淺析高斯函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

向東

[摘要]最近幾年高考命題者為了創(chuàng)設(shè)新穎的問(wèn)題情境，考查學(xué)生知識(shí)遷移能力、臨場(chǎng)應(yīng)變能力、創(chuàng)新能力，很多命題者都把目光投向了高斯函數(shù)，將高等數(shù)學(xué)里面的高斯函數(shù)作為信息題出在高考試卷上，一般都出現(xiàn)在選擇題或者填空題的最后幾題中，頗具難度，本文旨在介紹高斯函數(shù)的一些基本性質(zhì)，通過(guò)對(duì)一些高考題的講解讓大家接觸高斯函數(shù)，感受高斯函數(shù)的魅力，幫助廣大師生備戰(zhàn)高考。

[關(guān)鍵詞]高斯函數(shù)；高考；應(yīng)用

一、基礎(chǔ)知識(shí)

（一）定 義

設(shè)x∈R，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)（如1=1，2。1=2，-1。6=-2）。則y=[x]稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)。

（二）性 質(zhì)

1。y=[x]的定義域是R，值域是Z。

2。對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R，都有[x]≤x<[x]+1。

3。對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R，k∈Z，都有x+k=[x]+k。

二、例題鑒賞

例1 （2010年陜西卷理科第10題）某學(xué)校要召開(kāi)學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表，那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為（ ）。

A。y=x10 B。y=x+310

C。y=x+410D。y=x+510

分析 本題的關(guān)鍵在于取整問(wèn)題的處理，由于此題是選擇題，故可優(yōu)先考慮特殊值法

解 方法1——特殊值法：若x=16，y=1，可排除C，D，若x=17，y=2，可排除A，故選B。

方法2——直接法：設(shè)x=10m+n（0≤n≤9），

當(dāng)0≤n≤6時(shí)，x+310=m+n+310=m=x10，

當(dāng)6

點(diǎn)評(píng) 本題圍繞取整函數(shù)的表達(dá)式來(lái)進(jìn)行處理，我們?cè)谧鲞x擇題的時(shí)候可以靈活的選擇用特殊值法或者直接法來(lái)處理。

例2 （2013年陜西卷理科第10題）設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y有（ ）。

A。[-x]=-[x]B。[2x]=2[x]

C。x+y≤[x]+[y]D。x-y≤[x]-[y]

分析 此題采用特殊值法就很容易得出答案。

解 令x=1。6，則-1。6=-2，-1。6=-1，3。2=3，21。6=2，排除A，B。

令x=y=1。6，則3。2=3，1。6+1。6=2，3>2，排除C，故答案選D。

點(diǎn)評(píng) 此題雖然由高斯函數(shù)的定義出發(fā)考察其一些性質(zhì)，但是由于是選擇題，所以我們可以用特殊值法快速的得到正確答案

三、方法歸納

與高斯函數(shù)有關(guān)的題目都比較靈活，而且技巧性比較強(qiáng)，在解決高斯函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題的時(shí)候，其中比較常見(jiàn)的解題方法有：

1。充分利用高斯函數(shù)的定義，從定義出發(fā)來(lái)嘗試解決問(wèn)題，根據(jù)高斯函數(shù)的定義，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)與高斯函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，因?yàn)樵诓煌膮^(qū)間取整之后結(jié)果不一樣，所以最終都會(huì)歸結(jié)到區(qū)間討論上面來(lái)。

2。潛意識(shí)的利用高斯函數(shù)的三條性質(zhì)，特別是性質(zhì)（2）、（3），因?yàn)檫@兩條性質(zhì)都是直接從定義得出來(lái)的，所以我們可以把性質(zhì)（2）、（3）當(dāng)做推論來(lái)用，利用這個(gè)性質(zhì)工具來(lái)處理問(wèn)題，常常能夠得到意想不到的結(jié)果。

3。特殊值法，利用特殊值法來(lái)解決高斯問(wèn)題異常方便，在使用的時(shí)候結(jié)合估值法，比如說(shuō)例2就可以用這種方法來(lái)做，優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、方便、快捷，高考是知識(shí)、能力與技巧的較量，在有限的時(shí)間內(nèi)，時(shí)間決定成敗，在高考有限的時(shí)間內(nèi)利用特殊值法能夠快速的選擇出正確的答案，為做其他題目留出了寶貴的時(shí)間。

四、總 結(jié)

從上面幾個(gè)高考例題來(lái)看，我們不難發(fā)現(xiàn)與高斯函數(shù)有關(guān)的高考命題主要是考察其基本性質(zhì)，或者稍微的變形延伸一下，顯然我們?cè)趯W(xué)習(xí)高斯函數(shù)的時(shí)候不能死記結(jié)論，應(yīng)該從本質(zhì)上去理解它，并且更加深入的挖掘其性質(zhì)，最后達(dá)到舉一反三。雖然高斯函數(shù)是高等數(shù)學(xué)里面的內(nèi)容，有一定的難度，但是把它作為中等或偏下難度的信息題放到高考中也是一種新穎的考察方式，考生在解題中常需要結(jié)合分類討論、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考察了高中生的臨場(chǎng)應(yīng)變能力、創(chuàng)新能力，在高考場(chǎng)上大家都是平等的，這符合新課程標(biāo)準(zhǔn)。

[參考文獻(xiàn)]

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