向量在立體幾何中的應(yīng)用

趙捷

利用空間向量處理空間元素的平行關(guān)系

例1 在棱長為2的正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，E，F(xiàn)，M，N，P，Q分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1，DD1，BB1的中點(diǎn).證明：直線[BC1∥]平面[EFPQ].

證明 以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為[x，y，z]軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得，B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F(xiàn)（1，0，0），[P（0，0，1）]，[BC1=（-2，0，2）]，[FE=（1，1，0）]，[FP=（-1，0，1）].

方法一：因?yàn)閇BC1=（-2，0，2）=2（-1，0，1）=2FP]，

所以[BC1//FP].

而[FP?]平面[EFPQ]，且[BC1?]平面[EFPQ]，

故直線[BC1//]平面[EFPQ].

方法二：設(shè)平面[EFPQ]的一個(gè)法向量為[n=（x，y，z）].

由[n?FE=n?FP=0]得，[x+y=-x+z=0].

取[x=1]，則[n=（1，-1，1）].

因?yàn)閇n?BC1=0]，

故直線[BC1//]平面[EFPQ].

點(diǎn)撥 平行問題的轉(zhuǎn)化方向：將直線與直線的平行轉(zhuǎn)化為其方向向量共線；將直線與平面的平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量垂直；將兩平面的平行轉(zhuǎn)化為它們的法向量之間的共線.

利用空間向量證明空間元素垂直問題

例2 如圖，在棱長為[2]的正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[E，F(xiàn)，M，N]分別是棱[AB]，[AD]，[A1B1]，[A1D1]的中點(diǎn)，點(diǎn)[P，Q]分別在棱[DD1，BB1]上移動，且[DP=BQ=λ（0<λ<2）]. 是否存在[λ]，使平面[EFPQ]與平面[PQMN]垂直？若存在，求出[λ]的值；若不存在，說明理由.

解析 以[D]為原點(diǎn)，射線[DA，DC，][DD1]分別為[x，y，z]軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知得，[E（2， 1， 0）]，[F（1， 0， 0）]，[P（0，0，λ）]，[FP=（-1，0，λ）]，[FE=（1， 1， 0）].

設(shè)平面[EFPQ]的一個(gè)法向量為[n=（x，y，z）]，

則[FE?n=FP?n=0]，可得[x+y=-x+λz=0].

令[z=1]，平面[EFPQ]的一個(gè)法向量為[n=（λ，-λ，1）].

同理可得，平面[PQMN]的一個(gè)法向量為[m=（λ-2，2-λ，1）].

若存在[λ]使平面[EFPQ]與平面[PQMN]垂直，

則[m?n=0]，即[λ（λ-2）- λ（2-λ）+1=0]，

解得，[λ=1±22].

因?yàn)閇λ=1±22∈（0，2）]，故存在[λ=1±22]，使得平面[EFPQ]與平面[PQMN]垂直.

點(diǎn)撥 垂直問題的轉(zhuǎn)化方向：將異面直線垂直轉(zhuǎn)化為其方向向量的垂直；將直線與平面的垂直轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量共線；將兩平面的垂直轉(zhuǎn)化為其法向量之間的垂直.

利用空間向量處理空間角度問題

例3 如圖，在長方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[E]，[F]分別是棱[BC，CC1]上的點(diǎn)， [CF=AB=][2CE，][AB∶AD∶AA1][=1∶2∶4].

（1）求異面直線[EF]與[A1D]所成角的余弦值；

（2）證明[AF⊥]平面[A1ED]；

（3）求二面角[A1-ED-F]的正弦值.

解析 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)[A]為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)[AB=1]，依題意得，[D（0，2，0）]，[F（1，2，1）]，[A1（0，0，4）]，[E（1，32，0）.]

（1）由題意得，[EF=（0，12，1）]，[A1D=（0，2，-4）]，

于是[cos=EF?A1DEF?A1D=-35].

所以異面直線[EF]與[A1D]所成角的余弦值為[35].

（2）證明：已知[AF=（1，2，1）]，[EA1=（-1，-32，4）]，[ED][=（-1，12，0）]，于是[AF]·[EA1]=0，[AF]·[ED]=0.

因此，[AF⊥EA1]，[AF⊥ED].

又[EA1∩ED=E]，所以[AF⊥]平面[A1ED].

（3）設(shè)平面[EFD]的法向量[u=（x，y，z）]，

則[u?EF=u?ED=0]，即[12y+z=-x+12y=0].

不妨令[x=1]，可得平面[EFD]的一個(gè)法向量[u=（1，2，-1）]，由（2）可知，[AF]為平面[A1ED]的一個(gè)法向量.

于是[cos=u?AFu?AF=23].

從而[sin=53].

所以二面角[A1-DE-F]的正弦值為[53].

點(diǎn)撥 空間角問題的轉(zhuǎn)化方向：將空間的兩異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為兩直線的兩方向向量的夾角；將直線和平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角；將二面角轉(zhuǎn)化為兩（半）平面的法向量的夾角. 注意：厘清它們之間的“相等”“互余”或“互補(bǔ)”關(guān)系.

利用向量處理點(diǎn)到平面的距離

例4 如圖，已知[ABCD]是邊長為[4]的正方形，[E，F(xiàn)]分別是[AB，AD]的中點(diǎn)，[GC]垂直于[ABCD]所在平面，且[GC=2]，求點(diǎn)[B]到平面[EFG]的距離.

解析 方法1：以[C]為原點(diǎn)，[CB，CD，CG]所在直線分別為[x]軸、[y]軸、[z]軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則[A（4，4，0），][B（4，0，0），][C（0，0，0），][D（0，4，0），][E（4，2，0），][F（2，4，0），][G（0，0，2）].

設(shè)點(diǎn)[B]在面[GEF]內(nèi)的射影為[M（x，y，z）]，

因[E，F(xiàn)，G，M]四點(diǎn)共面，

則[GM=λGE+μGF][=λ（4，2，-2）+μ（2，4，-2）]，

則[（x，y，z-2）=（4λ+2μ，2λ+4μ，-2λ-2μ）].

從而[x=4λ+2μ，y=2λ+4μ，z=2-2λ-2μ]，

[BM=（4λ+2μ-4，2λ+4μ，2-2λ-2μ）].

而[EF=（-2，2，0），GE=（4，2，-2）].

由[BM?EF=0，BM?GE=0]得，[λ=1511，μ=-711].

∴[BM=（211，211，611）]，∴[BM=21111].

方法2：建立空間直角坐標(biāo)系，同上.

則[G（0，0，2），E（4，2，0），F(xiàn)（2，4，0），B（4，0，0）].

從而[GE=（4，2，-2），EF=（-2，2，0）]，[BE=（0，2，0）].

設(shè)平面[GEF]的法向量為[n=（x，y，z）]，

由[n?GE=0且n?EF=0得，n=（1，1，3）]，

則[d=BE?nn=211=21111].

點(diǎn)撥 一般地，點(diǎn)到平面的距離是立體幾何中最基本的一種距離；而其它距離“線面距”“面面距”“異面直線之距”以及“體積”等都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距. 同時(shí)，點(diǎn)面距的求解方法較多，但在易于建立空間坐標(biāo)系的圖形中，“向量法”往往是不錯(cuò)的選擇. 設(shè)[M]是平面[α]上任意一點(diǎn)，[n]為平面[α]的一個(gè)法向量，則平面[α]外的點(diǎn)[P]到平面[α]的距離[d=MP?nn].