一次函數(shù)教學(xué)的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

胡鎮(zhèn)茂

一次函數(shù)是初中階段數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，它是學(xué)好其它函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)；也是初中數(shù)學(xué)中比較難學(xué)、比較抽象的一塊內(nèi)容，不僅令許多學(xué)生望而生畏，覺得“頭疼”“難啃”的內(nèi)容，同時(shí)也讓不少教師在教學(xué)過程中左右為難。教學(xué)中老師雖然講的很努力，但學(xué)生做作業(yè)時(shí)仍會(huì)遇到很多困難。一次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界變量間關(guān)系的最為簡(jiǎn)單的一個(gè)模型，學(xué)好一次函數(shù)對(duì)以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它函數(shù)有著至關(guān)重要的作用！以下就一次函數(shù)的教學(xué)談一些我的建議。

一、透徹理解函數(shù)和一次函數(shù)概念內(nèi)涵

變量和變量之間關(guān)系的內(nèi)容，非形式化地開始對(duì)函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)世界中變量和變量之間存在的各種各樣的關(guān)系及其規(guī)律，了解表示這些關(guān)系的基本方法，在此基礎(chǔ)上建立函數(shù)的概念，進(jìn)一步構(gòu)建“數(shù)”與“形”的模型.首先，理解和吃透函數(shù)概念的內(nèi)涵。在一個(gè)變化過程中，兩個(gè)變量x和y，對(duì)于x的每一個(gè)值y都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，這時(shí)y叫做x的函數(shù)，x叫做自變量。在函數(shù)概念中，凸顯“唯一性”，正是展現(xiàn)函數(shù)的深層內(nèi)涵。在深刻理解函數(shù)概念基礎(chǔ)上，要抓住一次函數(shù)概念y=kx+b（k≠0）的本質(zhì)，k、b為常數(shù)，且k≠0，自變量x的次數(shù)為1。

例如：已知y=（k-2）xk2-3+1，當(dāng)k為何值時(shí)，y是x的一次函數(shù)？

解：設(shè)k2-3=1，得k=±2，

但當(dāng)k=2時(shí)，比例系數(shù)k-2=0，不合要求，所以只取k=-2

二、揭示函數(shù)與圖象的辯證關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想，領(lǐng)會(huì)k、b值的正負(fù)對(duì)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖象的影響

函數(shù)解析式及其圖象都是函數(shù)的表示形式，均揭示了函數(shù)與自變量的互動(dòng)性，它們之間有著必然的聯(lián)系。解析式?jīng)Q定圖象，而圖象直觀反映了解析式中函數(shù)與自變量的變化規(guī)律，同時(shí)具有互補(bǔ)性。圖象補(bǔ)充了解析式?jīng)]有的直觀性、形象性，而解析式填補(bǔ)了圖象沒有的完整性、準(zhǔn)確性。在一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，k、b的不同取值決定著不同的函數(shù)解析式，從而決定不同的函數(shù)圖象，特別k、b值的正負(fù)對(duì)圖象影響相當(dāng)明顯。

（1）k>0時(shí)，圖象必過一、二象限，從左到右，圖象上升，y隨x的增大而增大；k<0時(shí)，圖象必過二、四象限，從左到右圖象下降，y隨x的增大而減小。

（2）b>0時(shí)，圖象交y軸于正半軸；b<0時(shí)，圖象交y軸于負(fù)半軸。

因此，在教學(xué)中讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)k、b值的正負(fù)對(duì)函數(shù)圖象的影響，是學(xué)生對(duì)一次函數(shù)實(shí)質(zhì)理解的一個(gè)關(guān)鍵。還應(yīng)注意學(xué)生容易出現(xiàn)“一次函數(shù)的圖像都是一條直線”的誤區(qū)

在一次函數(shù)教學(xué)中要將生活實(shí)際與一次函數(shù)做到有機(jī)結(jié)合，從而培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題的能力。在畫實(shí)際問題的一次函數(shù)圖像時(shí)，要注意圖像受自變量的取值范圍的條件限制，而不是“一次函數(shù)的圖像都是一條直線”，有時(shí)圖像可能是一條線段或射線或有限個(gè)點(diǎn)組成。

三、比較一次函數(shù)與正比例函數(shù)，滲透類比思想，培養(yǎng)知識(shí)遷移能力

正比例函數(shù)y=kx（k≠0）是一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）的特殊情形，有它的特殊性；直線y=kx（k≠0）過原點(diǎn)（0，0），但兩者都有"圖象都是一條直線"的共性。

教學(xué)中通過舉例子、列表格比較正比例函數(shù)和一次函數(shù)性質(zhì)及圖象，借助類比，把握它們的共性和正比例函數(shù)的特殊性；通過函數(shù)知識(shí)遷移，利用它們的共性，解決一次函數(shù)相關(guān)問題。

例如：把直線y=3x向下平移2個(gè)單位得到的直線解析式是……。

解析：直線y=3x向下平移2個(gè)單位，說明所得的直線與直線y=3x平行，且與y軸交于（0，-2），若設(shè)所求直線解析式為：y=kx+b，

則k=3，b=-2，

故所求的解析式為y=3x-2。

四、掌握一次函數(shù)解析式求法，滲透待定系數(shù)法思想

求一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的解析式，關(guān)鍵是確定常數(shù)k、b的值，那么又怎樣確定呢？我們知道，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，x為全體實(shí)數(shù)）的圖象是一條直線，而“兩點(diǎn)”可確定一條直線。因此，在教學(xué)中讓學(xué)生明確，只要求出直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法建立關(guān)于k、b的方程組，即可求出k和b的值。

例如：已知一次函數(shù)過點(diǎn)A（-1，-5）和點(diǎn)B（2，1），求此函數(shù)解析式。

解：設(shè)所求的一次函數(shù)解析式為y=kx+b，

因?yàn)橐淮魏瘮?shù)過A（-1，-5）和點(diǎn)B（2，1），所以-k+b=-5，且2k+b=1

即：k=2， b=-3

故所求的函數(shù)解析式為y=2x-3

五、揭示一次函數(shù)與一次方程（組），不等式（組）聯(lián)系，運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決方程、不等式問題

運(yùn)用一次函數(shù)觀點(diǎn)解決一次方程（組）、不等式（組）的問題時(shí)，學(xué)生只會(huì)一味地想到去解一次方程（組）、不等式（組）而忽視數(shù)形結(jié)合的思想。有的教師在教學(xué)中可能很少培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題，用變化和對(duì)立的眼光分析問題，加強(qiáng)各種知識(shí)間的聯(lián)系。這時(shí)作為教師，我們應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題，通過一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)來解一次方程（組）、不等式（組），給學(xué)生以形象、直觀的印像。

（1）一次函數(shù)與一次方程、不等式關(guān)系：“解方程kx+b=0”相當(dāng)于“x為何值時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b的值為0”；“解不等式kx+b>0（或<0）”等價(jià)于“x為何值時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b的值大于0（或小于0）”。

例如：利用一次函數(shù)圖象解不等式2x-4≥0。

解：設(shè)y=2x-4，過（0，-4）和（2，0）畫直線，∴由圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，y=0；當(dāng)x>2時(shí)，y>0，∴不等式2x-4≥0的解為x≥2

（2）一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系：從“數(shù)”的角度看：

解方程組：

{y=k1x+b1

y=k2x+b2

相當(dāng)于x為何值時(shí)一次函數(shù)y=k1x+b1的值與一次函數(shù)y=k2x+b2的值相等；從“形”角度看，解方程組相當(dāng)于求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。

例如：利用一次函數(shù)圖象解方程組

{x-y=5

y+x=3

解：由原方程組得y=x-5 ①

y=-x+3 ②

畫出①、②的函數(shù)圖象，交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-1），則方程組的解為

{x=4

y=-1

總之，在一次函數(shù)的教學(xué)中，既要借助于類比思想，又要用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行教學(xué)，只有這樣教學(xué)效果才會(huì)更加顯著，學(xué)生學(xué)的才會(huì)更愉快。不能僅僅著眼于具體題目的解題過程，而應(yīng)不斷加深對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)，從整體上認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想方法是通過數(shù)學(xué)知識(shí)的載體來體現(xiàn)的，對(duì)于它們的認(rèn)識(shí)需要一個(gè)較長(zhǎng)的過程，即需要教材的滲透，也需要教師的點(diǎn)撥，最后還需要學(xué)生自身的理解和感悟。結(jié)合函數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)可以對(duì)數(shù)形結(jié)合的方法順勢(shì)自然地理解，并逐步加以靈活運(yùn)用，發(fā)揮從數(shù)和形兩個(gè)方面共同分析解決問題的優(yōu)勢(shì)，并在這一過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。