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    新課程理念下高中立體幾何教學(xué)的研究與探索

    2016-05-14 04:08:05袁雯青
    理科考試研究·高中 2016年8期
    關(guān)鍵詞:垂線中點(diǎn)正方體

    袁雯青

    高中立體幾何部分知識(shí)的學(xué)習(xí),與代數(shù)知識(shí)既相互區(qū)別又有一定的聯(lián)系.因而在立體幾何的教學(xué)過(guò)程中,教師要注重幾何與代數(shù)的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,根據(jù)學(xué)生個(gè)人情況,幫助學(xué)生找到適合自己的學(xué)習(xí)、解題方法,從而讓學(xué)生更好地掌握這部分知識(shí),并通過(guò)立體幾何的學(xué)習(xí)提高數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面為筆者在立體幾何教學(xué)過(guò)程中所遇見的常見問(wèn)題及其處理策略,敬請(qǐng)同行參考.

    一、常見問(wèn)題

    高中立體幾何是教學(xué)大綱中的重點(diǎn),更是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).在針對(duì)這部分知識(shí)的教學(xué)活動(dòng)中,學(xué)生面臨的兩個(gè)突出的問(wèn)題是,一、空間想象能力的不足.甚至表現(xiàn)為,在教師拿著立體模型時(shí),很容易就能弄清楚線線、線面之間的空間關(guān)系,但只要沒(méi)有實(shí)物對(duì)照,就無(wú)法想象出空間圖形;二、學(xué)生在代數(shù)與幾何圖形之間的轉(zhuǎn)換不夠靈敏.在解題過(guò)程中,由幾何圖形向數(shù)據(jù)計(jì)算的轉(zhuǎn)換過(guò)程,邏輯性不強(qiáng),計(jì)算過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn),得出的結(jié)論不準(zhǔn)確.

    二、處理策略

    在高中立體幾何部分教學(xué)過(guò)程中,教師首先要讓學(xué)生理解并掌握分析立體圖形的基本技能,然后進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的空間想象能力.要讓學(xué)生在解題過(guò)程中保持立體感,找到最佳解題思路.

    1.培養(yǎng)學(xué)生觀察分析能力,奠定實(shí)踐技能基礎(chǔ)

    在剛開始進(jìn)行立體幾何學(xué)習(xí)時(shí),要立足培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力,從基礎(chǔ)的立體幾何解題技巧開始,鍛煉學(xué)生的立體感、空間想象能力,幫助所有學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.

    例1 已知平面α∥平面β,直線AB和CD是異面直線,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,E、F分別為AB和CD的中點(diǎn),求證:EF∥β.

    分析 此題要構(gòu)建面面平行缺少了一條線,即要連接AD(或BC),根據(jù)中位線的平行關(guān)系可知,應(yīng)該取AD中點(diǎn)來(lái)構(gòu)建面面平行,進(jìn)而推出線面平行.

    證明 連接AD,取AD中點(diǎn)G,連結(jié)EG,F(xiàn)G.E,G分別為AB和CD的中點(diǎn),所以EG∥BD.EGβ,BDβ,所以EG∥β.G,F(xiàn)是DA,DC中點(diǎn),所以GF∥AC.記平面ABC=γ,γ∩β=l,則由α∥β,α∩γ=AC,可知AC∥l,所以GF∥l.lβ,GFβ,所以GF∥β.又EG∥β,EG∩GF=G,EG平面EFG,GF平面EFG,所以平面EFG∥β,由EFβ,可得EF∥β.

    在學(xué)習(xí)立體幾何過(guò)程中,教師應(yīng)多加入類似的例題,通過(guò)例題鍛煉學(xué)生的觀察、分析能力,幫助學(xué)生消化理解立體幾何中的基本知識(shí),如線面關(guān)系判定、面面關(guān)系等,可以幫助學(xué)生更好地理解立體圖形,培養(yǎng)立體感.

    2.誘發(fā)學(xué)生興趣,聯(lián)想定理內(nèi)涵

    立體幾何部分的學(xué)習(xí),對(duì)學(xué)生的空間想象能力是有一定的要求的,在這個(gè)學(xué)習(xí)階段,對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)尤為重要,要采用一些新穎的教學(xué)方式,吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)多介紹些難度適中的題目,幫助學(xué)生培養(yǎng)學(xué)習(xí)的信心和解決難題的積極性.

    現(xiàn)代教學(xué)手段:計(jì)算機(jī)、多媒體技術(shù),在立體幾何部分的教學(xué)中,可以從很大程度上幫助學(xué)生更形象地認(rèn)識(shí)立體圖形.再通過(guò)對(duì)比投影圖形與手繪立體圖形之間的差異,幫助學(xué)生更好地培養(yǎng)立體感.另外,利用多媒體技術(shù)投影立體圖形,最大的好處是可以通過(guò)教師操作,將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn),或動(dòng)態(tài)變化,讓學(xué)生能更清晰地看到所觀察線、面之間的關(guān)系,讓學(xué)生從一個(gè)更直觀的角度去理解空間關(guān)系,有助于學(xué)生深刻理解定理內(nèi)容,加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的印象.

    3.引入多種方法,全面解決問(wèn)題

    針對(duì)一些立體感較差的學(xué)生,直接觀察法顯然不適用,另外,一些立體關(guān)系較難觀察的題目,采用直接證明計(jì)算,很難解答而且極容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.這個(gè)時(shí)候可以采用體積法、向量法(平面或空間)等,利用數(shù)據(jù)的計(jì)算或者巧妙的平移、射影等方法,確定立體關(guān)系,幫助習(xí)題的解答.

    例2 如圖2,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F(xiàn)分別是兩條棱B1C1,C1D1的中點(diǎn),求點(diǎn)C到截面BDFE的距離.

    分析 要求點(diǎn)到面的距離,要過(guò)此點(diǎn)作面的垂線,即求垂線段的長(zhǎng)度,關(guān)鍵就是確定垂足位置,而確定垂足,常用面面垂直的性質(zhì)定理,用交線的垂線來(lái)確定.

    解 連結(jié)AC,A1C1,記AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,連結(jié)PQ,作CM⊥PQ于M.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,BD平面ABCD,所以AA1⊥BD.又AC⊥BD,所以BD⊥平面ACC1A1.BD平面BDFE,所以平面BDFE⊥平面ACC1A1.由平面BDFE∩平面ACC1A1=PQ,CM平面ACC1A1,所以CM⊥平面BDFE,所以CM即為所求.在梯形CPQC1中,CP=22,C1Q=24,CC1=1,PQ=324,所以CM×PQ=CP×CC1,CM=23.

    立體幾何中的求距離問(wèn)題,對(duì)作垂線的要求是比較高的,而常用的思想方法就是借助于面面垂直,將其轉(zhuǎn)化為到交線的垂線來(lái)處理,將空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離,利用面積轉(zhuǎn)換等思想解決問(wèn)題.此種求距離的類型也可以借助三棱錐中的體積轉(zhuǎn)換來(lái)求,如此題可以利用VC-BDF=VF-BCD,求出點(diǎn)C到截面BDFE的距離.

    例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E、F、G分別是棱AB、AD、D1A1的中點(diǎn).(1)求證:BG∥平面A1EF;(2)若P為棱CC1上一點(diǎn),求當(dāng)CPPC1等于多少時(shí),平面A1EF⊥平面EFP.

    證明 (1)連結(jié)GD,BD,在正方體ABCD-A1B1C1D1中E、G分別是棱AD、D1A1的中點(diǎn),

    所以A1G=12A1D1,

    FA=12AD,

    由A1D1∥AD且A1D1=AD,所以A1G∥FD且A1G=FD,所以四邊形A1GDF是平行四邊形,所以A1F∥GD.又GD平面A1EF,A1F平面A1EF,所以GD∥平面A1EF.因?yàn)镋、F分別是棱AB、AD的中點(diǎn),所以EF∥BD.由BD平面A1EF,EF平面A1EF,所以BD∥平面A1EF.又GD平面BGD,BD平面BGD,BD∩GD=D,所以平面BGD∥平面A1EF.BG平面BGD,所以BG∥平面A1EF.

    (2)取EF中點(diǎn)Q,連結(jié)A1Q,PQ,A1P.因?yàn)锳1E=A1F,所以A1Q⊥EF.又平面A1EF⊥平面EFP,由平面A1EF∩平面EFP=EF,A1Q平面EFP,可知A1Q⊥平面EFP.又PQ平面EFP,所以A1Q⊥PQ,即∠A1PQ=90°.

    本題(2)中的第二種方法,平面向量法,在解這類探索性問(wèn)題中,也是一個(gè)很好的工具.

    在立體幾何部分的學(xué)習(xí)過(guò)程中,要積極鼓勵(lì)學(xué)生開發(fā)腦筋,用不同的方法,幫助學(xué)生更好地完成題目的解答.

    立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要部分,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)影響很大.在教學(xué)過(guò)程中,教師要以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力為基礎(chǔ),逐漸鍛煉學(xué)生對(duì)立體圖形的理解和分析能力.通過(guò)借助先進(jìn)的教學(xué)手段,創(chuàng)新教學(xué)方法,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在解題思路上,要幫助學(xué)生根據(jù)個(gè)人情況,找到適合自己的解題方法,樹立“數(shù)形”結(jié)合的思維模式,幫助學(xué)生鍛煉對(duì)立體幾何的分析能力,提高解題效率.

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