利用數(shù)學(xué)建模思想 提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

任玉良

摘要：教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》把數(shù)學(xué)建模納入了內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中，明確指出“高中階段至少應(yīng)為學(xué)生安排一次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)”，這標(biāo)志著數(shù)學(xué)建模正式進(jìn)入我國(guó)高中數(shù)學(xué)，也是我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模發(fā)展的一個(gè)里程碑。當(dāng)前課改新觀(guān)點(diǎn)指出：讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本著“以學(xué)生為中心，以問(wèn)題為主線(xiàn)，以培養(yǎng)能力為目標(biāo)”的指導(dǎo)思想，特立專(zhuān)題“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)課程的實(shí)踐研究”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題；建模研究

中學(xué)階段，從考試中反映出學(xué)生在解決應(yīng)用問(wèn)題時(shí)困難較大，對(duì)所學(xué)知識(shí)不能靈活應(yīng)用；而且學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于統(tǒng)計(jì)與概率、數(shù)列、線(xiàn)性規(guī)劃等應(yīng)用性?xún)?nèi)容不能充分理解，僅停留在死記硬背，避重就輕的層面。迫于傳統(tǒng)觀(guān)念的束縛和升學(xué)考試的壓力，重書(shū)本知識(shí)傳授，輕實(shí)踐能力培養(yǎng)；重學(xué)習(xí)結(jié)果，輕學(xué)習(xí)過(guò)程；重教師的講授，輕學(xué)生的探索；重視考試成績(jī)，忽視整體素質(zhì)提高等弊端依然在教學(xué)實(shí)踐中普遍存在，從而使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性減弱，理論聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用意識(shí)、獲取信息和資料的能力、創(chuàng)新能力等明顯下降。

新課程倡導(dǎo)民主、開(kāi)放的課程理念。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并培養(yǎng)學(xué)生的理論聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用意識(shí)，獲取信息和資料的能力，創(chuàng)新能力等。

新課標(biāo)下新穎的數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式應(yīng)運(yùn)而生，可以解決上述問(wèn)題，這也是我們數(shù)學(xué)教師值得探索的課題。本課題以新課程的課堂教學(xué)方式改革為背景，運(yùn)用數(shù)據(jù)分析、模型分析、對(duì)比檢驗(yàn)等方法，對(duì)建模教學(xué)進(jìn)行探討性研究。因此在呼喚“素質(zhì)教育”的今天，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)課程的實(shí)踐研究更是迫在眉睫。

一、創(chuàng)設(shè)情景教學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模

例1、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：

方案一：每天回報(bào)40元； 方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；

方案三：第一天回報(bào)0 .4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。

這是一個(gè)典型的利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的例子，所謂數(shù)學(xué)建模的確切含義尚無(wú)定論，但專(zhuān)家們比較趨于一致的看法就是將實(shí)際問(wèn)題中事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化抽象成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系（如公式、函數(shù)、方程或圖形），使原來(lái)的問(wèn)題情境轉(zhuǎn)化為易于解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想.用于解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意兩個(gè)步驟：一是建模（建立數(shù)學(xué)模型），二是解模（運(yùn)用有關(guān)知識(shí)求解數(shù)學(xué)模型）.而高中學(xué)生由于掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)非常有限，所能學(xué)到的數(shù)學(xué)模型也不多，但數(shù)學(xué)建模作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，高中學(xué)生是非常有必要去了解它重要性，知道它的作用，逐步形成數(shù)學(xué)建模意識(shí)，并能養(yǎng)成用數(shù)學(xué)建模去解決一些實(shí)際問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.當(dāng)然，一個(gè)人意識(shí)的形成不是一朝一夕的，需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的培養(yǎng)和強(qiáng)化，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)也一樣，需要教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中不斷地向?qū)W生滲透，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)膹?qiáng)化訓(xùn)練，在教學(xué)中，教師可利用現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材，有針對(duì)性地研究在各個(gè)教學(xué)章節(jié)中可引入哪些數(shù)學(xué)基本模型，且創(chuàng)設(shè)與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)發(fā)展水平相適應(yīng)的問(wèn)題情境，讓學(xué)生體驗(yàn)如何應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題 .

二、注意掌握策略，把握數(shù)學(xué)建模

解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟是：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；第二步：建模在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將問(wèn)題的非數(shù)學(xué)語(yǔ)言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型.這時(shí)，要注意函數(shù)的；第三步：求模運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識(shí)進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果；第四步：還原把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題作出解答，對(duì)于解出的結(jié)果要代入原問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，使其符合實(shí)際背景。

三、通過(guò)實(shí)際應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)建模

在學(xué)習(xí)了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)后指導(dǎo)學(xué)生用以建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題使學(xué)生掌握相關(guān)類(lèi)型的建模方法，為他們今后能主動(dòng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)、方法、手段處理問(wèn)題提供知識(shí)儲(chǔ)備，增加數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn) 使學(xué)生產(chǎn)生明顯的意識(shí)和情感.中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)建模類(lèi)型大致有以下幾種：

1、函數(shù)模型。在生產(chǎn)生活中普遍存在成本最低、利潤(rùn)最高、產(chǎn)出最大、效益最好、用料最省等應(yīng)用問(wèn)題，可以歸結(jié)為函數(shù)的最值問(wèn)題，常常建立函數(shù)模型來(lái)求解.

例2、某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入

100元，已知總收益滿(mǎn)足函數(shù)：

，其中x是儀器的月產(chǎn)量。

（1）將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f （x）。

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？

（總收益=總成本+利潤(rùn)）

函數(shù)作為研究現(xiàn)實(shí)世界中變量之間關(guān)系的的模型，對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較抽象和難懂的，但是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)很有用，所以，教師在教學(xué)中一定要注重函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)，注重函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的結(jié)合.使學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)用以建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題

2、方程或不等式。在實(shí)際生活和生產(chǎn)中常出現(xiàn)有關(guān)行程、路程、工程、統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化問(wèn)題等方面的應(yīng)用題可建立方程或不等式模型求解

例3、設(shè)有兩座鐵礦山A、B，另有三個(gè)煉鐵廠(chǎng)甲、乙、丙需要礦石，各礦日產(chǎn)量和各廠(chǎng)日需量及對(duì)應(yīng)的運(yùn)價(jià)（元）如表5.18給出，問(wèn)怎樣調(diào)運(yùn)送礦石才能使總費(fèi)用最??？

鐵礦山 煉鐵廠(chǎng) 產(chǎn)量

甲 乙 丙

A 6 9 12 60

B 1 3 3 45

礦石需求量 50 30 25 105

方程和不等式是高中數(shù)學(xué)兩個(gè)最基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，也是兩個(gè)很重要的數(shù)學(xué)模型，很多的實(shí)際問(wèn)題都可以用這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)解決

3、三角模型。用三角函數(shù)的知識(shí)能確定安全范圍內(nèi)所滿(mǎn)足的條件，如：河寬、山高、建筑物的高度測(cè)量等，特別是在以方位為基準(zhǔn)建立坐標(biāo)系時(shí)的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題的解決中，非常有用

例4、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A(yíng)的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，BAC=，ACB=. 求A、B兩點(diǎn)的距離（精確到0.1m）.

三角函數(shù)主要是對(duì)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行研究，在涉及到三角形的邊角關(guān)系的實(shí)際測(cè)量問(wèn)題時(shí)，建立三角模型，利用邊角轉(zhuǎn)換進(jìn)行計(jì)算得到所需的數(shù)據(jù)，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)往往有特別好的效果.

4、統(tǒng)計(jì)概率模型。統(tǒng)計(jì)、概率與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系，模型很多，學(xué)生可以通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)處理的方法，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行推斷和預(yù)測(cè)，為相關(guān)決策提供依據(jù)和參考

例5；在一批產(chǎn)品中80%的合格品，驗(yàn)收這批產(chǎn)品時(shí)規(guī)定，先從中任取一個(gè)，若是合格的就放回去，然后再取一個(gè)若仍為合格品，則接受這批產(chǎn)品，否則拒收。求（1）驗(yàn)收第一個(gè)產(chǎn)品為合格品且第二個(gè)產(chǎn)品為次品的概率？（2）這批產(chǎn)品被拒收的概率？

統(tǒng)計(jì)和概率模型可從看似雜亂的數(shù)據(jù)整理出所需要的信息，并解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的威力，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性.

5、數(shù)列模型。現(xiàn)實(shí)生活中存在很多的數(shù)列模型，讓學(xué)生充分感受到數(shù)列是來(lái)源于生活反映現(xiàn)實(shí)生活的模型。

例6.某家用電器一件現(xiàn)價(jià)2000元，實(shí)行分期付款，每期付款相同，每期為一月，購(gòu)買(mǎi)后一個(gè)月開(kāi)始付款，每月付款一次，共付12次，購(gòu)買(mǎi)后一年還清，約定月利率為0.8%，按復(fù)利計(jì)算，那么每期應(yīng)付款多少？

在實(shí)際問(wèn)題中，若明顯含有或隱含等量、等額、均勻變化等含義的關(guān)鍵詞和語(yǔ)句，可以考慮用等差數(shù)列建模解決；若明顯含有隱含倍數(shù)、百分比、比率變化等含義的關(guān)鍵詞和語(yǔ)句，可以考慮用等比數(shù)列建模解決；

以實(shí)際問(wèn)題的解決作為載體，并結(jié)合高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)到解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題并不是無(wú)章可循.可以經(jīng)過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的進(jìn)行分析——將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化——建立數(shù)學(xué)模型——經(jīng)數(shù)學(xué)方法求解——回歸到實(shí)際問(wèn)題——求出實(shí)際問(wèn)題的解等幾個(gè)步驟來(lái)解決.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中知道數(shù)學(xué)模型的作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想。