重拾高等代數(shù)中的兩個(gè)定理

方又超

[摘要]矩陣的初等變換是學(xué)習(xí)高等代數(shù)的一個(gè)重要工具，用初等矩陣可建立初等變換所施行的前后對(duì)象間的關(guān)系等式，其形式往往是在變換前的對(duì)象的左邊或右邊乘以一個(gè)初等矩陣得到變換后的對(duì)象。由于初等矩陣是可逆的，而可逆矩陣可以從等式兩邊約去，因此能保證初等變換所施行的前后對(duì)象具有一些共同的代數(shù)性質(zhì)。本文用可逆矩陣可從等式兩邊約去這一性質(zhì)簡(jiǎn)明地探討了高等代數(shù)中的兩個(gè)定理。

[關(guān)鍵詞]初等變換；初等矩陣；可逆；同解；極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組

[中圖分類(lèi)號(hào)]O151。2

1。引 言

初次接觸“線(xiàn)性方程組的初等變換是同解變換”這一定理時(shí)，覺(jué)得這是顯而易見(jiàn)的，但要寫(xiě)下其證明過(guò)程又覺(jué)得不那么容易，主要是不清楚施行初等變換前后的兩個(gè)線(xiàn)性方程組的整體關(guān)系等式，證明過(guò)程較多地采用描述性的語(yǔ)言，顯得有點(diǎn)繁瑣。定理：矩陣的行初等變換不改變矩陣的列秩；矩陣的列初等變換不改變矩陣的行秩。在文獻(xiàn)[2]中的證明過(guò)程關(guān)鍵依賴(lài)于線(xiàn)性方程組的初等變換是同解變換這一定理，其中的有些細(xì)節(jié)對(duì)初學(xué)者有一定的難度，主要還是不清楚變換前后的兩個(gè)矩陣的列向量間的具體點(diǎn)的關(guān)系式。文獻(xiàn)[1]在處理前一個(gè)定理和文獻(xiàn)[2]在處理后一個(gè)定理時(shí)都還沒(méi)有編排到矩陣乘法、初等矩陣等內(nèi)容。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，對(duì)于一開(kāi)始較難理解的某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，只要不對(duì)后繼學(xué)習(xí)產(chǎn)生嚴(yán)重障礙，我們可以放一放，待進(jìn)一步的學(xué)習(xí)之后，回過(guò)頭再作思考。學(xué)習(xí)了矩陣乘法、初等矩陣和可逆矩陣這些內(nèi)容后，可對(duì)這兩個(gè)定理的證明作適當(dāng)?shù)靥幚?，進(jìn)一步明確原證明中的一些細(xì)節(jié)，真正地理解原證明。

2。對(duì)兩個(gè)定理的證明處理

在分別對(duì)這兩個(gè)定理作簡(jiǎn)明證明之前，我們先提出如下的顯而易見(jiàn)的引理。

引理 設(shè)A∈Fm×n，B∈Fm×l，P是數(shù)域F上的一個(gè)m階可逆矩陣，則矩陣方程AX=B與（PA）X=PB同解。

該引理表明可逆矩陣可以從等式兩邊約去，可逆矩陣在代數(shù)式的恒等變形中起到關(guān)鍵作用。

定理1 線(xiàn)性方程組的初等變換是同解變換。

證明 設(shè)含有n個(gè)未知量m個(gè)方程的線(xiàn)性方程組為AX=b，

其中A∈Fm×n，X=（x1，x2，…，xn）T，b=（b1，b2，…，bm）T。對(duì)該線(xiàn)性方程組施行一次線(xiàn)性方程組的初等變換，相當(dāng)于在該線(xiàn)性方程組的兩邊同時(shí)左乘一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣，即AX=b施行一次線(xiàn)性方程組的初等變換后所得的線(xiàn)性方程組為（PA）X=Pb，其中P為所施行的初等變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣（如對(duì)AX=b施行第i個(gè)方程的k倍加到第j個(gè)方程的線(xiàn)性方程組的初等變換后所得線(xiàn)性方程組為[Tji（k）A]X=Tji（k）b）。因?yàn)槌醯染仃嘝可逆，由引理可知AX=b與（PA）X=Pb同解。即線(xiàn)性方程組的初等變換不改變線(xiàn)性方程組的解。（證畢）

注1：若把m行n列矩陣A的n個(gè)列向量記為α1，α2，…，αn，b=β，P為一個(gè)m階

可逆矩陣，則線(xiàn)性方程組

x1α1+x2α2+…+xnαn=β

與x1（Pα1）+x2（Pα2）+…+xn（Pαn）=Pβ

同解。

定理2 矩陣的行初等變換不改變矩陣的列秩；矩陣的列初等變換不改變矩陣的行秩。

證明 這里只證明“矩陣的行初等變換不改變矩陣的列秩”。

已知A是數(shù)域F上一個(gè)m行n列的矩陣，α1，α2，…，αn是A的n個(gè)m維列向量。若A經(jīng)過(guò)一系列的行初等變換后所得矩陣是B，設(shè)B的n個(gè)列向量為β1，β2，…，βn，由A經(jīng)過(guò)一系列的行初等變換后得到矩陣B可知，存在一個(gè)可逆矩陣P，使得B=PA，即（β1，β2，…，βn）=P（α1，α2，…，αn），也即βi=Pαi（i=1，2，…，n）。設(shè)A的列秩為r，{α1，α2，…，αn}的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組為{αi1，αi2，…，αir}，由注1可知齊次線(xiàn)性方程組x1αi1+x2αi2+…+xrαir=0與齊次線(xiàn)性方程組x1Pαi1+x2Pαi2+…+xrPαir=0同解，因?yàn)閧αi1，αi2，…，αir}是線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，所以x1αi1+x2αi2+…+xrαir=0只有零解，因而x1Pαi1+x2Pαi2+…+xrPαir=0只有零解，即Pαi1，Pαi2，…，Pαir線(xiàn)性無(wú)關(guān)，也即βi1，βi2，…，βir線(xiàn)性無(wú)關(guān)；反之，若βi1，βi2，…，βir線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則αi1，αi2，…，αir也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。同理可證，若有線(xiàn)性表示式

αi=k1αi1+k2αi2+…+krαir（i=1，2，…，n）。

則也有線(xiàn)性表示式

βi=k1βi1+k2βi2+…+krβir（i=1，2，…，n）。

反之亦然，即{βi1，βi2，…，βir}是{β1，β2，…，βn}的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，即B矩陣的列秩也是r。綜上可知矩陣的行初等變換不改變矩陣的列秩，且{αi1，αi2，…，αir}是{α1，α2，…，αn}的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的充要條件是{βi1，βi2，…，βir}是{β1，β2，…，βn}的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。

3?？?結(jié)

以上重新處理兩個(gè)定理的過(guò)程，關(guān)鍵用到一個(gè)簡(jiǎn)單的原理：可逆矩陣可以從等式兩邊“約去”，即文中引理。這種類(lèi)似“約分”的技巧在初等數(shù)學(xué)中較常見(jiàn)，在高等代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)類(lèi)比初等數(shù)學(xué)的處理方法，可能對(duì)我們的學(xué)生有所幫助。另外，可逆矩陣本質(zhì)上是一些初等矩陣的乘積，初等矩陣是為了準(zhǔn)確刻畫(huà)矩陣的初等變換過(guò)程的數(shù)量關(guān)系引入的一種特殊的矩陣，而矩陣的初等變換根源于線(xiàn)性方程組的初等變換。我們從具體的線(xiàn)性方程組的求解抽象出矩陣的初等變換，深入探討矩陣的初等變換后回過(guò)頭來(lái)重新認(rèn)識(shí)線(xiàn)性方程組的求解，遵循著從“具體到抽象”，再由“抽象到具體”的思維過(guò)程。在這種交互的過(guò)程中，我們的認(rèn)識(shí)前進(jìn)了一小步。