巧用輔助線解決問(wèn)題

王瀚

最近，剛學(xué)完用反比例函數(shù)解決問(wèn)題，我就在課后獨(dú)自做了幾個(gè)練習(xí)來(lái)試試手. 剛開(kāi)始的幾道題做起來(lái)得心應(yīng)手，心里便有些沾沾自喜，但是繼續(xù)往下做的時(shí)候，這個(gè)節(jié)奏就被打斷了，因?yàn)橄旅孢@道題我不知道該如何下手了.

如圖1，E為矩形ABCD的邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BF⊥AE于F，AB=3，BC=4，設(shè)AE=x，BF=y，求y與x之間的關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍.

首先我可以確定的是，點(diǎn)E在CD上運(yùn)動(dòng)，那么AE最短時(shí)長(zhǎng)度與AD相等，AE最長(zhǎng)時(shí)長(zhǎng)度與AC相等，根據(jù)勾股定理，我可以得到AC=5，所以我可以確定x的取值范圍是3≤x≤5，但是還要求y與x的關(guān)系，這可把我難倒了. AE和BF就是兩條互相垂直的線，怎么才能確定它們之間的關(guān)系呢？

想來(lái)想去，還是直接去問(wèn)老師吧. 老師看了一遍題目，說(shuō)道：“BF和AE垂直，想想垂直有什么用呢？”我又想了一會(huì)，搖搖頭，感覺(jué)這個(gè)垂直好像還是沒(méi)法用.

這時(shí)老師把BE連接起來(lái)：“再看看這個(gè)垂直，現(xiàn)在有什么用呢？”我頓時(shí)眼前一亮：“我看到了直角三角形BFE.”當(dāng)我正激動(dòng)時(shí)，老師卻說(shuō)道：“直角三角形BFE中BF有了，可是EF不知道呀，我們想要的是BF和AE之間的聯(lián)系呀，你再看看，BF和AE這個(gè)垂直怎么可以為你所用？”這時(shí)，我又仔細(xì)地思考了一遍，發(fā)現(xiàn)這個(gè)垂直可以把AE作為底，BF看做是底邊上的高，用來(lái)求三角形的面積. 而且這個(gè)三角形的面積還可以通過(guò)另外一種方法來(lái)求：把AB看做是底，那這個(gè)三角形的高就等于BC的長(zhǎng)度. 這樣之后得到關(guān)于x和y的關(guān)系式：1/2xy=1/2×3×4，化簡(jiǎn)之后得到y(tǒng)=12/x，再考慮之前x的取值范圍，那這道題的最后結(jié)果應(yīng)該是：y=12/x（3≤x≤5）.

一想到我想了好久的題目，老師畫(huà)了一條輔助線之后很快就解決了，我頓時(shí)感覺(jué)輔助線真的很神奇，可以化復(fù)雜為簡(jiǎn)單. 而我以后碰到這種圖形的問(wèn)題，在沒(méi)有思路的時(shí)候也可以換條途徑，想想能不能添加輔助線來(lái)幫助解決問(wèn)題.

教師點(diǎn)評(píng)：該生能敏銳地察覺(jué)到x的取值范圍實(shí)屬不易，而且知道想要利用垂直解題，但是找不到突破口. 在這道題中，利用好這個(gè)垂直是解決本題的關(guān)鍵，這時(shí)候要想到垂直就有垂線段，聯(lián)想到三角形的面積也需要垂線段，那就構(gòu)造一個(gè)三角形，建立x和y所對(duì)應(yīng)的兩條邊之間的聯(lián)系，這時(shí)候這個(gè)問(wèn)題就迎刃而解了.

（指導(dǎo)教師：龔 瑩）