“學(xué)”即研究

【摘 要】研究性學(xué)習(xí)提倡用類似科學(xué)研究的方式探究并獲取和應(yīng)用知識，它有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和感受數(shù)學(xué)知識中凝聚的數(shù)學(xué)智慧，形成初步的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)可以將研究性學(xué)習(xí)融入問題情境的創(chuàng)設(shè)之中、數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)之中、研究方法的探求之中、數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示之中以及數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程之中，以幫助學(xué)生強化數(shù)學(xué)抽象的意識，提高數(shù)學(xué)建模的能力，形成科學(xué)探究的自覺，培養(yǎng)嚴謹推理的習(xí)慣和提升問題解決的能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；研究性學(xué)習(xí)；學(xué)科素養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）28-0016-03

【作者簡介】曾榮，江蘇省南通市教育科學(xué)研究中心（江蘇南通，226000）教研員，江蘇省特級教師，正高級教師。

數(shù)學(xué)教學(xué)的價值追求不僅是數(shù)學(xué)知識與方法的傳授，更重要的是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指數(shù)學(xué)學(xué)科的“四基”“四能”與“基本思維形式和思維方法”?！八幕敝富A(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗；“四能”指發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力；“基本思維形式和思維方法”指演繹和歸納的“雙向思維”[1]。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)通常包含數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等幾個方面。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)提倡用類似科學(xué)研究的方式探究并獲取和應(yīng)用知識，它有利于學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的同時，學(xué)習(xí)和感受數(shù)學(xué)知識中凝聚的數(shù)學(xué)智慧，形成初步的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

本文以2015年12月舉行的江蘇省高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中一些課例的精彩片段為例，說明將研究性學(xué)習(xí)活動融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中以引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)形成的具體策略。

一、研究性學(xué)習(xí)融入問題情境的創(chuàng)設(shè)之中，強化數(shù)學(xué)抽象的意識

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展表明，數(shù)學(xué)的研究源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過基于抽象結(jié)構(gòu)的符號運算、形式推理、一般結(jié)論等，理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律。數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，它貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師將研究性學(xué)習(xí)滲透于問題情境的創(chuàng)設(shè)之中，將有利于數(shù)學(xué)抽象意識的強化。

【案例1】“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”的問題情境創(chuàng)設(shè)（江蘇省南通中學(xué)秦霞執(zhí)教）

“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”的教學(xué)難點是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，而這兩個概念都是非常抽象的，學(xué)生很難直接感知。秦霞老師在問題情境創(chuàng)設(shè)階段，利用“生活中汽車燈光的指向與上下坡之間的聯(lián)系”這一常見問題，有效地完成了兩次抽象。

第一次抽象：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)道路可以抽象成函數(shù)的圖象，燈光可以抽象為切線，這樣問題就轉(zhuǎn)化為切線斜率正負與曲線上升下降的聯(lián)系。

第二次抽象：適當(dāng)建系后，將曲線看做是函數(shù)y=f（x）上的一段圖象，那么切線斜率即為函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)，順勢猜想結(jié)論，感知導(dǎo)數(shù)正負與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，從而輕松高效地引入課題，成功激發(fā)了學(xué)生的求知欲，也體現(xiàn)了“生活中處處有數(shù)學(xué)”的教學(xué)理念。抽象過程如下圖1所示。

二、研究性學(xué)習(xí)融入數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)之中，提高數(shù)學(xué)建模的能力

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的外部驅(qū)動力。數(shù)學(xué)建模突出了學(xué)生系統(tǒng)地運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的過程，幫助學(xué)生逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，加強數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界的習(xí)慣，有利于學(xué)生發(fā)展用數(shù)學(xué)的思維分析實際問題的能力，有利于學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的語言表達實際問題的能力。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，就是一種研究性學(xué)習(xí)的過程。

【案例2】“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”的數(shù)學(xué)建模過程（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)丁菁執(zhí)教）

蘇教版教材在編寫“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”這部分內(nèi)容時，通過物理中的“簡諧運動”進行過渡。而“簡諧運動”在高一物理學(xué)習(xí)中尚未涉及，故這一情境無疑成了一種空中樓閣。丁菁老師在教授這部分內(nèi)容時，沒有采用這種虛擬模型，而是將建模過程設(shè)計成如下兩個環(huán)環(huán)相扣的研究性學(xué)習(xí)過程。

環(huán)節(jié)1：如圖2，摩天輪的半徑為Am（A>0），摩天輪逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，角速度為ωrad/min（ω>0），如果當(dāng)摩天輪上點P從圖2中點P0（P0在x軸正半軸上）處開始計算時間。請在圖2所示的坐標(biāo)系中，確定時刻xmin時點P的縱坐標(biāo)y。

環(huán)節(jié)2：在上述問題中，如果當(dāng)摩天輪上點P從圖3中點Po處開始計算時間。請在圖3所示的坐標(biāo)系中，確定時刻xmin時點P的縱坐標(biāo)y。

以上處理策略讓學(xué)生真實地經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的過程，感受到構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的必要性。同時，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與y=Asinωx的內(nèi)在聯(lián)系，如若將問題進一步特殊化，讓A=ω=1，則將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為y=sinx。這種由未知到已知，由一般到特殊的轉(zhuǎn)化的策略正是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

三、研究性學(xué)習(xí)融入研究方法的探求之中，形成科學(xué)探究的自覺

“研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，以類似科學(xué)研究的方式去獲取知識和應(yīng)用知識的學(xué)習(xí)方式”[2]。研究性學(xué)習(xí)區(qū)別于接受式學(xué)習(xí)的一個重要標(biāo)志是具有較明晰的學(xué)習(xí)計劃，具有為完成這一計劃而擬定的研究方法，當(dāng)然，這種計劃與方法需要在執(zhí)行的過程中根據(jù)實際情況而調(diào)整。為了形成科學(xué)有效的研究方案，教師要善于運用“頭腦風(fēng)暴”，集思廣益，讓學(xué)生對問題進行全面系統(tǒng)的分析，或?qū)栴}進行分解，使其更具體、更清晰，進而抓住主要矛盾，找到解決問題的關(guān)鍵點，確定問題的研究方向。長期這樣注重方法形成的教學(xué)，有利于學(xué)生形成科學(xué)探究的自覺，達到“授人以魚不如授人以漁”的目的。

【案例3】“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”的研究方法探求實錄（江蘇省南通中學(xué)張勤執(zhí)教）

張勤老師在研究目標(biāo)確定以后，順勢提出了這樣的問題：如何在函數(shù)y=sinx圖象的基礎(chǔ)上研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象？請結(jié)合以往經(jīng)驗給出研究方案。這種先行組織者策略，為學(xué)生自主探究提供了廣闊的空間。學(xué)生自主提出了特殊到一般的策略，提出了“五點作圖”的方案，提出了通過圖象的變化規(guī)律來研究的方案，提出了“分而治之，各個擊破”的設(shè)想。教師并未止于學(xué)生的設(shè)想，而是進一步追問學(xué)生產(chǎn)生這些想法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，與以往的研究二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的方法進行比較，強化學(xué)生科學(xué)探究的意識，這無疑對學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成是極為有利的。

四、研究性學(xué)習(xí)融入數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示之中，培養(yǎng)嚴謹推理的習(xí)慣

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：從教學(xué)認識過程的任務(wù)來看，其根本目的不在于僅僅獲得和驗證真知，更主要的是為了在一定知識經(jīng)驗之上構(gòu)建學(xué)生主體的新的認知活動結(jié)構(gòu)和實踐行為能力，學(xué)生主體在認知過程中的建構(gòu)活動本身即是一種創(chuàng)造的過程。通過研究性學(xué)習(xí)完成知識的建構(gòu)、本質(zhì)的揭示的過程，需要通過嚴謹?shù)倪壿嬐评砣ネ瓿伞?/p>

【案例4】“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”的數(shù)學(xué)建構(gòu)過程（江蘇省南通中學(xué)秦霞執(zhí)教）

在探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系時，如何使研究的問題既具體直觀又嚴謹規(guī)范，這是本節(jié)課教學(xué)的一個難點。秦霞老師在問題情境直觀感知、抽象猜想的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律讓學(xué)生自主舉例，獨立驗證，感悟猜想的合理性。思維活動并未止于這種直觀感悟，此時教師又從“數(shù)”的角度，借助圖4所示的邏輯鏈，進一步引導(dǎo)學(xué)生抓住導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的定義之間的聯(lián)系來提煉一般性的結(jié)論。整個研究過程從感知，到驗證，再到說理，既直觀又嚴謹，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的方法性和嚴謹性。理性分析過程如圖4。

五、研究性學(xué)習(xí)融入數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程之中，提升問題解決的能力

“研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從自然現(xiàn)象、社會現(xiàn)象和自然生活中選擇和確定研究專題，并在研究過程中主動地獲取知識、應(yīng)用知識、解決問題的學(xué)習(xí)活動”[3]。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從而解決問題的能力是研究性學(xué)習(xí)的基本目標(biāo)；在應(yīng)用知識解決數(shù)學(xué)問題的過程中，進一步鞏固數(shù)學(xué)知識、感悟數(shù)學(xué)方法、全方位提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，則是研究性學(xué)習(xí)的基本任務(wù)。

【案例5】“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”的數(shù)學(xué)應(yīng)用過程（江蘇省鹽城中學(xué)楊志明執(zhí)教）

楊志明老師在得出導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系之后，并沒有停留在簡單套用結(jié)論解決基本問題的層面，而是立足簡單三次函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)學(xué)應(yīng)用過程變成了一個研究性學(xué)習(xí)過程，通過不斷追問的方式步步深入，從數(shù)和形兩個角度深入研究導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系。具體過程如下：

例題：確定函數(shù)f（x）=2x3-6x2+7在哪些區(qū)間上是增函數(shù)。（師生合作解決本題，鞏固導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性）

追問1：根據(jù)剛才研究的單調(diào)性，你能否作出函數(shù)f（x）=2x3-6x2+7的示意圖？（教師在學(xué)生作圖的基礎(chǔ)上，通過計算機作圖驗證）

追問2：剛才我們通過導(dǎo)數(shù)求出了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步畫出了函數(shù)的示意圖。反之，如果我們知道了函數(shù)的圖象，能否直接畫出導(dǎo)函數(shù)的示意圖呢？

追問3：通過以上研究，我們知道了如果在某區(qū)間上f′（x）>0，那么f（x）為該區(qū)間上的增函數(shù)。反之，如果f（x）在某區(qū)間上單調(diào)遞增，那么在該區(qū)間上每一點都有f′（x）>0成立嗎？（學(xué)生遇到一定困難，教師提示結(jié)合函數(shù)f（x）=x3進行判斷）

追問4：我們本節(jié)課解決的f（x）=ex-x和三次函數(shù)的單調(diào)性，都可以看成是基本的初等函數(shù)進行四則運算得到的，下面請同學(xué)們參照這樣的方法自己構(gòu)造函數(shù)，并嘗試用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性。

綜上所述，將研究性學(xué)習(xí)融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，讓學(xué)生親歷知識產(chǎn)生與形成的研究過程，使知識發(fā)現(xiàn)、方法習(xí)得與素養(yǎng)形成有機結(jié)合與高度統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)教育永恒的追求。

【參考文獻】

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[3]鐘啟泉，等.為了中華民族復(fù)興為了每位學(xué)生的發(fā)展[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.