淺析函數(shù)與數(shù)列的極限概念

呂貴臣　鐘堅(jiān)敏　羅中函　宋江敏

[摘要]：極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)理論，掌握極限理論是學(xué)好數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。為更好地理解函數(shù)與數(shù)列的極限概念，本文基于分辨率的語(yǔ)言來(lái)解析微積分學(xué)中的數(shù)列和函數(shù)極限的概念。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)和數(shù)列的極限；ε-N語(yǔ)言； ε-δ語(yǔ)言

[課題項(xiàng)目]重慶理工大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2014YB17）；重慶理工大學(xué)科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目資助（2012ZD37）；重慶市科委前沿與應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目資助（cstc2014jcyjA00023）；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目資助（KJ1400937）。

1 引 言

牛頓與萊布尼茨分別獨(dú)立創(chuàng)立了微積分，在當(dāng)時(shí)解決了許多非常困難和復(fù)雜的問(wèn)題，然而它的理論基礎(chǔ)并不完善，直至貝克萊悖論的提出，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。此后，數(shù)學(xué)家們投入到了分析嚴(yán)格化的研究中，此時(shí)，Cauchy提出極限理論，隨后，Weierstrass又給出了更為嚴(yán)格的ε-δ語(yǔ)言，奠定了微積分學(xué)的基礎(chǔ)。

2 “分辨率語(yǔ)言”與數(shù)列極限的ε-N定義

陳景潤(rùn)院士在一次報(bào)告中，形象地說(shuō)明了數(shù)列極限的ε-N語(yǔ)言，這里我們將對(duì)陳先生的思想做一點(diǎn)拓廣和應(yīng)用，來(lái)詳細(xì)地說(shuō)數(shù)列極限的定義。

例1 （截杖問(wèn)題）在《莊子-天下篇》中，莊周引用了梁國(guó)宰相惠施一句話： 一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。

這句話蘊(yùn)含了極限的思想，其意思是一根長(zhǎng)一尺的木棒，每天截下一半，永遠(yuǎn)也截取不完。

那么翻譯成數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是，一根長(zhǎng)為一尺的木棒，每天截取一半，這樣我們就得到了如下數(shù)列：12，122，…12n…，通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)n→+∞，12n→0，此時(shí)，我們就把0稱為數(shù)列12n的極限。這種定義只是描述性定義。

為了從數(shù)學(xué)上更嚴(yán)格地定義它，我們做一個(gè)理想實(shí)驗(yàn)，我們具體來(lái)操作一下如何截取木棒的過(guò)程：今天截下一半，剩余12，明天截下一半，剩余122…，按照這種過(guò)程，我們截取到了（假如說(shuō)）20天，木棒“沒(méi)有”了，這里的“沒(méi)有”是什么意思呢？ 我們用肉眼看，看不到了或者說(shuō)分辨不出來(lái)了，如果換成顯微鏡，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，又可以看見(jiàn)了，這樣我們可以繼續(xù)操作，由于顯微鏡的分辨率也是有限的，所以總存在一天（假比說(shuō)是第100天），我們又看不見(jiàn)了。因此，這就需要更高倍的顯微鏡了，… 這樣，我們可以將這種過(guò)程持續(xù)下去，得到：

任意給定分辨率（ε>0），總存在時(shí)刻（N），使得該時(shí)刻之后（n>N），無(wú)法分辨12n-0<ε。 這樣，我們就利用了分辨率的語(yǔ)言，描述了數(shù)列極限的ε-N定義，這種思想我們不妨稱為是“分辨率語(yǔ)言”。

3 “分辨率語(yǔ)言”與函數(shù)極限的ε-δ定義

下面，我們將從分辨率的語(yǔ)言，來(lái)說(shuō)明這個(gè)函數(shù)極限的ε-δ定義，為了更好地理解，我們從下面的一個(gè)例子進(jìn)行闡述。

例2 考察函數(shù)f（x）=x+1，分析當(dāng)x越來(lái)越接近于1時(shí)，函數(shù)f（x）的變化規(guī)律，如果x無(wú)限接近于1時(shí)，f（x）如何變化？

借助于幾何圖形，易知x→1，f（x）→2，即2是函數(shù)f（x）的極限。為了更好地利用ε-δ義來(lái)說(shuō)明，我們做如下的理想實(shí)驗(yàn)：

假設(shè)有兩只螞蟻沿著軌跡f（x）爬行，現(xiàn)在從某一時(shí)刻，螞蟻甲從左邊朝x=1運(yùn)動(dòng)，螞蟻乙從右邊朝x=1運(yùn)動(dòng)，很明顯，在點(diǎn)（1，2）處，二者相遇。若用肉眼觀察，甲在x1，乙在x2時(shí)刻，使得此刻后，感覺(jué)它們相遇了，然而，事實(shí)上它們之間存在距離，只是超出肉眼的觀測(cè)范圍。若換成顯微鏡觀測(cè)，又可以看到他們之間存在距離，隨著時(shí)間的延續(xù)，甲在x3，乙在x4時(shí)刻，此刻后，看上去二者又相遇了……，這個(gè)過(guò)程可以一直持續(xù)下去。 這樣，我們就得到了

limx→1f（x）=2ε>0，X1，X2，x∈（X1，X2）/{1}，

|f（x）-2|<ε。

然而，按照這種敘述方式，顯然比描述性的極限定義前進(jìn)了一步，然而我們?nèi)绱吮硎疽环矫媸遣幻烙^，另一方面也無(wú)法體現(xiàn)出螞蟻們與x=1的接近程度，我們?cè)冢╔1，X2）/{1}內(nèi)取一個(gè)x=1的去心鄰域U°（1，δ）（X1，X2）/{1}（我們用δ來(lái)體現(xiàn)存在的時(shí)刻），進(jìn)而定義描述成

limx→1f（x）=2ε>0，δ>0，x∈U°（1，δ），

|f（x）-2|<ε。

就是標(biāo)準(zhǔn)的ε-δ定義。

3 總 結(jié)

極限理論是微積分學(xué)中一個(gè)抽象概念，比較難理解，學(xué)生在掌握的時(shí)候總是感覺(jué)無(wú)從著手。本文給予一套“分辨率的語(yǔ)言”來(lái)更好地理解極限理論的ε-N定義和ε-δ定義，有助于學(xué)生對(duì)極限概念的進(jìn)一步理解。

[參考文獻(xiàn)]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編。數(shù)學(xué)分析，第四版[M]。北京：高等教育出版社，2010（7）。

[2]司清亮，從數(shù)學(xué)發(fā)展史中理解極限理論[J]。焦作師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2008（24）：70-71。