、同一道題不同計(jì)算方法之間的對(duì)比，等等。在對(duì)比練習(xí)中使學(xué)生理解模型，并內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)。為了防止思維僵化與機(jī)械記憶，要重視幾何直觀在理解模型上的作用，用幾何直觀支撐具體習(xí)題，讓抽象、靜態(tài)的式題具象化、動(dòng)態(tài)化。這是從“意”的角度解釋?xiě)?yīng)用模型。

其二，對(duì)應(yīng)與觀察，加強(qiáng)模型記憶。運(yùn)算律教學(xué)不僅要從“意”上理解，也要能從“形”上記憶，努力做到“形意兼?zhèn)洹?。在面?duì)具體題目時(shí)，不必每次返回情境，可以直接套用腦中的運(yùn)算律模型表象。就像金匠師傅澆鑄金器使用的模具，一次成型，多次使用，不必每次先筑模。所以，教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出式題中的數(shù)分別對(duì)應(yīng)運(yùn)算律里的哪個(gè)字母，在“數(shù)”與“字母”、“式”與“型”的對(duì)應(yīng)中加強(qiáng)記憶。此外，還要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注細(xì)節(jié)，通過(guò)對(duì)左右兩個(gè)式子結(jié)構(gòu)特征的細(xì)微觀察，固化模型。這是從“形”的角度解釋?xiě)?yīng)用模型。

綜上所述，模型思想是重要的數(shù)學(xué)思想，在實(shí)際教學(xué)中要多層級(jí)、多方式促意義理解，多方法、多舉措促主動(dòng)建模，多觀察、多對(duì)比促應(yīng)用內(nèi)化，讓學(xué)生思維不僵化，理解更深刻，努力培養(yǎng)學(xué)生追本溯源的數(shù)學(xué)精神，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。