從浙江省2016年高考樣卷理科數(shù)學(xué)第15題感悟“最值定義”的魅力

胡尤

【摘 要】數(shù)學(xué)作為理科哲學(xué)，數(shù)學(xué)定義的魅力光環(huán)使得數(shù)學(xué)在嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)、概括上較其他學(xué)科更加閃亮。本文通過(guò)浙江省2016年高考樣卷理科數(shù)學(xué)第15題的解題策略感悟“最值定義”在具體解題中的功能，從而進(jìn)一步呈現(xiàn)數(shù)學(xué)定義的魅力。

【關(guān)鍵詞】最值定義；放縮法

案例1：浙江省2016年高考樣卷理科數(shù)學(xué)第15題：

已知函數(shù) ， ，且 .記 為|f（x）|在[0，1]上的最大值，則 的最大值是 .

一、此題的分析與釋疑

1.常規(guī)思路分析

①結(jié)合二次函數(shù)圖像，當(dāng) 時(shí)，|f（x）|的最大值會(huì)在 中取得；當(dāng) ，|f（x）|的最大值會(huì)在|f（0）|、|f（1）|中取得。

②若動(dòng)對(duì)稱軸分類討論，需分 在（-∞，0]，（0， ]，（ ，1]，（1，+∞）四個(gè)區(qū)間分四類討論，且每一類討論中還有兩種最大值的取得情況，這勢(shì)必給解題時(shí)間上和運(yùn)算上帶來(lái)極大的困難。因此，我們需要另辟視角來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

2.放縮法求解過(guò)程

記M=M（a，b，c），則f（0）≤|f（0）|≤M，f（1）≤|f（1）|≤M，則

。

當(dāng)f（0）=f（1）=M時(shí)取到最大值2。

3.放縮法求解過(guò)程中的疑難點(diǎn)

①為什么要把分母湊成“f（0）+f（1）”的倍數(shù)。因?yàn)槲覀冃枰淖钪凳且粋€(gè)常數(shù)，所以分子和分母必須成倍數(shù)方可。同時(shí)，若能夠證明 就意味著 的每一個(gè)取值都不大于C，所以只需C可以取到，它就是最大值。

② 一定會(huì)成立嗎？由上文的解答過(guò)程可知，要使放縮中等號(hào)同時(shí)不僅要滿足f（0）=f（1）=|f（0）|=|f（1）|，更重要的是要滿足f（0）或f（1）就是最大值，而此時(shí)在區(qū)間 在區(qū)間[0，1]中，因此要使等號(hào)取到，只需滿足 。結(jié)合二次函數(shù)圖像，這種情況是完全可以取到的，如下圖：

我們不妨取 即可。

回歸教材

總結(jié)本題的解題過(guò)程，可以分解為兩個(gè)步驟：

①先利用放縮給出一個(gè)閉區(qū)間范圍；

②驗(yàn)證“=”成立的可能性。

其實(shí)這就是不等式求最值的步驟，它遵循的是最大值定義的內(nèi)涵，就是必修一教材《函數(shù)的基本性質(zhì)》中有一段對(duì)最大值含義的描述：

一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對(duì)任意的x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M。

那么，我們稱M是函數(shù)y=f（x）的最大值。

數(shù)學(xué)題目往往都會(huì)“出課本”，但它卻又“出于課本”。對(duì)最大值定義的充分理解，無(wú)疑會(huì)給我們的解題帶來(lái)精神和智力上的動(dòng)力。無(wú)獨(dú)有偶，我們?cè)購(gòu)母呖己妥灾髡猩囶}中去感悟最值定義的魅力。

二、拓展與延伸

案例2：2009年北京大學(xué)自主招生題

已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有acosx+bcos2x≥-1恒成立，求a+b的最大值。

分析：①先給出一個(gè)a+b閉區(qū)間范圍

要求a+b的最大值，自然想到使cosx=

cos2x=2cos2x-1，解得 ，于是有a+b≤2。

②驗(yàn)證a+b=2可成立

因a=b-2，所以只需（2-b）cosx+bcos2x=

2bcos2x+（2-b）cosx-b≥-1恒成立，即2bcos2x+

（2-b）cosx-b+1≥0恒成立。

當(dāng) ，即 ，從而 時(shí)，既滿足a+b=2，又符合題意中的條件。

由以上兩點(diǎn)可知a+b的最大值為2。

以上題目是對(duì)“最值定義”在求值應(yīng)用中的魅力呈現(xiàn)，有時(shí)候，也會(huì)直接考查對(duì)定義的理解，如2015年浙江省高考理科卷第15題：

已知 是空間單位向量， ，若空間向量 滿足 ，且對(duì)任意 ， ，則x0= ，y0= ，|b|= .（答案： ）

題意理解：根據(jù)最小值定義，求當(dāng) ，取得最小值1時(shí) 的取值。如果有些學(xué)生不理解這層意思，解題策略會(huì)捉摸不定，題目也會(huì)難以入手。因此，對(duì)最值定義的準(zhǔn)確理解，不僅幫助我們解題，更是帶領(lǐng)我們“入題”。

數(shù)學(xué)定義是所有學(xué)科中最為準(zhǔn)確與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x。學(xué)生對(duì)“最大值”的認(rèn)知往往停留在“所有數(shù)值中的最大者”，卻往往忽略了更為嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的數(shù)學(xué)定義。前者所對(duì)應(yīng)的解決策略一般為函數(shù)法求最值，而后者對(duì)應(yīng)的策略就更為廣泛。因此，對(duì)知識(shí)點(diǎn)定義的理解不同會(huì)形成對(duì)相應(yīng)問(wèn)題不同的理解與策略。

以上論述也很好的佐證了定義就是數(shù)學(xué)的本源。這要求我們?cè)谌粘＝忸}教學(xué)中，應(yīng)該重視數(shù)學(xué)定義的多角度理解，努力挖掘數(shù)學(xué)的本源，讓學(xué)生在解題中去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)這門(mén)理科哲學(xué)的魅力。