“任意角的三角函數(shù)”一節(jié)的教材分析及教學(xué)建議

黃德祥

“任意角的三角函數(shù)”一節(jié)是人教版高一數(shù)學(xué)（下冊·必修）第四章第3節(jié)的內(nèi)容.筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剬υ摴?jié)的教材分析及教學(xué)建議，僅供參考。

一、教材編寫特點(diǎn)

教材的編寫是以銳角三角函數(shù)為基礎(chǔ)，角的概念的推廣為前提，利用平面直角坐標(biāo)系為工具定義了任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)，并利用與單位圓有關(guān)的有向線段研究了正弦、余弦、正切函數(shù)的一種幾何表示——正弦線、余弦線、正切線；然后定義任意角的余切、正割、余割函數(shù)，研討了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，用例1、例2鞏固任意角的三角函數(shù)的概念；最后研究正弦、余弦、正切函數(shù)值在平面直角坐標(biāo)系中的各象限內(nèi)的符號及“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等”這一公式（即公式一），并給出了3個(gè)例題（例3、例4、例5）加以鞏固。

二、教學(xué)目的、重點(diǎn)、難點(diǎn)及關(guān)鍵

1、教學(xué)目的。本節(jié)教學(xué)目的是：掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義，了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；了解余切、正割、余割函數(shù)的定義；掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域和這三種三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號；掌握公式一及其應(yīng)用.

2、教學(xué)重點(diǎn)。任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義及其定義域，函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號、公式一及其應(yīng)用是本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)。

3、教學(xué)難點(diǎn)。如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來，是學(xué)習(xí)本節(jié)的難點(diǎn)所在。

4、教學(xué)關(guān)鍵。掌握單位圓的概念，了解三種線段的正、負(fù)與坐標(biāo)軸正、反方向之間的對應(yīng)及三種有向線段（的數(shù)量）與三種三角函數(shù)值之間的對應(yīng)是解決本節(jié)難點(diǎn)的關(guān)鍵.

三、教學(xué)建議

1、課時(shí)劃分與內(nèi)容安排。本節(jié)教學(xué)建議用3課時(shí)完成，并且對教材內(nèi)容順序作適當(dāng)?shù)恼希唧w情況如下。

第一，第1課時(shí)及教學(xué)內(nèi)容。以銳角三角函數(shù)、角的概念的推廣等知識為生長點(diǎn)，以平面直角坐標(biāo)系為研究工具，一氣呵成地定義了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函數(shù)；并研究正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域；最后講解例1、例2加以鞏固。

第二，第2課時(shí)及教學(xué)內(nèi)容。根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，研究六種三角函數(shù)值在平面直角坐標(biāo)中各象限的符號及“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等”（即誘導(dǎo)公式一），最后講解例3、例4、例5加以鞏固。

第三，第3課時(shí)及教學(xué)內(nèi)容。根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，引入單位圓的概念，在單位圓中研究正弦、余弦、正切函數(shù)的一種幾何表示——三角函數(shù)線（這里僅研究正弦線、余弦線和正切線），由于教材中設(shè)有相應(yīng)的例題，建議補(bǔ)充適量例題加以鞏固。

2、案例呈現(xiàn)。根據(jù)不同班級學(xué)生的實(shí)際情況，以下案例可供選擇。

案例1：已知角的終邊上一點(diǎn)P（x，-2）（x≠0），且cos，求sin 和tan的值.

解題分析：由r =|OP|=.由三角函數(shù)的定義有：cos=，∵x∴.=3，∴x=±.當(dāng)x=時(shí)，點(diǎn)P（，-2），此時(shí)sin=，tan=；

當(dāng)x=-時(shí)，點(diǎn)P（-，-2），此時(shí)sin=，tan=.

點(diǎn)評：嚴(yán)格按照任意角的三角函數(shù)定義進(jìn)行示范，重視數(shù)學(xué)符號語言的應(yīng)用及分類討論思想的滲透.

案例2：sin2·cos3·tan4的值（ ）.

A大于0 B小于0 C 等于0 D不能確定

解題分析：∵sin2>0， cos3<0，tan4>0，∴sin2·cos3·tan4<0， ∴選B.

點(diǎn)評：重視弧度制下，任意角的三角函數(shù)值在各象限的符號.

案例3：函數(shù)y=

的值域是（ ）.

A﹛-2，4﹜； B﹛-2，0，4﹜

C﹛-2，0，2，4﹜；D﹛-4，-2，0，﹜

解題分析：先求出該函數(shù)的定義域?yàn)椹xx|x≠ ﹜；再用分類分類討論的思想，按角所在象限討論相應(yīng)的三角函數(shù)的符號，從而脫去絕對值符號，當(dāng)x為第一象限角時(shí)，y=4；當(dāng)x為第二象限角時(shí)，y=-2；當(dāng)x為第三象限角時(shí)，y=0；當(dāng)x為第四象限角時(shí)，=-2. ∴ 函數(shù)的值域?yàn)椹x-2，0，4﹜. 選 B.

點(diǎn)評：值域也可用列舉法表示。

案例4 ：解不等式sinx≥ （0≤x≤2）.

解題分析：由于正弦線在單位圓中是用方向平行于y軸的有向線段來表示.因此，先在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P使得|OP|=，恰好表示角x的正弦值sinx=.作x軸的平行線交單位圓于P1、P2（如圖1），在〔0，2〕內(nèi)，OP1、OP2分別對應(yīng)角、的終邊，要使sinx>，只需將弦P1P2沿y軸正向平移，使OP1與OP2所掃過的范圍即圖中的陰影部分即為所求.

∴原不等式的解集為[、].

案例5：若<<，則sin，cos，tan的大小順序?yàn)開_____（用“<”連接）.

解題分析：如圖2所示，在單位圓中作出的正弦線MP、余弦線OM、正切線AT.

∵OM

點(diǎn)評：師生共同研討此結(jié)論后，如“sin750，cos750，tan750的大小關(guān)系是（用“<”連接）這種題目便迎刃而解了！

案例6：已知0

解題分析：如圖3，設(shè)角x的終邊與單位圓交于點(diǎn)P﹝xp，yp﹞，單位圓交x軸的非負(fù)半軸于A（1，0），過點(diǎn)P作PMOA于M，過點(diǎn)A作單位圓的切線交OP的延長線于T，連結(jié)PA.

∵S△OAP =|OA||MP|，

Slr =，

而S

點(diǎn)評：該案例的引入，不僅使三角函數(shù)線及相關(guān)知識得到綜合的應(yīng)用，而且使數(shù)形結(jié)合的思想在潛移默化中滲入學(xué)生的腦海。

3、注意引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)。由于本小節(jié)內(nèi)容在教材中具有承上啟下的作用，本節(jié)有許多結(jié)論易于（也值得）歸納、總結(jié).例如：關(guān)于六種三角函數(shù)值在平面直角坐標(biāo)中的各個(gè)象限的符號可歸納為：“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”——即第一象限角的六種三角函數(shù)值全部為正，第二象限只有正弦（余割）為正；第三象限只有正切、余切為正，第四象限只有余弦（正割）為正。又如：0