淺析圓中的數學思想方法

蔡華遠　程玉林

【摘 要】圓是中考的重點，也是熱點，解題方法多種多樣，令不少同學感到變幻莫測，其實解決圓問題還是有法可依的，本文從2015年各省中考題中來分析，圓的解答中所用到的特殊與一般，化歸與轉化，數形結合等思想方法，以供參考。

【關鍵詞】圓；特殊與一般；化歸與轉化；數形結合

圓知識概念較多，問題形式多樣。同時圓是中考的重點，也是熱點。圓的問題具有較高的綜合性，解題方法也多種多樣，令不少同學感到變幻莫測，其實解決圓問題還是有法可依的，只要我們認真分析中考題，把握圓中的數學思想方法，看清問題的本質，求解時就可以得心應手，游刃有余。

一、特殊與一般

特殊與一般的思想是中學數學的重要思想之一，有些特殊問題的解決，需要我們通過一般性規(guī)律的研究來處理；而對于具有一般性的問題，我們也常常通過考察其特殊情況（如特殊取值等）揭示其一般規(guī)律，這種特殊與一般的思想往往貫穿于整個解題過程之中，通過特殊化能使我們認識問題更加全面，而將問題一般化能使我們認識問題更加深刻。

例1：（2015廣東佛山）如圖，⊙O的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點E、F.（1）若∠E=∠F時，求證：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=42°時，求∠A的度數；

（3）若∠E=α，∠F=β時，且α≠β，請你用含有α、β的代數式表示∠A的大小.

解：（1）∵∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，

∴∠E+∠ECD=∠F+∠FCB，∠ADC=∠ABC；

（2）∵∠A+∠BCD=180°，∠ECD+

∠BCD=180°，∴∠A=∠ECD，由（1）知∠ADC=∠ABC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°-42°=48°；

（3）由（2）知∠A=∠ECD，∵∠EDC=∠A+∠F，∠EDC+∠E+∠ECD=180°，∴2∠A+∠E+∠F=180°，∵∠E=α，∠F=β∴ .

點評：（1）根據外角的性質可得結論；（2）根據圓內接四邊形的性質和等量代換即可求得結果；（3）是把（2）特殊情形推廣到一般結論，根據圓內接四邊形的性質得∠A=∠ECD，再根據三角形外角性質、內角和定理有2∠A+∠E+∠F=180°，再解方程即可。

二、化歸與轉化

化歸與轉化的思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決問題的一種方法。一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單問題，將難解的問題通過變化轉化為已解決的問題?；瘹w與轉化思想在中考中占有十分重要的地位，數學問題的解決，總離不開化歸與轉化。例如解決圓中線段與角問題時，經常轉化為圓中直角三角形或相似三角形來解決。

例2：在平面直角坐標系中，O是坐標原點，C（0，-3），動點Q的坐標為（m，1），連結OQ、CQ，當∠CQO最大時，求出點Q的坐標.

解：如圖，記?OQC的外心為M，則M在OC的垂直平分線MN上（MN與y軸交于點N）.連接OM、CM，則 ，MC=MO=MQ，

∴ ，

∴ 的值隨著OM的增大而減小.

又∵OM=MQ，

∴當MQ取最小值時 最大，

即MQ⊥直線y=1時，∠CQO最大，此時，⊙M與直線y=1相切.

∴MQ=NF=2.5，MN= =2，

∴Q1（2，1）.根據對稱性，另一點Q2（-2，1）也符合題意。

綜上所述，Q1（2，1），Q2（-2，1）.

點評：利用圓周角與圓心角的關系，將問題轉化為直角三角形的內角最值問題，再利用三角函數，將問題轉化為線段最值問題，進而轉化為直線與圓相切這一特殊位置關系。

三、數形結合

數形結合思想就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。其中“以形助數”是指借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數作為目的。“以數輔形”是指借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數為手段，形作為目的。

例3（2015湖北天門）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延長線交于點M，∠COB=∠APB.

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）當OB=3，PA=6

時，求MB，MC的長.

解析：（1）證明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAO=90°

∵∠BOC+∠AOB=180°，且∠BOC=∠APB∴∠APB+∠AOB=180°.

∴在四邊形AOBP中，∠OBP=360°-90°-180°=90°

∴OB⊥PB∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線.

（2）解：∵PA切⊙O于點A，B切⊙O于點B，∴PA=PB.

∵∠OBM=∠PAM=90°，∠M=∠M

∴△MBO∽△MAP.

∴

設MB=x，MC=y，則

∴ 解得x=4，y=2.即MB=4，MC=2.

四、分類與整合

在解某些數學問題時，當被研究的問題包含了多種情況時，就必須抓住主導問題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內，根據問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究。這里集中體現的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究的基本方向是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起，這種“合—分—合”的解決問題的思想，就是分類與整合思想。

例4（2015湖北襄陽）點O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，則∠BAC的度數為（）

A.40° B.100°

C.40°或140° D.40°或100°

解析：當點O在△ABC內部時， ；當點O在△ABC外部時， 。故選C。

五、函數與方程思想

函數思想的實質是拋開所研究對象的非數學特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數學對象，抽象其數學特征，建立各變量之間固有的函數關系，通過函數形式，利用函數的有關性質，使問題得到解決。方程思想是將所求的量設成未知數，用它表示問題中的其它各量，根據題中隱含的等量關系，列方程（組），通過解方程（組）或對方程（組）進行研究，以求得問題的解決。函數與方程是整體與局部、一般與特殊、動態(tài)與靜止等相互聯(lián)系的，在一定條件下，它們可以相互轉化。

例5（2015江蘇南京）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分別與⊙O相切于E、F、G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，則DM的長為（）

A. B.

C. D.

解析：設GM=x，由勾股定理得（3+x）2

=42+（3-x）2

解得 ，所以 .故選A.

數學思想方法是解題的核心，只有不斷地歸納，總結，掌握規(guī)律，才能提高解題能力。

作者簡介：

蔡華遠，泉州第三中學數學教師，中學二級，碩士研究生學歷。

程玉林，晉江陳埭民族中學數學教師，中學二級，碩士研究生學歷。