給“確定位置”以不同的“位置”

鄭莉

【摘 要】通過(guò)對(duì)“確定位置”一課不同設(shè)計(jì)的比較來(lái)探討如何分析教材、研究學(xué)生、高效教學(xué)。通過(guò)“三比”（比導(dǎo)入：“從一維到二維，經(jīng)歷由模型組合形成方法的過(guò)程”VS“從活動(dòng)到模型，經(jīng)歷由數(shù)學(xué)抽象形成方法的過(guò)程”；比操作： “回歸現(xiàn)實(shí)，感悟規(guī)律，促進(jìn)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)化”VS“開放設(shè)問，激發(fā)想象，數(shù)形結(jié)合感悟數(shù)對(duì)規(guī)律”；比應(yīng)用：“利用同一性實(shí)例，強(qiáng)化知識(shí)的內(nèi)涵理解”VS“利用比較性實(shí)例，廓清知識(shí)應(yīng)用的外延”）對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)提出若干建議。

【關(guān)鍵詞】確定位置 同課異構(gòu) 比較

在平面上確定位置的常用方法有兩種：一是方向與距離法，如點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°距離點(diǎn)A40千米處；還有一種就是有序數(shù)對(duì)法，在小學(xué)里，就是以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，做第一象限，用數(shù)對(duì)表示點(diǎn)B相對(duì)于點(diǎn)A的位置。人教版六年級(jí)上冊(cè)“確定位置”講的是后一種情形。下面筆者嘗試用兩種不同的思路來(lái)設(shè)計(jì)這一內(nèi)容，進(jìn)行一次同課異構(gòu)教學(xué)思考，以期在思維碰撞中獲得更深層次的教學(xué)認(rèn)識(shí)。

【教學(xué)嘗試】

一、選擇不同的情境，設(shè)計(jì)不同的導(dǎo)入方式

現(xiàn)實(shí)生活中常用的在直線上（一維空間）確定位置有兩種情形：一是從前到后（或從后到前）的第幾個(gè)，二是從左到右（或從右到左）的第幾個(gè)。現(xiàn)實(shí)生活中常用的在平面上（二維空間）確定位置需要前后、左右兩個(gè)要素。這就實(shí)現(xiàn)了從一維到二維的跨越，當(dāng)然，不論幾維空間確定位置，都要先確定參照點(diǎn)（原點(diǎn)）。

課伊始，選擇怎樣的情境導(dǎo)入尤為重要，我們?cè)O(shè)計(jì)了兩種不同的思路。

思路一：從一維到二維，經(jīng)歷由模型組合形成方法的過(guò)程。

課一開始，教師出示一年級(jí)上冊(cè)中的排隊(duì)圖（見圖1），讓學(xué)生回憶在一維空間情境下的順序建立方式，回顧左右、前后等概念。然后出示教室里學(xué)生的座位圖（見圖2），讓學(xué)生思考在二維空間情境下如何確定每一個(gè)人的位置——不僅需要左右，還需要前后，然后明確行和列的意義——左右為行、前后為列，討論確定第一行和第一列，然后把行列抽象為線，學(xué)生抽象為縱橫線的交點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)由座位圖到方格圖的過(guò)渡。

當(dāng)然，這樣的設(shè)計(jì)也是我們?yōu)楹罄m(xù)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)從一維、二維過(guò)渡到三維空間確定位置的方法做了有序思考的蘊(yùn)伏。

思路二：從活動(dòng)到模型，經(jīng)歷由數(shù)學(xué)抽象形成方法的過(guò)程。

課一開始，教師直接出示座位圖（見圖3），請(qǐng)學(xué)生對(duì)號(hào)入座，在座位圖中找出自己的位置，并說(shuō)說(shuō)是怎么找到自己的位置的。然后討論在確定位置的過(guò)程中需要明確哪一些要素。根據(jù)這些要素，把座位圖抽象為圖4的方格圖。

思路一實(shí)際上是披著現(xiàn)實(shí)情境外衣的數(shù)學(xué)導(dǎo)入，把一維空間中確定位置的兩種情形加以組合解決二維空間中確定位置的問題。思路二是實(shí)實(shí)在在地引入生活情境，直接把座位圖抽象為方格圖。

兩種思路都有其數(shù)學(xué)價(jià)值，它們都呈現(xiàn)了一個(gè)知識(shí)動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，幫助學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)提升到理性思考，實(shí)現(xiàn)具體形象思維到抽象邏輯思維的轉(zhuǎn)變。

二、設(shè)計(jì)不同的操作，構(gòu)建不同的學(xué)習(xí)形態(tài)

新知形成后，需要通過(guò)適當(dāng)練習(xí)或操作性活動(dòng)，感悟規(guī)律，進(jìn)一步深化知識(shí)理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。如何達(dá)到這一目的呢？我們?cè)O(shè)計(jì)了顯著分化的操作活動(dòng)。

思路一：回歸現(xiàn)實(shí)，感悟規(guī)律，促進(jìn)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)化。

教師引導(dǎo)學(xué)生將目光投向教室，請(qǐng)學(xué)生用數(shù)對(duì)表示自己所在的位置，并記錄在草稿本上。請(qǐng)學(xué)生相互介紹自己和好朋友的位置。接著教師說(shuō)數(shù)對(duì)，請(qǐng)符合要求的學(xué)生起立：（7，1）（7，2）（7，3）（7，4）（7，5）。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考：“奇怪，站起來(lái)的同學(xué)怎么正好是一列呢？表示這些同學(xué)的數(shù)對(duì)有什么特點(diǎn)？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)對(duì)中第一個(gè)數(shù)相同的，他們就在同一列。列數(shù)相同情況下數(shù)對(duì)中的一個(gè)數(shù)是確定的，一個(gè)數(shù)是在變化的。接著進(jìn)一步引發(fā)思考：如果讓你來(lái)出一些數(shù)對(duì)，你能讓一列、一行或一排同學(xué)站起來(lái)嗎？你能不能說(shuō)一個(gè)數(shù)對(duì)，就把一列、一行或一排的同學(xué)都包含在里面？學(xué)生馬上想到了用字母來(lái)表示，出現(xiàn)了（4，x）（5， x）（x，3）（x，x）（x，y）等各種不同的數(shù)對(duì)。教師繼續(xù)追問：（x，x）可能是誰(shuí)？當(dāng)x等于1時(shí)，表示誰(shuí)？當(dāng)x等于2時(shí)，表示誰(shuí)？究竟哪些同學(xué)才有可能？（x，y）呢？

這一設(shè)計(jì)始終圍繞教室座位這一學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境，通過(guò)說(shuō)、站、想的環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)數(shù)對(duì)的現(xiàn)實(shí)意義，積累豐富的感性經(jīng)驗(yàn)。

思路二：開放設(shè)問，激發(fā)想象，數(shù)形結(jié)合感悟數(shù)對(duì)規(guī)律。

笛卡兒創(chuàng)造了坐標(biāo)思想，用數(shù)對(duì)表示位置是這一思想的具體體現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上建立起了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支——解析幾何，將數(shù)與形完美地統(tǒng)一起來(lái)，用代數(shù)的方法研究幾何問題，是其最偉大的價(jià)值。這一設(shè)計(jì)試圖進(jìn)一步凸顯數(shù)形結(jié)合，對(duì)解析的基本思想有所感悟。

教師在方格圖中出示一條線段。讓學(xué)生思考：如果在方格圖中增加一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)新增加的點(diǎn)與原有這條線段上的兩個(gè)端點(diǎn)相連，可能會(huì)構(gòu)成什么圖形？學(xué)生猜想，增加一個(gè)點(diǎn)后，與原有的兩個(gè)端點(diǎn)相連可以構(gòu)成三角形，也可能構(gòu)成線段。教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生想象，在什么情況下，構(gòu)成的圖形是線段？在什么情況下是三角形？學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)谌齻€(gè)點(diǎn)的位置在原有的這條線段所在直線之外的任意一個(gè)地方，構(gòu)成的圖形是一個(gè)三角形。教師用課件呈現(xiàn)第三點(diǎn)在不同位置時(shí)，所構(gòu)成的三角形的不同變化形態(tài)。如果第三個(gè)點(diǎn)的位置在原有的這條線段所在的直線上，則構(gòu)成的圖形仍然是線段。

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：如果在原有線段之外增加兩個(gè)點(diǎn)（與原線段不在同一直線上），你猜想可能會(huì)構(gòu)成什么圖形？學(xué)生猜想可能是正方形、長(zhǎng)方形、一般四邊形、平行四邊形、梯形等等。教師課件呈現(xiàn)構(gòu)圖的過(guò)程，請(qǐng)學(xué)生描述自己的猜想。

然后，教師組織學(xué)生將思維聚焦在：如果增加的兩個(gè)點(diǎn)與原有線段構(gòu)成一個(gè)正方形，你覺得有幾種情況？并請(qǐng)學(xué)生用數(shù)對(duì)描述出點(diǎn)的位置。

最后，教師隱去方格圖，讓學(xué)生思考：在這條線段之外，增加兩個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成正方形，沒有了方格圖的幫助，你還能用數(shù)對(duì)表示出這兩個(gè)點(diǎn)的位置嗎？有幾種可能性？這些點(diǎn)有什么特點(diǎn)？

將數(shù)對(duì)運(yùn)用到變化了的圖形中，這個(gè)設(shè)計(jì)有一定的難度，對(duì)六年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較抽象的。

同樣是規(guī)律，一個(gè)從生活到數(shù)學(xué)，一個(gè)從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)。第一種思路更為細(xì)膩，起點(diǎn)低，步子小；第二種思路更為開放和整體，對(duì)學(xué)生的思維能力和教師的課堂駕馭能力提出了更高的要求。

三、引入不同的實(shí)例，構(gòu)建不同的應(yīng)用渠道

數(shù)學(xué)課中引入生活原型很常見，這節(jié)課也不例外。不過(guò)兩節(jié)課的思路略有不同。

思路一：利用同一性實(shí)例，強(qiáng)化知識(shí)的內(nèi)涵理解。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中的數(shù)對(duì)，出示國(guó)際象棋和中國(guó)地圖，讓學(xué)生解讀。

學(xué)生認(rèn)為國(guó)際象棋的棋盤，行用數(shù)字表示，列用字母表示，棋子走到哪一格就用相應(yīng)的數(shù)字、字母表示，例如王后從2F走到5B，就表示王后從第2行第6列斜著走到第5行第2列，用這樣的方法可以記錄下棋的全過(guò)程，這種思想與數(shù)對(duì)表示位置的思想一致，因此，國(guó)際象棋的棋譜可以說(shuō)是用特殊的數(shù)對(duì)記錄的。

在中國(guó)地圖上，北京所在的位置是東經(jīng)116度23分，北緯39度54分。用這樣的數(shù)對(duì)可以確定任何一個(gè)城市的位置。地球是球體的，是一個(gè)曲面，用這樣的數(shù)對(duì)就可以在曲面上確定位置。

思路二：利用比較性實(shí)例，廓清知識(shí)應(yīng)用的外延。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中表示位置的情況，并思考哪些是用數(shù)對(duì)來(lái)確定位置的。教師呈現(xiàn)的資料中，有用一個(gè)數(shù)來(lái)表示位置的，例如買票時(shí)小明排在隊(duì)伍的第3個(gè)；也有用兩個(gè)數(shù)表示位置的，如電影票上的8排12號(hào)，圍棋棋盤中棋子的位置，等等。然后啟發(fā)學(xué)生思考，以后我們還會(huì)學(xué)習(xí)哪些確定位置的方法呢？學(xué)生猜想，用3個(gè)數(shù)表示位置，如家庭住址2幢1單元301室；用方向和距離表示位置等等。

兩種思路各有優(yōu)勢(shì)，針對(duì)性強(qiáng)便于技能鞏固，拓展面寬便于意義理解，兩個(gè)價(jià)值取向?qū)τ跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是有益的，需要教師根據(jù)自己的想法去平衡和取舍。

【研究體會(huì)】

當(dāng)我們將這兩堂課進(jìn)行對(duì)比之后，可以發(fā)現(xiàn)，在不同設(shè)計(jì)的背后蘊(yùn)含了諸多相似的價(jià)值追求。關(guān)注知識(shí)本質(zhì)、關(guān)注思維的發(fā)展是我們一致的價(jià)值導(dǎo)向。關(guān)注知識(shí)的不同側(cè)面和學(xué)生學(xué)習(xí)的不同可能性形成了本課兩種風(fēng)格迥異的教學(xué)形式。一堂課是一種教學(xué)理解的體現(xiàn)，也是一種價(jià)值觀的反映，我們用怎樣的眼光來(lái)理解數(shù)學(xué)、看待學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們就會(huì)用怎樣的行動(dòng)來(lái)體現(xiàn)這種思考。在與課堂的生成和學(xué)生的互動(dòng)中，我們擁有了不斷接近數(shù)學(xué)和教學(xué)本源的真實(shí)體驗(yàn)。提升我們的數(shù)學(xué)理解和教學(xué)能力，才能不斷提升學(xué)生的思維層次，不斷提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。

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（浙江省杭州市育才外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 310012）