圓周率的計算方法及其MATLAB編程實現(xiàn)

羅洪斌 錢偉 馬梅玲

摘要：介紹圓周率的起源以及在各個時期的主要的近似計算方法的數(shù)學(xué)原理及代表人物，然后詳細(xì)地給出古典方法、萊布尼茲（Leibniz）公式、數(shù)值積分法，三種近似計算方法的數(shù)學(xué)原理及其推導(dǎo)過程，并結(jié)合現(xiàn)代數(shù)學(xué)計算軟件MATLAB編程實現(xiàn)算法過程，給出其運算過程及結(jié)果。并對三種計算方法進行具體分析，得到其相關(guān)結(jié)論。

關(guān)鍵詞：圓周率 近似計算 數(shù)學(xué)原理 MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)

中圖分類號：TP312 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-9416（2016）08-0057-02

π，第十六位希臘字母，歐拉于18世紀(jì)提倡用π代表圓周率。圓周率最早被發(fā)現(xiàn)于一塊古巴比倫的石板上，此時的π是一個常數(shù)。在《幾何原本》中π以一個小數(shù)被記載，這是圓周率最早的書面記載。此時圓周率具體的定義被給出，即圓周長與其直徑之比，我國的古算經(jīng)《周髀算經(jīng)》也有記載。為了得到圓周率更加精確的近似值，從古至今，一位又一位數(shù)學(xué)家奉獻(xiàn)出了自己畢生的精力與心血。由于數(shù)學(xué)計算的發(fā)展，圓周率的近似計算主要經(jīng)歷實驗時期、幾何法時期、分析法時期、三大時期。下面具體介紹三個時期圓周率計算方法。

實驗時期：

由于文化發(fā)展滯后，科技有局限性。因此此時的圓周率都是通過測量得出，常用來代替圓周率，最早見于歐幾里得的《幾何原本》，印度的《百道梵書》也有記載。

幾何法時期：

這個時期數(shù)學(xué)家們用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)方法來計算圓周率，在古埃及草書（約公元前1700年）中提到。先驅(qū)者阿基米德通過計算數(shù)學(xué)理論算的圓周率。他從單位圓開始，通過迭代算法和兩側(cè)數(shù)值逼近算得 （3+（10/71））<π<（3+（1/7）），這種方法被命名為古典方法。我國的劉徽利用“割圓術(shù)”求出了更加精確的圓周率，算出=3.1416。繼劉徽之后，祖沖之3.1415926<π< 3.1415927，將π的精確度提高到8位，保持世界記錄九百多年[1]。

分析法時期：

這隨著各種方法理論增多，人們開始使用無窮級數(shù)或無窮連乘積來計算。自1593年韋達(dá)公式面世之后，沃利斯、John Machin、Srinivasa Ramanujan、Fabrice Bellarb等先后給出了更好的計算方法。他們將圓周率的精確度一次又一次的提升到新的高度。

1 三種近似計算方法及其MATLAB實現(xiàn)

1.1 古典方法

原理為選一個單位圓，用內(nèi)接正六邊形得出的下界為3，再用外接正六邊形和勾股定理算得的上界為4。通過迭代算法，將圓周率的值確定為內(nèi)接正九十六和外切正九十六邊形的周長之間[2]。

1.2 萊布尼茲（Leibniz）公式

用級數(shù)法求圓周率在分析法時期十分流行，這個時期產(chǎn)生了萊布尼茲公式、馬琴公式、傅里葉級數(shù)等計算方法，但主要介紹萊布尼茲公式。萊布尼茲公式主要用冪級數(shù)的推到而得到的，其原理如下：

1.3 數(shù)值積分法

其原理為以單位圓的圓心為原點建立直角坐標(biāo)系，則圓在第一象限的扇形是由與軸，軸所圍成的圖形，扇形的面積。只要計算出扇形的面積，就可得出近似的值。而扇形面積的值可近似等于定積分的值。

對于定積分的值，可以看做成曲線與軸，所圍的曲邊梯形的面積S。把分成等分，既得個點。組成個小區(qū)間，每一個小區(qū)間與軸，所圍成的圖形是一個小曲邊梯形。而梯形的面積計算公式是（上底+下底）×高÷2，對于第個小曲邊梯形有上底為，下底為。所有小梯形的高都為。所以第個小曲邊梯形的面積為。曲邊梯形的總面積即定積分的值就是所有小梯形的面積總和。即利用積分得出的值。

2 結(jié)論

（1）古典方法：這種方法基于幾何原理，計算量大，速度慢。

（2）萊布尼茲公式：在（2.3）式中，當(dāng)取的值為很大時，所花費時間較長，而且精度也不是很高。原因是當(dāng)時，的展開式收斂太慢。因此就需要提升收斂速度。因此在推導(dǎo)式（2.4）中，同樣的值，級數(shù)收斂越快，取可以得到更高的精度。以同樣的方法，能得出，程序一樣。但此時的近似值可以精確到幾百位。

（3）數(shù)值積分法：逼近的速度大大增加，但是計算量增大，速度慢。

（4）本篇文章主要介紹了三種圓周率的近似計算方法，還有很多的方法，如拉馬努金（Ramanujan）公式，馬琴（Machine）公式，馬琴公式是（2.2）式進一步推到得到，收斂速度更快，精確位數(shù)更高。限于篇幅，這里就不進行詳細(xì)的討論。

參考文獻(xiàn)

[1]占海明，等.基于MATLAB的高等數(shù)學(xué)問題求解.清華大學(xué)出版社，2009.

[2]陳巖.中國古代圓周率的發(fā)展[J].北方文學(xué)（中旬刊），2013.

[3]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2007.

[4]周輝.關(guān)于圓周率的幾種計算方法[J].科技向?qū)诳?011.