揣摩例題用意，在例題中找“題根”

馬紅霞

課本中的例題與習題，都是通過篩選的題目的精華，在解題的思路和方法上具有典型性和代表性，在由知識轉(zhuǎn)化為能力的過程中不僅具有示范性和啟發(fā)性，而且它們的解題方法和結(jié)論本身都具有廣泛遷移的可能。近幾年的中考題具有“題在書外，但根在書里”的特點，老師要善于在課本中尋找命題的生長點——“題根”。因此，重視課本典型例習題的研究，用好、用活課本十分重要。下面以人教版八年級上冊數(shù)學教材第十三章《軸對稱》中一道例題來看這樣一類試題。

例題1：如圖1：△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.

求證：△ADE是等邊三角形（人教版初中數(shù)學八年級上冊第80頁例4）。

這個例題簡單，很多老師認為這只是幫助學生熟知等邊三角形的判定方法，也會引導學生用不同的方法來說明，但是這個題還有沒有可以拓展的空間呢？如果當點D在邊AB所在直線上運動時（點E不與A、B重合），這個結(jié)論還成立嗎？老師可以在課堂上及時拓展。當學生遇到下面的例2，可能會有“似曾相識”的感覺，如果學生能和例1聯(lián)系起來，也許就會“柳暗花明”。

例題2：（2014天河區(qū)期末）如圖（2）所示，在等邊三角形ABC中，點E為AB上任意一點，點D在邊CB的延長線上，且ED=EC，試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由。

（1）當點E為AB的中點時，如圖（3）所示，則有AE__DB（填“>”“<”或“=”）。

（2）猜想AE與DB的數(shù)量關系，并證明你的猜想。

（3）若等邊三角形ABC的邊長為1，E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，AE=2，求CD的長。

分析：此題的第（1）問原型來自課本習題變式，學生可以借助等邊對等角、等邊三角形三線合一的性質(zhì)等易于解決。第（2）問，學生大膽猜測易于得到相等的數(shù)量關系，但是如何證明，苦苦不得其解而束手無策。如果能領會例題1的靈魂，快速添加輔助線：如圖4，過點E做EF∥BC交AC于點F，顯而易見出現(xiàn)了例題1的模型，易證△AEF是等邊三角形，從而AE=EF，進而把證明AE=DB的問題轉(zhuǎn)化為了EF=BD的問題，再通過證明△DBE≌△EFC即可解決。第（3）問更是把點E、D看成動點，使問題難度升級，但是貌似困難的問題我們更要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，只要點E是等邊三角形一邊或是邊所在直線的一點，都可以仿照例題1的方法和思路：過點E做平行線。如圖（5）點E在BA的延長線上，過點E做EF∥AC交BC延長線于F，仍然可以得到△BEF是等邊三角形，再通過證明△DBE≌△CFE，再求得BD=AE=2，進而求得CD=1；如圖（6），當點E在AB延長線上時，方法依舊，不妨引導學生自己動手畫圖探究，深刻體會這題的解法的妙處。

通過例1、例2可以發(fā)現(xiàn)兩題的相通之處，只要點E是等邊三角形一邊或是邊所在直線的一點，都可以通過做平行線構(gòu)造等邊三角形，從而實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。那么這時老師又可以引導學生：如果三角形是等腰三角形，點E是腰上一動點，是否還可以用這種方法解決呢？又如下面的延伸訓練：

延伸訓練：如圖，△ABC中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF.

這道題雖然基本圖形變成了等腰三角形，但是點E在腰AB上，可以借助例1、例2的思路，過點E做AC的平行線（如圖8）構(gòu)造等腰△BEG，把BE=CF轉(zhuǎn)化為EG=CF，從而通過證明△EGD≌△FCD解決DE=DF的問題。又或者借助圖9過點F做AB的平行線，構(gòu)造等腰△FCM即可同理解決DE=DF的問題。

由此看到，在數(shù)學教學中，若教師有目的、有意識地引導學生研究課本中的一些典型例題或習題，通過對其進行合理地變形、轉(zhuǎn)化、拓延、綜合，深入挖掘其中潛在的數(shù)學思想方法，揭示其豐富的內(nèi)涵，通過類比、聯(lián)想和拓展，改變題目中的條件和結(jié)論，把原題目進行變換形式，則可以設計出很多相關題目讓學生去探究，也可以讓學生參與設計題目，這對于培養(yǎng)學生的應變能力、開拓思路、活躍思維等都是有益的，也與素質(zhì)教育要求的“培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力”的本質(zhì)吻合。

數(shù)學思想、方法作為數(shù)學學科的“一般原理”，在數(shù)學學習中是至關重要的。數(shù)學基礎知識是明線，直接用文字形式寫在教材里，反映著知識間的縱向聯(lián)系。數(shù)學思想方法則是暗線，反映著知識間的橫向聯(lián)系，常常隱藏在基礎知識的背后。因此，需要教師的有效發(fā)掘指點，化隱為顯，學生才能領悟、掌握。除此而外，面對一道道數(shù)學題，我們可以對它進行簡單化、特殊化、一般化變形，以尋找解題思路，進行知識和技能的遷移與拓展。在例題教學后，教師及時總結(jié)所運用的數(shù)學思想方法，可起到以一代十的效果，同時對培養(yǎng)學生思維的深度和高度有重要意義。

教材是《新課標》的載體，是課程目標和課程內(nèi)容的具體化，是教與學的主要依據(jù)。中考數(shù)學試題具有“源于教材，但高于教材；題在書外，但根在書里”的特點，大多來源于課本或從課本的基本要求出發(fā)加以拓寬，延伸和改造，所以在日常的教學中，教師不要盲目的甩開教材，濫用其他資料，而應高度重視課本上的一些典型例題和它們的解法，在此基礎上，還要充分引申、挖掘其蘊涵的深層潛力，在例題中找“題根”，做到“一題多解”、“一題多變”、“多題同法”，融會貫通，這樣學生才會得心應手，才能有效地提高數(shù)學成績。

（責任編輯 李 翔）