初等函數(shù)及其連續(xù)性 初等函數(shù)及其連續(xù)性

柴英明

[摘要]本文試圖解決這兩個問題：一方面，初等函數(shù)的確切定義是什么；另一方面，初等函數(shù)在其定義域內還是其定義區(qū)間上連續(xù)。

[關鍵詞]初等函數(shù)；四則運算；復合運算

1 引 言

在《數(shù)學分析》和《高等數(shù)學》里都會提到初等函數(shù)，初等函數(shù)是一個使用頻率很高的概念，很多學者對它進行研究。但這些研究多數(shù)只關注初等函數(shù)的形式而沒有涉及初等函數(shù)的實質，就是到底什么是初等函數(shù)沒有說清楚。本文從基本初等函數(shù)出發(fā)，嚴格討論函數(shù)相等與函數(shù)運算，給出初等函數(shù)的確切定義。初等函數(shù)的連續(xù)性也是研究比較多的一個內容，主要分歧是在初等函數(shù)在其定義域內還是其定義區(qū)間上連續(xù)。我們在給出初等函數(shù)確切定義后，再重新討論初等函數(shù)的連續(xù)性。

常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，這六類函數(shù)稱作基本初等函數(shù)。它們在其定義域內都是連續(xù)的。這里我們強調：根據函數(shù)相等，函數(shù)定義域、對應法則都相同函數(shù)才相等，所以函數(shù)的一部分與原來函數(shù)不是同一函數(shù)，即基本初等函數(shù)的一部分不是基本初等函數(shù)。對于“什么是初等函數(shù)？”則有點復雜。為了把它說清楚，我們首先從函數(shù)的四則運算與復合運算的定義說起。函數(shù)的四則運算與復合運算可分為兩種情況討論，即，嚴格的和廣義的。為了敘述方便，記函數(shù)y=f（x）的定義域為Df，值域為Rf。

2 嚴格的四則運算與嚴格的復合運算

一般《數(shù)學分析》里定義的函數(shù)的四則運算和復合運算，我們這里把它稱為嚴格的四則運算與嚴格的復合運算。

定義2。1（嚴格的函數(shù)的四則運算） 設函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的定義域相同，則y=f（x）與y=g（x）的和、差、積、商分別為f（x）+g（x）、 f（x）-g（x）、 f（x）·g（x）、f（x）g（x）（g（x）≠0）。

定義2。2（嚴格的函數(shù)的復合運算） 設y=f（x）的定義域包含函數(shù)y=g（x）的值域，則稱

y=f[g（x）]

為f與g的復合函數(shù)，記作f°g。 對于復合函數(shù)y=f[g（x）]也可以寫成y=f（u），u=g（x），其中u叫作中間變量。

通常的初等函數(shù)的定義如下。

定義2。3 由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算和有限次復合而成的函數(shù)，叫作初等函數(shù)。

3 廣義的四則運算與廣義的復合運算

一般《高等數(shù)學》里使用的函數(shù)的四則運算和復合運算，我們這里把它稱為廣義的四則運算與廣義的復合運算。

定義3。1（廣義的函數(shù)的四則運算） 若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的定義域不同，但A=Df∩Dg≠，那么將限制在A上的y=f（x）與y=g（x）的四則運算稱為廣義的四則運算。即f（x）+g（x）定義為f（x）+g（x），（x∈A）。

定義3。2（廣義的函數(shù)的復合運算） 若y=g（x）的值域Rg不含在y=f（x）的定義域Df里，但Rg∩Df≠，不妨記B={x|g（x）∈Rg∩Df}，那么將限制在B上的y=f（x）與y=g（x）的復合運算稱為廣義的復合運算。即f°g（x）定義為y=f（x）與y=g（x），（x∈B）的復合。

定義3。3 由基本初等函數(shù)經過有限次廣義的四則運算和有限次廣義的復合而成的函數(shù)，叫作初等函數(shù)。

按此定義y=lnx就是初等函數(shù)，它是y=x和y=lnx廣義復合而成。

接下來我們約定初等函數(shù)就是指按定義3。3定義的函數(shù)。下面討論初等函數(shù)的連續(xù)性。

4 初等函數(shù)連續(xù)性

首先，不論是在《數(shù)學分析》還是在《高等數(shù)學》里都有經典的結論，連續(xù)函數(shù)按照嚴格的四則運算與嚴格的復合運算都是連續(xù)的。

定理4。1 如果f（x）和g（x）都在點x0處連續(xù)，則它們嚴格的和f（x）+g（x）、差f（x）-g（x）、積f（x）g（x）、商f（x）[]g（x）（g（x）≠0）在點x0處連續(xù)。

定理4。2 如果函數(shù)u=φ（x）在點x0處連續(xù)，且u0=φ（x0），而函數(shù)y=f（u）在點u0連續(xù)，則嚴格復合函數(shù)y=[φ（x）]在點x0處連續(xù)。

其次，我們指出連續(xù)函數(shù)按照廣義的四則運算與廣義的復合運算也是連續(xù)的。

定理4。3 如果f（x）和g（x）都在點x0處連續(xù)，則它們廣義的和、差、積、商在點x0處連續(xù)。

證明：如果f（x）和g（x）都在點x0處連續(xù)，則x0∈Df且x0∈Dg，即x0∈Df*g，其中*代表廣義的和、差、積、商。再根據定理4。1，f*g在x0處連續(xù)。

定理4。4 如果函數(shù)u=φ（x）在點x0連續(xù)，且u0=φ（x0），而函數(shù)y=f（u）在點u0連續(xù)，則廣義復合函數(shù)y=[φ（x）]在點x0連續(xù)。

證明：如果函數(shù)u=φ（x）在點x0連續(xù)，且u0=φ（x0），而函數(shù)y=f（u）在點u0連續(xù)，則x0∈Df°g，其中復合°代表廣義的復合。再根據定理4。2，f°g在x0處連續(xù)。

根據定理4。3、4。4，我們得到初等函數(shù)在其定義域內都是連續(xù)的。但初等函數(shù)的定義域可能是一些孤立點，比如：y=cosx-1是初等函數(shù)，它的定義域是一些孤立點x=2kπ，k∈Z。從拓撲學的角度看，這不影響連續(xù)性，但很多《高等數(shù)學》包括《數(shù)學分析》都沒有定義孤立點的連續(xù)性。由此，我們只強調初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間內是連續(xù)的。

定理4。5 初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間內是連續(xù)的。

因為符號函數(shù)y=sgnx=1，0，-1， x>0，x=0，x<0，在定義區(qū)間內不連續(xù)，所以符號函數(shù)不是初等函數(shù)。但這不表示分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，絕對值函數(shù)y=|x|=x，-x， x≥0，x<0，可以由y=u，u=x2復合得到，故絕對值函數(shù)是初等函數(shù)。