發(fā)散思維 突破函數(shù)值域教學(xué)難點

田新志

函數(shù)作為描述變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，是高中數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分，同時函數(shù)概念的建立可以給學(xué)生帶來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想的變化，認(rèn)識到一切事物都是在不斷變化中的，可以培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)規(guī)律解決實際問題的能力.發(fā)散思維是指在學(xué)習(xí)中不限定既定的模式，從多種角度尋找解決問題的途徑，教師應(yīng)該開發(fā)高中生的學(xué)習(xí)潛力，廣開思路中突破值域教學(xué)難點.下面從化難歸簡、數(shù)形結(jié)合、一題多解三個角度闡述在實踐中的一些運用，并分享自己的粗淺心得.

一、化難歸簡，靈活訓(xùn)練

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和思維能力，利用多樣化的習(xí)題解答訓(xùn)練其思維的靈活性，對相關(guān)問題的敏感性是高中數(shù)學(xué)教學(xué)更高層次的目標(biāo).函數(shù)值域由于函數(shù)表達(dá)式的多樣性的原因，在教學(xué)中是一項復(fù)雜的任務(wù)，沒有既定的公式可以套用，所以我們要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合化歸和類比的思想，學(xué)會將難題簡單化，從而使問題迎刃而解.例如蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一練習(xí)題：求函數(shù)y=3x+6-8-x的值域.

這道題對于初識函數(shù)值域的學(xué)生而言，式子一看就很復(fù)雜的樣子，很容易產(chǎn)生畏懼心理，覺得這題很難，超出自己的接受范圍.這時作為教師我們清楚地、有條理地講解這道題就不僅是解決了這一道題，從一定程度上建立學(xué)生對函數(shù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的自信心，緩解一見函數(shù)就頭疼的教學(xué)現(xiàn)狀.既然關(guān)系式復(fù)雜，那我們首先要做的就是化簡，將兩個根式分別看做兩個單個函數(shù)，記作y=u+v的復(fù)合函數(shù)，且u=3x+6，v=-8-x.眾所周知定義域是求值域的前提，所以接著讓學(xué)生根據(jù)根式的要求3x+6≥0，8-x≥0兩式并列求得x的變化范圍即函數(shù)定義域為[-2，8].在定義域已知的條件下，我們可以通過函數(shù)的單調(diào)性，較便捷地判斷函數(shù)的值域范圍.由于函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，則其單調(diào)性與兩個單函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)，學(xué)生應(yīng)該先判斷u=3x+6為單調(diào)遞增函數(shù)，經(jīng)過簡單驗證也可判定v=-8-x為單調(diào)遞增函數(shù)，最終得到y(tǒng)=u+v也為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)x=-2時，y取得最小值-10；當(dāng)x=8時，y取得最大值30，那么函數(shù)的值域為[-10，30].

數(shù)學(xué)思想決定著解一道題時，人的思考方向和解題步驟，是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力高低的.學(xué)會將復(fù)雜問題一步步化難歸簡，可以很好地體現(xiàn)高中生思維的概括性和簡潔性，進(jìn)而完成思維靈活性的訓(xùn)練，這也是素質(zhì)教育理念對教學(xué)的影響.

二、數(shù)形結(jié)合，多元轉(zhuǎn)化

有道是“授人以魚，不如授人以漁”，做題方法的掌握，解題思想的形成才是讓學(xué)生終身受益的事情.數(shù)形結(jié)合就是解決函數(shù)問題最常用到的思想之一，將題干中反映問題的抽象數(shù)量關(guān)系用直觀的平面圖形展示出來，實現(xiàn)形象思維和抽象思維的完美結(jié)合，在不斷轉(zhuǎn)化中找到所給條件和解題目標(biāo)之間的聯(lián)系.

例如蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一例題：若x+2y=4，x>0，y>0，試求lgx+lgy的最大值.

當(dāng)遇到這道題目時，學(xué)生一時間會覺得無從下手，因為x和y是兩個變化的量，且兩者的變化互相影響，不能確定要求函數(shù)的值域.此時我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生仔細(xì)觀察條件后發(fā)現(xiàn)x和y的變化關(guān)系是一條直線的方程式，所以可以將（x，y）看作是P點的坐標(biāo)，則這道題目又可轉(zhuǎn)變?yōu)楫?dāng)P點在直線x+2y=4上移動時，函數(shù)lgx+lgy=lg（xy）的最大值.接著我讓學(xué)生根據(jù)直線方程畫出這條直線，并可以根據(jù)直線與x軸和y軸的兩個交點確定x和y的變化范圍分別是：x∈（0，4），y∈（0，2），所以lgx+lgy=lg（xy）=lg[y（4-2y）]=lg[-2（y2-2y）].將原題的函數(shù)式變化到這一程度時，學(xué)生就可以很明白地確定在y=1時，函數(shù)lgx+lgy取得最大值lg2.

要求函數(shù)值域，定義域是必然要用到的已知條件，這道題的題干雖然不長卻很好地將定義域隱藏了起來，所以利用數(shù)形結(jié)合的思想挖掘信息是解題關(guān)鍵，達(dá)到豁然開朗的效果，幫助學(xué)生快速找到突破口.

三、一題多解，深入探索

古人云“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，同一件事物從不同角度看，會得到不一樣的收獲.數(shù)學(xué)解題也是一樣，每個學(xué)生有自己對題干和相關(guān)知識點的獨特理解，必然造成解題方法的多樣性，一題多解的發(fā)散性思維也正是突破函數(shù)值域教學(xué)難點的一把利器，幫助學(xué)生從方方面面將知識了解得更透徹，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)最優(yōu)化的解題思路.

例如蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一習(xí)題：求函數(shù)f（x）=2x-3+4x-13的值域.

函數(shù)值域是函數(shù)教學(xué)的重點，我希望可以講解更多樣化的解題方法，以便滿足不同學(xué)生的認(rèn)知需求.對這道題而言我決定采取兩種方法.

1.配方法.可以將整個根式作為變量進(jìn)行配方，y=12（4x-6+24x-13）=12[（4x-13+24x-13）+7]=12（4x-13+1）2+3.得到這樣的變形后，我們可以根據(jù)算術(shù)根一定是大于等于0的，所以y≥12+3=72，即函數(shù)的值域為[72，+∞）.本方法最重要的是對和的平方公式變形的要領(lǐng)掌握，去構(gòu)建和的平方公式.

2.根據(jù)單調(diào)性判斷.將整個函數(shù)劃分為2x-3和4x-13兩部分，分別判定單調(diào)性進(jìn)而決定復(fù)合函數(shù)單調(diào)性.由4x-13≥0得到函數(shù)的定義域為x≥134，而u=2x-3在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)，v=4x-13也是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以兩者的和也是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以當(dāng)x=72時，函數(shù)取得最小值y=72，由此可知函數(shù)的值域為[72，+∞）.這一方法的重點則放在函數(shù)性質(zhì)上，由定義域和單調(diào)性來求值域.

通過這樣的設(shè)計可以培養(yǎng)學(xué)生的變通能力，變通也正是發(fā)散性思維的重要體現(xiàn).作為教師我們要留給學(xué)生充分的思考時間和空間，不斷討論交流，發(fā)現(xiàn)更多的解題思路，完成對函數(shù)值域的深入研究探索.

總而言之，強(qiáng)化高中生的基礎(chǔ)知識積累，打破思維定式的禁錮，挖掘其思維的流暢、變通性質(zhì)，才能真正實現(xiàn)函數(shù)值域教學(xué)的成功.然而教無定法，函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重點章節(jié)，需要進(jìn)一步地研究教材、探究教法，開發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，培養(yǎng)勇于探索新方法，開辟新思路的創(chuàng)造型人才.