整體把握教材 提升教師專業(yè)素養(yǎng)

張秋爽 北京市順義區(qū)教育研究考試中心小學(xué)數(shù)學(xué)教研員，吳正憲小學(xué)數(shù)學(xué)教師工作站核心組成員，北京兒童教育研究所兼職教研員，中學(xué)高級(jí)教師，特級(jí)教師，北京市學(xué)科帶頭人，教育碩士學(xué)位，中國教育學(xué)會(huì)小數(shù)專委會(huì)先進(jìn)工作者。

曾參加過教育部遠(yuǎn)程培訓(xùn)、教育部西部農(nóng)遠(yuǎn)工程、教育部國培（小學(xué)數(shù)學(xué)）、新課標(biāo)解讀等項(xiàng)目，作為主講教師；作為副主編或編委參與了《團(tuán)隊(duì)研修的實(shí)踐探索》《聽吳正憲老師上課》《和吳正憲老師一起讀數(shù)學(xué)新課標(biāo)》等10余本書的編寫；曾經(jīng)在國家級(jí)刊物上發(fā)表論文、教學(xué)設(shè)計(jì)80多篇。先后去日本、澳門和國內(nèi)十多個(gè)省市交流，指導(dǎo)教師參與北京市、中國教育學(xué)會(huì)課堂教學(xué)觀摩獲一等獎(jiǎng)；參與的課題獲北京市基礎(chǔ)教育教學(xué)成果一等獎(jiǎng)、首屆教育部基礎(chǔ)教育成果一等獎(jiǎng)、首屆基礎(chǔ)教育科研成果一等獎(jiǎng)。

教學(xué)研究的基本問題是“教什么”和“怎么教”，前者關(guān)乎教學(xué)內(nèi)容，后者關(guān)乎教學(xué)形式。教學(xué)內(nèi)容決定教學(xué)形式，教學(xué)形式服務(wù)于教學(xué)內(nèi)容?！敖淌裁础庇肋h(yuǎn)比“怎么教”更重要?！敖淌裁础笔悄繕?biāo)，目標(biāo)是首要的；“怎么教”是技術(shù)，技術(shù)是無窮的。教無定法，貴在得法。

一、讀懂每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

孫曉天教授曾經(jīng)指出，作為一名數(shù)學(xué)教師要有意識(shí)地提高自己的專業(yè)素養(yǎng)，樹立基于“全面知識(shí)”的教學(xué)觀。教師對(duì)傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)要有足夠的見識(shí)和視野，見識(shí)和視野從哪里來？來源于對(duì)四個(gè)問題的關(guān)注：為什么？是什么？干什么？怎么干？也就是從一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的四個(gè)維度去思考，想清楚、說明白，進(jìn)一步讀懂教材。

1.讀懂“為什么”，體會(huì)知識(shí)的生命價(jià)值

“為什么”是指教育價(jià)值，一般有三個(gè)角度要考慮：該內(nèi)容在學(xué)生未來的生活里會(huì)有什么作用？在學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)中是什么角色？有哪些獨(dú)到的教育意義？

在備“乘法分配律”這一內(nèi)容時(shí)，我關(guān)注了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系：從乘法口訣到乘法計(jì)算再到因式分解；從計(jì)算周長到長方體的表面積再到圓環(huán)面積；從行程問題到應(yīng)用乘法分配律解決問題再到舉一反三和知識(shí)拓展等，其本質(zhì)都是乘法的意義，其背后蘊(yùn)含的分與合的思想是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展不可缺少的思想，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決問題的策略。

在教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，教師要讓學(xué)生體會(huì)為什么要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)？學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的價(jià)值是什么？在分東西或測(cè)量得不到整數(shù)結(jié)果的時(shí)候就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)來源于需求，這就是引入時(shí)創(chuàng)設(shè)情境的主旨，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的價(jià)值。

“認(rèn)識(shí)方程”是學(xué)生從程序性思維向關(guān)系思維過渡的關(guān)鍵內(nèi)容，有助于豐富學(xué)生的思維方式，是從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，也是數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)思想方法的突破。

2.弄清“是什么”，體會(huì)知識(shí)的內(nèi)涵和本質(zhì)

“是什么”是指數(shù)學(xué)意義，是在表面意義的基礎(chǔ)上挖掘其本質(zhì)。在教材中，有關(guān)周長、面積、體積的概念是這樣描述的：封閉圖形一周的長度是周長；物體表面或平面圖形的大小叫面積；物體所占空間的大小是體積。而其本質(zhì)是：周長是從起點(diǎn)再回到起點(diǎn)，順邊加。周長是長度單位個(gè)數(shù)的累加，面積是面積單位個(gè)數(shù)的累加，體積是體積單位個(gè)數(shù)的累加，所以度量思想非常重要。我們?cè)谶x擇素材、設(shè)計(jì)活動(dòng)、師生互動(dòng)時(shí)要讓學(xué)生體會(huì)概念的本質(zhì)。

如“乘法分配律”就是兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積加起來；分配律是算理，是使算法能“合理簡潔”進(jìn)行的基礎(chǔ)（如乘法豎式）。它溝通了加法和乘法兩種運(yùn)算間的聯(lián)系，改變了運(yùn)算的先后順序。“乘法分配律”是乘法對(duì)加法的分配，實(shí)際上還有許多變式；計(jì)算過程中還滲透了分與合、等量代換的思想，其本質(zhì)就是乘法意義。分配律是“找規(guī)律”，是積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要題材。

“方程是含有未知量的等式”，這是描述性的概念，其本質(zhì)是從事件中尋找兩個(gè)相等的故事，構(gòu)建等量關(guān)系、列出方程，是把未知量和已知量放在同等位置上考慮問題，是一種建立數(shù)學(xué)模型的過程。數(shù)學(xué)源自生活，又回歸生活。這就告訴我們，建立數(shù)學(xué)模型是提取、還原的過程。

3.理解“干什么”，體會(huì)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值

“干什么”是指用途與發(fā)展。“乘法分配律”是保證四則運(yùn)算正確、結(jié)果唯一的定律之一，對(duì)于整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、代數(shù)式、有理式、未來學(xué)習(xí)的積分等知識(shí)都能應(yīng)用，其用途非常廣泛。乘法分配律是一種模型。有人說，除法沒有分配律。其實(shí)，除法的分配律是有條件限制的，可以把被除數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)，可以應(yīng)用分配律；如果把除數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)就無法應(yīng)用了。

分?jǐn)?shù)既表示一種結(jié)果，也表示一種關(guān)系。如部分和整體之間的關(guān)系，部分和部分之間的關(guān)系等。分?jǐn)?shù)能表示除法計(jì)算中除不盡的情況。分?jǐn)?shù)還可以和份、平均分、倍、比等知識(shí)相互轉(zhuǎn)化，解決不同情境中的問題。

如“方程是重要的數(shù)學(xué)模型”，我把方程思想理解為：為尋求未知量和已知量之間的聯(lián)系，把未知量先等同于已知量，進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，并形成等量關(guān)系，進(jìn)而解出未知量。“認(rèn)識(shí)方程”從方程思想滲透的角度有兩個(gè)問題需要關(guān)注：一是如何使學(xué)生學(xué)會(huì)尋找等量關(guān)系，二是學(xué)生在尋找等量關(guān)系時(shí)怎樣才能把未知量等同于已知量。這兩個(gè)問題似乎都與學(xué)生長期的算術(shù)思維有關(guān)，算術(shù)思維使得學(xué)生很容易走向求未知數(shù)。教學(xué)中，我們要提供較為豐富的生活事件，引導(dǎo)學(xué)生不斷地尋找兩個(gè)相等的故事，經(jīng)歷提取等量關(guān)系、列方程的過程，然后讓學(xué)生面對(duì)方程賦予它更多現(xiàn)實(shí)含義。當(dāng)學(xué)生能夠在模型與生活間建立聯(lián)系時(shí)，他們才真正接受了這個(gè)模型。

4.落實(shí)“怎么干”，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)理解

“怎么干”是指具體的技能與方法。如“乘法分配律”的教學(xué)可以借助學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，將成套的服裝、成套的桌椅、常見的數(shù)量關(guān)系作為例證，從兩種不同的計(jì)算方法中得出一組組具有相等關(guān)系的式子；或者借助幾何直觀，給學(xué)生多個(gè)長方形，看哪些能拼成新的長方形，在拼擺中既可以獲得求面積和的例子，也可以呈現(xiàn)求面積差的例證；或者借助生活情景；還可以利用學(xué)生已有的舊知識(shí)學(xué)習(xí)乘法分配律等。

分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)要讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)多元多維的含義，豐富學(xué)生建構(gòu)的分?jǐn)?shù)模型，有面積模型、子集—全集模型、數(shù)線模型等。

如“方程的解法”，從事件中尋找等量關(guān)系，列出方程，可以說是一種建立數(shù)學(xué)模型的過程。如何讓學(xué)生更好地經(jīng)歷這個(gè)建模的過程，更輕松地接受這個(gè)模型，我想單方面讓學(xué)生經(jīng)歷從事件中提取還不足以讓學(xué)生充分接受。所以，在教學(xué)前要搜集較為豐富的生活事件，引導(dǎo)學(xué)生不斷地經(jīng)歷提取等量關(guān)系、列方程的過程；后期讓學(xué)生面對(duì)方程這個(gè)已有模型，賦予它更多現(xiàn)實(shí)含義，當(dāng)學(xué)生能夠?qū)⒛Ｐ团c生活建立聯(lián)系時(shí)，他才真的開始接受這個(gè)模型了。

如果教師對(duì)每一個(gè)具體的教學(xué)內(nèi)容都能沿著“為什么？是什么？干什么？怎么干”的線索想清楚、講明白，就能逐步完善看問題的角度，開闊視野，增添智慧，在觀察世界、欣賞數(shù)學(xué)、思考教學(xué)問題時(shí)做到心中有數(shù)。在此基礎(chǔ)上才能逐步實(shí)現(xiàn)“整體把握”，才能區(qū)別“核心價(jià)值”，明白教什么、怎么教。

二、梳理知識(shí)序列，溝通知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系

備課時(shí)讀懂課時(shí)內(nèi)容的四個(gè)方面還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的關(guān)系學(xué)科，而內(nèi)容的安排上則是分散難點(diǎn)、循序漸進(jìn)、螺旋上升的。所以教師要有意識(shí)地對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。

如“加、減、乘、除”四則運(yùn)算，我們要在不同年級(jí)幫助學(xué)生積累運(yùn)算原型。這就是一個(gè)知識(shí)序列。加、減、乘、除運(yùn)算的意義是核心概念，要讓學(xué)生積累原型，用加、減、乘、除運(yùn)算。運(yùn)算的多種“原型”如下：加法可以作為合并、移入、增加、繼續(xù)往前數(shù)等的模型；減法可以作為剩余、比較、往回?cái)?shù)、減少或加法逆運(yùn)算等的模型；乘法可以作為相等的數(shù)的和、面積計(jì)算、倍數(shù)、組合等的模型；除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運(yùn)算等的模型。

除此之外，我們還應(yīng)該關(guān)注四種運(yùn)算之間的聯(lián)系：乘法是加法的簡便運(yùn)算；加法和減法互為逆運(yùn)算；乘法和除法互為逆運(yùn)算；除法是減去相同減數(shù)的簡便運(yùn)算等。

數(shù)的加減法，不論整數(shù)、小數(shù)，還是分?jǐn)?shù)，其本質(zhì)都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的相加減。小學(xué)階段學(xué)習(xí)的乘法計(jì)算從知識(shí)序列上看：從二年級(jí)學(xué)習(xí)乘法意義和乘法口訣，到三年級(jí)學(xué)習(xí)多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)，四年級(jí)學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)，到五年級(jí)學(xué)習(xí)小數(shù)乘法等。乘法計(jì)算的依據(jù)是十進(jìn)位值，本質(zhì)是分與合的思想，基礎(chǔ)是乘法意義。而小數(shù)乘法是在已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，先把它轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計(jì)算，然后再根據(jù)積的變化規(guī)律得出正確答案。整數(shù)乘法計(jì)算熟練了，小數(shù)乘法不過是找個(gè)替身而已，即轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法去計(jì)算。

除法計(jì)算，一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于這個(gè)數(shù)乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。利用乘除法的互逆關(guān)系進(jìn)行了轉(zhuǎn)化。是不是就分?jǐn)?shù)除法這樣做呢？我們一起來梳理除法計(jì)算。除法計(jì)算包括三個(gè)方面：一個(gè)數(shù)除以一個(gè)整數(shù)；一個(gè)數(shù)除以一個(gè)小數(shù)；一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)（如圖1）。它們都可以轉(zhuǎn)化為乘一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，這就是數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。既體現(xiàn)了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)具有抽象性的特點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有很多的知識(shí)序列，需要教師用心勾連，關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，讓知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

三、建構(gòu)知識(shí)包，把握核心概念

教材關(guān)于教學(xué)內(nèi)容的安排體現(xiàn)了分散難點(diǎn)、循序漸進(jìn)、螺旋上升的特點(diǎn)，所以在教學(xué)時(shí)，要讀懂知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，建立知識(shí)包，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，抓住核心概念，構(gòu)建學(xué)生的關(guān)鍵能力。

“同樣多”是一個(gè)核心概念，正是因?yàn)橛辛恕巴瑯佣唷?，才有了相同加?shù)，才定義了乘法；正是有了“分得同樣多”，才定義了除法，也就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)；有了“同樣多”就有了幾個(gè)幾，有了幾個(gè)幾就有了倍的概念……

“同樣多”作為一個(gè)概念進(jìn)行學(xué)習(xí)，背后的思想是一一對(duì)應(yīng)。角的大小比較、圖形的大小比較都能用重合的方法比較，都是以“同樣多”的對(duì)應(yīng)思想作為支撐。

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“單位”也是一個(gè)核心概念。學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的計(jì)算、數(shù)的大小比較、常見的量、度量中找標(biāo)準(zhǔn)等都離不開“單位”。這里的“單位”包括計(jì)數(shù)單位、計(jì)量單位、度量單位等。

總之，小學(xué)雖小但其內(nèi)涵不小。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中還有很多的核心概念，需要數(shù)學(xué)教師認(rèn)真地思考和發(fā)掘。數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要求教師對(duì)所學(xué)內(nèi)容有整體把握，了解知識(shí)的來龍去脈，關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，把握核心概念，滲透數(shù)學(xué)本質(zhì)。？筻