初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究，從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)

王益龍

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)的教學(xué)研究容易失之于空洞，容易失之于技術(shù)化，其導(dǎo)致的結(jié)果就是教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的理解不透，以及學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的厭惡. 從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)去開(kāi)展教學(xué)研究，可以為有效的初中數(shù)學(xué)教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)本質(zhì)不是純粹意義上的數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而是教學(xué)視角下、學(xué)生視角下數(shù)學(xué)本質(zhì)的解讀，必須符合教學(xué)的需要. 基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)研究，可以促進(jìn)初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的開(kāi)展.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；教學(xué)研究；數(shù)學(xué)本質(zhì)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教學(xué)研究是一個(gè)基本概念，談本職工作沒(méi)有不談教學(xué)研究的. 但從教學(xué)研究的效果上來(lái)看，真正對(duì)教師起作用的教學(xué)研究似乎不多，因此教學(xué)研究很容易成為一個(gè)空洞的概念，成為一個(gè)只具其名不具其實(shí)的教學(xué)環(huán)節(jié).

為什么會(huì)造成這樣的結(jié)果？筆者以為原因是多方面的，其中不可忽視的一個(gè)方面，就是教師在教學(xué)研究過(guò)程中對(duì)學(xué)科本質(zhì)的認(rèn)識(shí). 就筆者所教的初中數(shù)學(xué)而言，如果不從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，那教學(xué)研究就很容易成為空中樓閣. 而現(xiàn)實(shí)中的另一個(gè)困惑則在于，數(shù)學(xué)本質(zhì)似乎常常是一個(gè)高大上的概念，普通一線教師似乎很難觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)本質(zhì)在實(shí)際教學(xué)中與具體的教學(xué)內(nèi)容似乎聯(lián)系不起來(lái).

近年來(lái)，筆者圍繞數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間的研究，在研究的過(guò)程中遇到了一些挫折，也收獲了不少的認(rèn)識(shí). 現(xiàn)就借本文與同行交流如何基于數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)本質(zhì)是教學(xué)研究的源頭活水

傳統(tǒng)視角下的教學(xué)研究對(duì)象，是一個(gè)個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí). 就拿初一年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，“負(fù)數(shù)”是第一個(gè)要學(xué)的重要數(shù)學(xué)概念，對(duì)之有無(wú)教學(xué)研究的必要，應(yīng)當(dāng)不是一個(gè)需要討論的問(wèn)題. 但對(duì)負(fù)數(shù)概念及有理數(shù)運(yùn)算的研究，又常常是一個(gè)容易被忽視的話題，因?yàn)槠涮?jiǎn)單甚至是太普通了. 那么，事實(shí)是不是如此呢？記得在教學(xué)中曾經(jīng)遇到過(guò)有學(xué)生提出這樣的問(wèn)題：老師，為什么要學(xué)負(fù)數(shù)呢？就沒(méi)有別的方法表示“負(fù)值”嗎？負(fù)數(shù)不就是減正數(shù)嗎？等等問(wèn)題，有些有道理，有些看起來(lái)沒(méi)道理但實(shí)際上有道理. 更重要的是，這些問(wèn)題都是學(xué)生在負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中自然產(chǎn)生的，而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)又無(wú)法給學(xué)生的這些問(wèn)題提供答案，這就說(shuō)明我們的教學(xué)研究過(guò)程中，并沒(méi)有針對(duì)學(xué)生的需要去進(jìn)行有針對(duì)性的思考. 那么，這些問(wèn)題與數(shù)學(xué)本質(zhì)又有什么關(guān)系呢？

分析學(xué)生的思維可以看出，學(xué)生實(shí)際上是在對(duì)負(fù)數(shù)及其運(yùn)算進(jìn)行一種尋根究底式的提問(wèn)，說(shuō)明學(xué)生內(nèi)心有進(jìn)一步追究負(fù)數(shù)這一概念本質(zhì)的需要，這種需要或許與負(fù)數(shù)及其演繹出的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決無(wú)關(guān)，但與學(xué)生構(gòu)建對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)有關(guān)，與學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有關(guān). 如果解決了學(xué)生的這些問(wèn)題，那學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)就有可能更進(jìn)一步，還有可能激活學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維. 至于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，那就更是水到渠成的事情了.

以負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算為例，負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算當(dāng)中，最為學(xué)生熟知的可能就是“負(fù)負(fù)得正”了，即使學(xué)生在沒(méi)有學(xué)過(guò)負(fù)數(shù)運(yùn)算的時(shí)候，也聽(tīng)說(shuō)過(guò)這樣的話. “負(fù)負(fù)得正”從運(yùn)算的角度來(lái)看，就是一個(gè)運(yùn)算法則的事情，但恰恰是法則這個(gè)概念，是教學(xué)研究中的薄弱環(huán)節(jié). 筆者在多個(gè)場(chǎng)合參加過(guò)不同層次的教研活動(dòng)，也曾經(jīng)多次提到過(guò)關(guān)于法則概念的備課觀點(diǎn)，但很少得到別人的附和. 筆者反思：到底是自己想多了，還是別人想少了？幾經(jīng)思考，還是感覺(jué)關(guān)于法則的備課不可或缺. 眾所周知的是，初中數(shù)學(xué)從有理數(shù)開(kāi)始的教學(xué)中，一個(gè)很重要的內(nèi)容就是運(yùn)算法則，“負(fù)負(fù)得正”看似是一個(gè)口訣，實(shí)際上卻是人們?cè)谏钌a(chǎn)以及數(shù)學(xué)研究的過(guò)程中，積淀下來(lái)的一個(gè)關(guān)于兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘的最簡(jiǎn)潔的規(guī)則. 有研究者指出，“負(fù)負(fù)得正”作為一種非經(jīng)邏輯證明得出的規(guī)則，其反映的是客觀世界與數(shù)學(xué)內(nèi)部綜合需要的結(jié)果，是人類幾千年來(lái)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，是追求“和諧體系”的結(jié)果.

在實(shí)際教學(xué)研究的過(guò)程中，筆者思考，如果能夠給學(xué)生提供負(fù)數(shù)概念提出的相關(guān)背景，再給出生活中建立負(fù)數(shù)的需要，那么學(xué)生就會(huì)認(rèn)識(shí)到負(fù)數(shù)的提出確實(shí)有其必要性，也可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中提出其他的表示“負(fù)”的思路，通過(guò)比較又會(huì)發(fā)現(xiàn)在正數(shù)前面加一負(fù)號(hào)是最為簡(jiǎn)潔的方法，而這恰恰是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征所在.

基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)研究與思考

基于數(shù)學(xué)本質(zhì)去開(kāi)展教學(xué)研究，筆者以為是從根子上抓住了教學(xué)研究的關(guān)鍵. 初中數(shù)學(xué)知識(shí)再簡(jiǎn)單，也是有數(shù)學(xué)本質(zhì)存在的，對(duì)于一線數(shù)學(xué)教師而言，最大的挑戰(zhàn)在于如何從看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)背后尋找出數(shù)學(xué)本質(zhì). 筆者感覺(jué)，數(shù)學(xué)本質(zhì)也不是想象的那么高大上，從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度出發(fā)，延伸出的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，都可以看作是數(shù)學(xué)本質(zhì)的一部分；數(shù)學(xué)知識(shí)形成的邏輯，也可以看成數(shù)學(xué)本質(zhì)的一部分；數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)生活中的延伸，同樣可以看作是數(shù)學(xué)本質(zhì)的一部分. 簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是能夠超越數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建本身，能夠在數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的過(guò)程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由欤伎梢钥醋魇菙?shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn). 下面筆者通過(guò)事例來(lái)談?wù)劰P者的淺見(jiàn).

先說(shuō)“負(fù)負(fù)得正”這一法則的教學(xué)，人教版教材中給出了這樣的例子：一只蝸牛沿直線l爬行，現(xiàn)處的位置為O，問(wèn)出的第四個(gè)問(wèn)題是：如果蝸牛一直以每分2厘米的速度向左爬行，那3分鐘前它在什么位置？在這個(gè)情境中，“向左”與“前”被界定為“負(fù)”，那么，可由邏輯推理分別得出計(jì)算過(guò)程與結(jié)果，過(guò)程即是（-2）×（-3），而結(jié)果則是在點(diǎn)O右邊6厘米處，即+6，于是可得（-2）×（-3）=+6，“負(fù)負(fù)得正”推理而出.

實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，這樣的情境比較簡(jiǎn)潔，適合剛剛進(jìn)入初一年級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生順利思維，過(guò)程也比較簡(jiǎn)潔，“負(fù)負(fù)得正”法則的得出顯得很是順利. 然而在實(shí)際教學(xué)中又常常出現(xiàn)一種奇怪的感覺(jué)，即學(xué)生雖然由此情境可以推理出“負(fù)負(fù)得正”的法則，但內(nèi)心似乎又不是很接受其作為一個(gè)法則而存在，也就是說(shuō)并沒(méi)有很好地解決為什么“負(fù)負(fù)得正”的認(rèn)識(shí)問(wèn)題. 應(yīng)當(dāng)說(shuō)這種情形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常常見(jiàn)，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)面對(duì)正確邏輯而無(wú)法接受的情形. 而之所以出現(xiàn)這樣的情形，筆者以為原因之一，就是沒(méi)有從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度對(duì)本知識(shí)的教學(xué)進(jìn)行研究.

在上一部分筆者提到，對(duì)于初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)本質(zhì)不是體現(xiàn)為高大上的理論，而是體現(xiàn)在與學(xué)生的生活聯(lián)系密切，并能通過(guò)數(shù)學(xué)抽象或數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，獲得數(shù)學(xué)思想方法，并最終建立數(shù)學(xué)認(rèn)知的過(guò)程. 在“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)中，教材所給出的四個(gè)問(wèn)題實(shí)際上并不是孤立的，將四個(gè)問(wèn)題聯(lián)系成一個(gè)整體去進(jìn)行教學(xué)，是觸摸本知識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)的第一步. 即通過(guò)四種不同的情況，分別得到“正正得正”“正負(fù)得負(fù)”“負(fù)正得負(fù)”“負(fù)負(fù)得正”，更要分析這四種情況實(shí)際上是正負(fù)數(shù)相乘的四種組合，再?zèng)]有例外. 在沒(méi)有例外的情形下得到了這樣的結(jié)果，那就意味著邏輯上的必然性. 然后再具體到實(shí)例當(dāng)中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)剛剛邏輯推理得出的結(jié)果，是符合實(shí)例的，也就是說(shuō)在生活當(dāng)中也是嚴(yán)絲合縫的，即本數(shù)學(xué)規(guī)律是可以描述事實(shí)的.

通過(guò)“邏輯上的必然性”與“對(duì)生活的精確描述性”兩個(gè)維度來(lái)研究本知識(shí)的教學(xué)，可以說(shuō)是從本質(zhì)上抓住了學(xué)生的思維特點(diǎn). 因?yàn)槌踔袑W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)顯著特征，就是尋找邏輯的嚴(yán)密性，以及在生活中的適用性. 當(dāng)邏輯嚴(yán)密且能對(duì)生活有用時(shí)，學(xué)生的接納程度往往就比較高. 這也提醒我們一線教師，數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)教學(xué)研究聯(lián)系起來(lái)時(shí)，就意味著學(xué)術(shù)意義上的數(shù)學(xué)本質(zhì)要向生活轉(zhuǎn)變. 教師要善于將自己吸納進(jìn)去的專業(yè)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，轉(zhuǎn)換成學(xué)生能夠聽(tīng)得懂、體驗(yàn)得到的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后據(jù)此實(shí)行教學(xué)，而這個(gè)過(guò)程自然也就是教學(xué)研究的過(guò)程.

數(shù)學(xué)本質(zhì)的觸摸需緊密聯(lián)系學(xué)生

實(shí)際上上一段就已經(jīng)體現(xiàn)了一個(gè)觀點(diǎn)，那就是學(xué)生視角下的數(shù)學(xué)本質(zhì)的解讀，這里實(shí)際上還有另一層意思，那就是教學(xué)范疇內(nèi)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，與純粹數(shù)學(xué)研究角度的數(shù)學(xué)本質(zhì)有所不同. 在初中教學(xué)中，只有數(shù)學(xué)本質(zhì)能夠?yàn)閷W(xué)生所感受時(shí)，其才能對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)性的作用，這也就是我們通常所強(qiáng)調(diào)的“用數(shù)學(xué)來(lái)進(jìn)行教學(xué)，而不只是教數(shù)學(xué)”.

因此，基于數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行教學(xué)研究，考驗(yàn)的是教師把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力，考驗(yàn)的是教師用學(xué)生視角來(lái)解讀數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力. 根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵還在于兩個(gè)研究點(diǎn)的確定：一個(gè)研究點(diǎn)是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容；另一個(gè)研究點(diǎn)是數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)象. 前者指向客觀的數(shù)學(xué)知識(shí)，后者指向主觀的學(xué)生，從客體與主體兩個(gè)角度進(jìn)行數(shù)學(xué)本質(zhì)的研究，可以引領(lǐng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)沿著數(shù)學(xué)本質(zhì)的主線來(lái)進(jìn)行，從而可以從質(zhì)的角度保證有效教學(xué)的可行性. 更重要的是，這對(duì)于通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)凝聚學(xué)生的學(xué)習(xí)力量，并切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來(lái)說(shuō)，有著重要的作用，在實(shí)際教學(xué)中，必須高度重視.