行列式理論的若干反例研究

丁嘉程

[摘要]高等代數(shù)的內(nèi)容抽象，概念定理多，學(xué)習(xí)有一定難度。 通過(guò)研究“反問(wèn)題”和構(gòu)造反例，有利于正確理解掌握概念和定理。 本文對(duì)高等代數(shù)中行列式理論的若干反問(wèn)題及反例進(jìn)行了研究，通過(guò)具體的例子說(shuō)明如何確定命題的真假，并對(duì)假命題舉出反例且加以修正，這無(wú)疑有利于加深對(duì)相關(guān)概念與性質(zhì)的理解。

[關(guān)鍵詞]克拉默法則；行列式；矩陣；線性方程組

對(duì)于高等代數(shù)的學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤的命題舉出反例，并加以改正，給出嚴(yán)格證明，來(lái)肯定改正后命題的正確性，是非常必要和重要的一件事情。 同樣地，也可以對(duì)原本正確的命題加以改動(dòng)，例如去掉、增加或變化一些條件，對(duì)有關(guān)聯(lián)的命題進(jìn)行融合疊加，改動(dòng)后的命題正確則證明，錯(cuò)誤則舉出反例。 本文對(duì)高等代數(shù)中行列式理論的若干反問(wèn)題及反例進(jìn)行了研究，通過(guò)具體的例子說(shuō)明如何確定命題的真假，并對(duì)假命題舉出反例且加以修正，這無(wú)疑有利于加深對(duì)相關(guān)概念與性質(zhì)的理解。

例1 根據(jù)克拉默法則，有如下結(jié)論：若齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式不等于0，那么它只有零解。 其逆命題為齊次線性方程組只有零解，則方程組的系數(shù)矩陣的行列式不等于0。

通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)逆命題是假命題。 即齊次線性方程組只有零解時(shí)，方程組的系數(shù)矩陣的行列式也可能等于0，反例如下：

設(shè)aij全為整數(shù)，則方程組

a11x1+a12x2+…+a1nxn=2-1x1a21x1+a22x2+…+a2nxn=2-1x2……an1x1+an2x2+…+annxn=2-1xn

只有零解。 事實(shí)上，令

f（λ）=a11-λa12…a1na21a22-λ…a2nan1an2…ann-λ=（-1）nλn+b1λn-1+…+bn-1λ+bn，

則由于aij為整數(shù)，故 b1，…，bn-1，bn均為整數(shù)。 將原方程組移項(xiàng)后即知，其系數(shù)行列式為f（2-1）=（-1）n2-n+b22-n+1+…+bn-12-1+bn，若f（2-1）=0，則由上式得2（b1+2b2+2n-1bn）=（-1）n+1。矛盾！故f（2-1）≠0，從而方程組只有零解。

在這個(gè)命題中，并沒(méi)有要求這個(gè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式不等于0，而用條件系數(shù)aij為整數(shù)加以限制，同樣得出方程組只有零解。 可見(jiàn)若齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式不等于0，那么它只有零解的逆命題是錯(cuò)誤的，必須加上其他條件對(duì)其修正后才能得出正確結(jié)論。

例2 克拉默法則應(yīng)用的前提條件為系數(shù)矩陣必須為方陣的方程組。 而當(dāng)對(duì)命題條件進(jìn)行修改，方程組的未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)不相等時(shí)，克拉默法則無(wú)法應(yīng)用，則表示修改后的命題為假命題。 此時(shí)，考慮將克拉默法則進(jìn)行推廣，使其在系數(shù)矩陣不為方陣的情況下也適用。 我們給出以下命題：

命題 設(shè)A為m×n實(shí)矩陣，b為m×1列向量，若R（A）=n，則線性方程組Ax=b與ATAx=ATb均有唯一解，且同解，其解為x=（ATA）-1ATb。

為了證明該命題，首先給出一些結(jié)論。

引理1 設(shè)A為m×n實(shí)矩陣，則線性方程組Ax=0與ATAx=0同解，其中AT是矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。

證明 若x滿足Ax=0，則有AT（Ax）=0，即（ATA）x=0；反之，若x滿足（ATA）x=0，則xT（ATA）x=0，即（Ax）T（Ax）=0，而（Ax）T為行向量，Ax為列向量，容易得到Ax=0。 綜上所述，方程組方程組Ax=0與（ATA）x=0同解。

推論2 設(shè)A為m×n實(shí)矩陣，則R（A）=R（ATA，ATb）=R（AT（Ab））≤R（AT） =R（ATA），其中R（A）是矩陣A的秩。

注意到R（ATA）≤R（ATA，ATb）=R（AT（Ab））≤R（AT）=R（ATA），R（ATA，ATb） =R（ATA），即線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，可得

引理3 設(shè)A為m×n實(shí)矩陣，b為m×1列向量，則ATAx=ATb一定有解。

根據(jù)引理3，容易得到克拉默法則的推廣：

定理4 設(shè)A為m×n實(shí)矩陣，b為m×1列向量，若R（A）=n，則線性方程組Ax=b與ATAx=ATb均有唯一解，且同解，其解為x=（ATA）-1ATb。

證明 由于A為m×n實(shí)矩陣，b為m×1列向量，由引理3可知，（ATA）x=ATb一定有解，由于A為m×n實(shí)矩陣，又因?yàn)镽（A）=n，由推論2知，R（ATA）=R（A）=n，從而ATA可逆，且線性方程組ATAx=ATb均有唯一解，且它的解為x=（ATA）-1ATb。得證。

對(duì)于推廣之后的克拉默法則，無(wú)論方程的未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)是否相等，均可以將方程的解解出，如

例3 解線性方程組x1+2x2-3x3+2x4=4，2x1-3x2+4x4=9，-x2-2x3+2x4=-4，x1+3x2-2x3+6x4=0，3x1-2x3=-3。

解 在此線性方程組AX=0中，系數(shù)矩陣A是5×4型矩陣，且R（A，b）=R（A）=4，所以方程組有唯一解，但系數(shù)矩陣不是方陣，故將該線性方程組的求解化為如下線性方程組的求解：ATAX=ATb。故

120132-3-130-30-2-2-22416012-322-3040-1-2113-2630-20x1x2x3x4=120132-3-130-30-2-2-22416049-40-3，

整理得15-1-1116-123-109-11-1021-20169-2057x1x2x3x4=13-15240，解得x1=0。5347，x2=-0。5581，x3=1。0797，x4=1。0186。

值得注意的是，這個(gè)推廣的命題必須建立在方程組只有唯一解的情況下應(yīng)用。若方程組存在無(wú)窮多組解，則只能根據(jù)方程組的增廣矩陣的秩判斷，不能用克拉默法則去求該方程組的解。

例4 已知行列式具有性質(zhì)：如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來(lái)行列式對(duì)應(yīng)的行一樣，即a11a12…a1nb1+c1b2+c2…bn+cnan1an2…ann=a11a12…a1nb1b2…bnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnan1an2…ann。

若變化命題，改為某兩行分別是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這兩行以外全與原來(lái)行列式對(duì)應(yīng)的行一樣，即將原來(lái)的等式改為a11a12…a1nb1+c1b2+c2…bn+cnd1+p1d2+p2…dn+pnan1an2…ann=a11a12…a1nb1b2…bnd1d2…dnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnp1p2…pnan1an2…ann，則命題錯(cuò)誤，舉反例如下：

12342+22+33+44+51+13+21+31+26145=-22，

1234223413116145+1234234512326145=-4-16=-20，

命題錯(cuò)誤。修改可得正確命題，當(dāng)某兩行分別是兩組數(shù)的和時(shí)，這個(gè)行列式就等于四個(gè)行列式的和，而這四個(gè)行列式除這兩行以外全與原來(lái)行列式對(duì)應(yīng)的行一樣，且等式如下：

a11a12…a1nb1+c1b2+c2…bn+cnd1+p1d2+p2…dn+pnan1an2…ann=a11a12…a1nb1b2…bnd1d2…dnan1an2…ann+a11a12…a1nb1b2…bnp1p2…pnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnd1d2…dnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnp1p2…pnan1an2…ann。

在行列式的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了許多有關(guān)行列式的性質(zhì)，若對(duì)概念一知半解，則極易造成知識(shí)點(diǎn)的混淆，把各類(lèi)性質(zhì)的條件結(jié)論混用、記錯(cuò)、顛倒。此時(shí)，除了對(duì)性質(zhì)、定理等進(jìn)行嚴(yán)格的證明，我們還應(yīng)對(duì)可能會(huì)出現(xiàn)的混用情況給出簡(jiǎn)單、易于記憶的反例，從而加深理解。

例5 對(duì)于命題：若方程組a11x1+a12x2+…+a1n-1xn-1=b1，a21x1+a22x2+…+a2n-1xn-1=b2，…an1x1+an2x2+…+ann-1xn-1=bn。

有解，且方程的增廣矩陣=a11…a1n-1b1an1…ann-1bn為方陣，則有=0，但反之不成立。請(qǐng)證明原命題，并對(duì)其逆命題舉出反例。

證明 由于方程組有解，所以根據(jù)線性方程組有解判別定理可知，秩=秩A。由題，A為n×（n-1）矩陣，則秩A≤n-1，即秩≤n-1。而為n×n矩陣，所以=0，命題得證。但命題反之不成立，反例如下：

對(duì)于方程組x1+2x2=3，2x1+4x2=1，x1+2x2=3，有=123241123=0，但顯然對(duì)于方程組，秩=2，秩A=1，秩≠秩A，方程組無(wú)解。

[參考文獻(xiàn)]

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編。高等代數(shù)（第四版）[M]。北京：高等教育出版社，2013。8。

[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編。高等代數(shù)習(xí)題詳解（第四版）[M]。北京：高等教育出版社，2013。8。

[3]胡崇慧。代數(shù)中的反例[M]。西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1986。6。